Кіріспе
Трансляциялық инвариантты толық тәртібі бар топ; яғни, егер a ≤ b болса, онда ca ≤ cb. Математикада, әсіресе абстрактілік алгебрада, сызықтық реттелген немесе толық реттелген топ – бұл "≤" белгісімен жабдықталған топ G, және бұл тәртіп трансляциялық инвариантты болып табылады. Бұл әртүрлі мағыналарды білдіре алады. (G, ≤) мынадай болады:
In mathematics, specifically abstract algebra, a linearly ordered or totally ordered group is a group G equipped with a total order "≤" that is translation invariant. This may have different meanings. We say that (G, ≤) is a:
сол жақты реттелген топ, егер ≤ сол жақты инвариантты болса, яғни, егер a ≤ b болса, онда ca ≤ cb, барлық a, b, c ∈ G үшін;
оң жақты реттелген топ, егер ≤ оң жақты инвариантты болса, яғни, егер a ≤ b болса, онда ac ≤ bc, барлық a, b, c ∈ G үшін;
екі жақты реттелген топ, егер ≤ екі жақты инвариантты болса, яғни, ол сол және оң жақты инвариантты болып табылады. G тобы сол жақты реттеуге болады (немесе оң жақты реттеуге болады, немесе екі жақты реттеуге болады), егер G-де сол жақты (немесе оң жақты, немесе екі жақты) инвариантты тәртіп болса. Топтың сол жақты реттелуі үшін қажетті шарты – шекті реттік элементтерінің болмауы; алайда, бұл жеткілікті шарт емес. Топтың сол жақты немесе оң жақты реттелуі эквивалентті; алайда, екі жақты реттелмейтін сол жақты реттелген топтар бар.
right ordered group if ≤ is right invariant, that is a ≤ b implies ac ≤ bc for all a, b, c in G,
bi ordered group if ≤ is bi invariant, that is it is both left and right invariant. A group G is said to be left orderable (or right orderable, or bi orderable) if there exists a left (or right , or bi ) invariant order on G. A simple necessary condition for a group to be left orderable is to have no elements of finite order; however this is not a sufficient condition. It is equivalent for a group to be left or right orderable; however there exist left orderable groups which are not bi orderable.
Мысалдар
Кез келген сол немесе оң реттелген топ бұрмасыз, яғни ол бірлік элементтен басқа шекті ретті элементтерді қамтымайды. Керісінше, Ф. В. Леви торсиясыз абельдік топтың екі рет реттелгенін көрсетті; бұл нильпотентті топтар үшін де осылай, бірақ торсиясыз, шекті түрде берілген топтар бар, олар сол реттелмейді.
Архимедтік реттелген топтар
Отто Хёльдер әрбір Архимед тобының (архимедтік қасиетті қанағаттандыратын екі реттелген топ) нақты сандардың қосымша тобының кіші тобына изоморфты екенін көрсетті. Егер Архимедтік лог. топты көбейту түрінде жазсақ, бұл Дедекинд толықтыруын қарастыру арқылы көрсетілуі мүмкін, топтың түбірлер бойынша жабылуын ескере отырып. Біз бұл кеңістікті сызықтық реттің стандартты топологиясымен жабдықтаймыз, содан кейін әрбір экспоненциалдық бейнелеу ретті сақтайтын/өзгертетін, топологиялық топтық изоморфизм екенін көрсетуге болады. Архимедтік емес жағдайда лог. топты толықтыру қиын болуы мүмкін. Мұндай жағдайларда топты оның рангісі бойынша жіктеуге болады, ол ең үлкен тізбектегі дөңес кіші топтардың реттік типімен байланысты.
Басқа мысалдар
Бос топтар сол жақтан реттелмелі. Жалпы алғанда, бұл тік бұрышты Артин топтары үшін де дұрыс. Тоқылған топтар да сол жақтан реттелмелі. Берілген презентация бойынша топ бұрылыссыз, бірақ сол жақтан реттелмейді; оның үш өлшемді кристаллографиялық топ екенін ескеріңіз (оны ортогональді осьтері мен бірдей аударма ұзындығы бар екі жылжитын жарты бұрылыс арқылы жасалған топ ретінде іске асыруға болады), және ол бірлік болжамына қарсы мысал ретінде дәлелденген сол топ. Жалпы алғанда, 3-көптүрлілік топтарының реттелмелілігі әртүрлі топологиялық инварианттармен байланысы болғандықтан қызығушылық тудырады. Сол жақтан реттелмелі, бірақ екі жақты реттелмейтін 3-көптүрлілік тобы бар (іс жүзінде, ол жергілікті түрде көрсетілудің әлсіз қасиетін де қанағаттандырмайды). Сол жақтан реттелмелі топтар динамикалық жүйелер тұрғысынан да қызығушылық тудырды, себебі саналатын топтың сол жақтан реттелмелі болуы гомеоморфизмдер арқылы нақты сызықта әрекет ететін жағдайда ғана мүмкін. Бұл парадигмаға қатысты емес мысалдар – жоғары дәрежелі Ли топтарының торлары; мәлім болғандай, (мысалы) шекті индекске ие кіші топтар сол жақтан реттелмейді; осының кеңейтілген жалпыламасы жақында жарияланды.