Введение
В области теории представлений в математике, проективное представление группы G на векторном пространстве V над полем F — это групповой гомоморфизм из G в проективную линейную группу, где GL(V) — общая линейная группа обратимых линейных преобразований V над F, а F* — нормальная подгруппа, состоящая из ненулевых скалярных кратных тождественного преобразования (см. Скалярное преобразование). В более конкретных терминах, проективное представление — это набор операторов, удовлетворяющих свойству гомоморфизма с точностью до константы:
where GL(V) is the general linear group of invertible linear transformations of V over F, and F∗ is the normal subgroup consisting of nonzero scalar multiples of the identity transformation (see Scalar transformation). In more concrete terms, a projective representation of is a collection of operators satisfying the homomorphism property up to a constant:
for some constant Equivalently, a projective representation of is a collection of operators , such that Note that, in this notation, is a set of linear operators related by multiplication with some nonzero scalar. If it is possible to choose a particular representative in each family of operators in such a way that the homomorphism property is satisfied on the nose, rather than just up to a constant, then we say that can be "de projectivized", or that can be "lifted to an ordinary representation". More concretely, we thus say that can be de projectivized if there are for each such that This possibility is discussed further below.
для некоторой константы. Эквивалентно, проективное представление — это набор операторов , таких, что. Обратите внимание, что в этой записи, — это набор линейных операторов, связанных умножением на некоторый ненулевой скаляр. Если можно выбрать конкретного представителя в каждом семействе операторов таким образом, чтобы свойство гомоморфизма выполнялось точно, а не только с точностью до константы, то мы говорим, что его можно "депроективизировать" или "поднять до обычного представления". Более конкретно, мы говорим, что его можно депроективизировать, если для каждого существует такое , что эта возможность обсуждается далее.
where GL(V) is the general linear group of invertible linear transformations of V over F, and F∗ is the normal subgroup consisting of nonzero scalar multiples of the identity transformation (see Scalar transformation). In more concrete terms, a projective representation of is a collection of operators satisfying the homomorphism property up to a constant:
for some constant Equivalently, a projective representation of is a collection of operators , such that Note that, in this notation, is a set of linear operators related by multiplication with some nonzero scalar. If it is possible to choose a particular representative in each family of operators in such a way that the homomorphism property is satisfied on the nose, rather than just up to a constant, then we say that can be "de projectivized", or that can be "lifted to an ordinary representation". More concretely, we thus say that can be de projectivized if there are for each such that This possibility is discussed further below.
Кохомология группы
Анализ вопроса о подъеме включает в себя групповую кохомологию. Действительно, если для каждого g из G зафиксировать поднятый элемент L(g) при переходе от PGL(V) к GL(V), то эти поднятия удовлетворяют соотношению
for some scalar c(g,h) in F^(∗). It follows that the 2 cocycle or Schur multiplier c satisfies the cocycle equation
for all g, h, k in G. This c depends on the choice of the lift L; a different choice of lift will result in a different cocycle
cohomologous to c. Thus L defines a unique class in H^(2)(G, F^(∗)). This class might not be trivial. For example, in the case of the symmetric group and alternating group, Schur established that there is exactly one non trivial class of Schur multiplier, and completely determined all the corresponding irreducible representations. In general, a nontrivial class leads to an extension problem for G. If G is correctly extended we obtain a linear representation of the extended group, which induces the original projective representation when pushed back down to G. The solution is always a central extension. From Schur's lemma, it follows that the irreducible representations of central extensions of G, and the irreducible projective representations of G, are essentially the same objects.
для некоторого скаляра c(g,h) из F^(∗). Отсюда следует, что 2-коцикл, или мультипликатор Шура, c удовлетворяет коциклическому уравнению
for some scalar c(g,h) in F^(∗). It follows that the 2 cocycle or Schur multiplier c satisfies the cocycle equation
for all g, h, k in G. This c depends on the choice of the lift L; a different choice of lift will result in a different cocycle
cohomologous to c. Thus L defines a unique class in H^(2)(G, F^(∗)). This class might not be trivial. For example, in the case of the symmetric group and alternating group, Schur established that there is exactly one non trivial class of Schur multiplier, and completely determined all the corresponding irreducible representations. In general, a nontrivial class leads to an extension problem for G. If G is correctly extended we obtain a linear representation of the extended group, which induces the original projective representation when pushed back down to G. The solution is always a central extension. From Schur's lemma, it follows that the irreducible representations of central extensions of G, and the irreducible projective representations of G, are essentially the same objects.
