Введение

Группа с трансляционно-инвариантным полным порядком; то есть, если a ≤ b, то ca ≤ cb. В математике, в частности в абстрактной алгебре, линейно упорядоченная или полностью упорядоченная группа – это группа G, снабженная полным порядком "≤", который является трансляционно-инвариантным. Это может иметь различные значения. Мы говорим, что (G, ≤) является:

левоупорядоченной группой, если ≤ левоинвариантен, то есть a ≤ b влечет ca ≤ cb для всех a, b, c из G,
правоупорядоченной группой, если ≤ правоинвариантен, то есть a ≤ b влечет ac ≤ bc для всех a, b, c из G,
двусторонне упорядоченной группой, если ≤ двусторонне инвариантен, то есть он является как лево-, так и правоинвариантным. Группа G называется левоупорядочимой (или правоупорядочимой, или двусторонне упорядочимой), если существует левый (или правый, или двусторонний) инвариантный порядок на G. Простым необходимым условием для того, чтобы группа была левоупорядочимой, является отсутствие элементов конечного порядка; однако это не является достаточным условием. Эквивалентно, группа может быть упорядочена слева или справа; однако существуют левоупорядочимые группы, которые не являются двусторонне упорядочимыми.

Примеры

Любая левоупорядочиваемая или правоупорядочиваемая группа свободна от кручения, то есть не содержит элементов конечного порядка, отличных от единичного. Обратно, Ф. В. Леви показал, что абелева группа, свободная от кручения, является биордируемой; это по-прежнему верно для нильпотентных групп, но существуют группы, свободные от кручения и конечно представимые, которые не являются левоупорядочиваемыми.

Архимедийские упорядоченные группы

Отто Хёльдер показал, что каждая архимедова группа (двупорядковая группа, удовлетворяющая свойству Архимеда) изоморфна подгруппе аддитивной группы вещественных чисел. Если мы записываем архимедову группу мультипликативно, это можно показать, рассматривая дедекиндово завершение замыкания группы л.о. по корням. Мы наделяем это пространство обычной топологией линейного порядка, и тогда можно показать, что для каждого экспоненциальные отображения определены корректно и являются сохраняющими/обращающими порядок топологическими групповыми изоморфизмами. Завершение группы л.о. может быть сложным в неархимедовом случае. В таких случаях группу можно классифицировать по её рангу, который связан с типом порядка наибольшей последовательности выпуклых подгрупп.

Другие примеры

Свободные группы допускают левое упорядочение. В более общем смысле, это также верно для правоугловых групп Артина. Группы кос также допускают левое упорядочение. Группа, заданная представлением , свободна от кручения, но не допускает левого упорядочения; следует отметить, что это трехмерная кристаллографическая группа (ее можно реализовать как группу, порожденную двумя скользящими полуоборотами с ортогональными осями и одинаковой длиной сдвига), и это та же группа, которая была доказана как контрпример к единичной гипотезе. Более общая тема упорядочиваемости групп трехмерных многообразий интересна в связи с различными топологическими инвариантами. Существует группа трехмерного многообразия, которая допускает левое упорядочение, но не допускает двустороннего упорядочения (фактически, она не удовлетворяет более слабому свойству локальной индексируемости). Левое упорядочение групп также привлекает внимание с точки зрения динамических систем, поскольку известно, что счетная группа допускает левое упорядочение тогда и только тогда, когда она действует на действительной прямой посредством гомеоморфизмов. Примерами, не связанными с этой парадигмой, являются решетки в группах Ли более высокого ранга; известно, что (например) подгруппы конечного индекса в не допускают левого упорядочения; недавно было объявлено широкое обобщение этого факта.