для всех g, h, k из G. Этот c зависит от выбора поднятия L; другой выбор поднятия приведет к другому коциклу, сохомологичному c. Таким образом, L определяет единственный класс в H^(2)(G, F^(∗)). Этот класс может быть нетривиальным. Например, для симметрической и чередующейся групп Шур установил, что существует ровно один нетривиальный класс мультипликатора Шура и полностью определил все соответствующие неприводимые представления. В общем случае, нетривиальный класс приводит к задаче расширения для G. Если G расширено корректно, мы получаем линейное представление расширенной группы, которое индуцирует исходное проективное представление при проецировании обратно на G. Решение всегда является центральным расширением. Из леммы Шура следует, что неприводимые представления центральных расширений G и неприводимые проективные представления G по существу являются одним и тем же.
for some scalar c(g,h) in F^(∗). It follows that the 2 cocycle or Schur multiplier c satisfies the cocycle equation
for all g, h, k in G. This c depends on the choice of the lift L; a different choice of lift will result in a different cocycle
cohomologous to c. Thus L defines a unique class in H^(2)(G, F^(∗)). This class might not be trivial. For example, in the case of the symmetric group and alternating group, Schur established that there is exactly one non trivial class of Schur multiplier, and completely determined all the corresponding irreducible representations. In general, a nontrivial class leads to an extension problem for G. If G is correctly extended we obtain a linear representation of the extended group, which induces the original projective representation when pushed back down to G. The solution is always a central extension. From Schur's lemma, it follows that the irreducible representations of central extensions of G, and the irreducible projective representations of G, are essentially the same objects.
Проективные представления SO
Физически важный пример вышеуказанной конструкции возникает в случае группы вращений SO(3), универсальным покрытием которой является SU(2). Согласно теории представлений SU(2), для каждой размерности существует ровно одно неприводимое представление SU(2). Когда размерность нечетна (случай "целого спина"), представление спускается к обычному представлению SO(3). Когда размерность четна (случай "полуцелого спина"), представление не спускается к обычному представлению SO(3), но (согласно результату, обсуждаемому выше) спускается к проективному представлению SO(3). Такие проективные представления SO(3) (те, которые не происходят из обычных представлений) называются "спинориальными представлениями", а их элементы (векторы) – спинорами. Как будет показано ниже, каждое конечномерное неприводимое проективное представление SO(3) происходит из конечномерного неприводимого обычного представления SU(2).
Бесконечномерные проективные унитарные представления: случай Гейзенберга
Результаты предыдущего подраздела неприменимы в бесконечномерном случае, просто потому, что след оператора обычно не определен. Действительно, результат не выполняется: рассмотрим, например, операторы сдвига в пространстве положений и в пространстве импульсов для квантовой частицы, движущейся в , действующие на гильбертово пространство. Эти операторы определяются следующим образом: для всех . Эти операторы являются непрерывными аналогами операторов и , описанных в разделе "Первый пример" выше. Как и в этом разделе, мы можем определить проективное унитарное представление группы : , поскольку операторы коммутируют с точностью до фазового множителя. Однако, никакой выбор фазовых множителей не приведет к обычному унитарному представлению, так как сдвиги в пространстве положений не коммутируют со сдвигами в пространстве импульсов (и умножение на ненулевую константу это не изменит). Тем не менее, эти операторы происходят из обычного унитарного представления группы Гейзенберга, которая является одномерным центральным расширением группы (см. также теорему Стоуна — фон Неймана).
for all These operators are simply continuous versions of the operators and described in the "First example" section above. As in that section, we can then define a projective unitary representation of :
because the operators commute up to a phase factor. But no choice of the phase factors will lead to an ordinary unitary representation, since translations in position do not commute with translations in momentum (and multiplying by a nonzero constant will not change this). These operators do, however, come from an ordinary unitary representation of the Heisenberg group, which is a one dimensional central extension of (See also the Stone–von Neumann theorem.)
Бесконечные проективные унитарные представления: теорема Баргмана
С другой стороны, теорема Баргмана утверждает, что если вторая группа когомологий алгебры Ли тривиальна, то каждое проективное унитарное представление можно депроективизировать после перехода к универсальной накрывающей группе. Точнее, предположим, что мы начинаем с проективного унитарного представления группы Ли. Тогда теорема утверждает, что это представление можно продолжить до обычного унитарного представления универсального покрытия. Это означает, что отображает каждый элемент ядра накрывающего отображения в скалярное кратное единичного оператора, так что на проективном уровне оно спускается до , а соответствующее проективное представление равно. Теорема неприменима к группе , как показывает предыдущий пример, поскольку вторая группа когомологий связанной коммутативной алгебры Ли нетривиальна. Примеры, для которых результат применим, включают полупростые группы (например, SL(2,ℝ)) и группу Пуанкаре. Этот последний результат важен для классификации Вигнером проективных унитарных представлений группы Пуанкаре. Доказательство теоремы Баргмана основано на рассмотрении центрального расширения , построенного аналогично разделу выше о линейных и проективных представлениях, как подгруппы прямого произведения групп , где — гильбертово пространство, на котором действует , а — группа унитарных операторов на . Группа определяется как. Как и в предыдущем разделе, отображение, заданное формулой , является сюръективным гомоморфизмом, ядро которого равно , так что является центральным расширением. Опять же, как и в предыдущем разделе, мы можем определить линейное представление , задав . Тогда является продолжением в том смысле, что , где — карта проекции из на . Ключевым техническим моментом является доказательство того, что является группой Ли. (Это утверждение не очевидно, поскольку если бесконечномерно, то является бесконечномерной топологической группой.) Как только этот результат установлен, мы видим, что является одномерным центральным расширением группы Ли , так что алгебра Ли также является одномерным центральным расширением (обратите внимание, что прилагательное «одномерное» относится не к и , а скорее к ядру проекционной карты из этих объектов на и соответственно). Но группа когомологий может быть отождествлена с пространством одномерных (в вышеупомянутом смысле) центральных расширений; если тривиальна, то каждое одномерное центральное расширение тривиально. В этом случае является просто прямой суммой с копией вещественной прямой. Следовательно, универсальная накрывающая группа должна быть просто прямым произведением универсальной накрывающей группы с копией вещественной прямой. Затем мы можем продолжить из до (путем композиции с накрывающим отображением) и, наконец, ограничить это продолжение универсальной накрывающей группой .
The theorem does not apply to the group —as the previous example shows—because the second cohomology group of the associated commutative Lie algebra is nontrivial. Examples where the result does apply include semisimple groups (e. g., SL(2,R)) and the Poincaré group. This last result is important for Wigner's classification of the projective unitary representations of the Poincaré group. The proof of Bargmann's theorem goes by considering a central extension of , constructed similarly to the section above on linear representations and projective representations, as a subgroup of the direct product group , where is the Hilbert space on which acts and is the group of unitary operators on The group is defined as
As in the earlier section, the map given by is a surjective homomorphism whose kernel is so that is a central extension of Again as in the earlier section, we can then define a linear representation of by setting Then is a lift of in the sense that , where is the quotient map from to
A key technical point is to show that is a Lie group. (This claim is not so obvious, because if is infinite dimensional, the group is an infinite dimensional topological group.) Once this result is established, we see that is a one dimensional Lie group central extension of , so that the Lie algebra of is also a one dimensional central extension of (note here that the adjective "one dimensional" does not refer to and , but rather to the kernel of the projection map from those objects onto and respectively). But the cohomology group may be identified with the space of one dimensional (again, in the aforementioned sense) central extensions of ; if is trivial then every one dimensional central extension of is trivial. In that case, is just the direct sum of with a copy of the real line. It follows that the universal cover of must be just a direct product of the universal cover of with a copy of the real line. We can then lift from to (by composing with the covering map) and finally restrict this lift to the universal cover of .