Кіріспе
Топтан сақинаға дейінгі шекті қолдау тапқан функциялар жиынтығы – топтың алгебралық сақинасы. Алгебрада топ сақинасы – кез келген сақина мен кез келген топтан табиғи түрде құрылатын, бір мезгілде сақина да, еркін модуль де болатын құрылым. Еркін модуль ретінде оның скалярлар сақинасы берілген сақина, ал негізі – берілген топтың элементтері жиынтығы. Сақина ретінде оның қосындылау ережесі еркін модульдікімен сәйкес келеді, ал көбейту ережесі негіздегі топтың берілген заңын "сызықтылық принципі" бойынша кеңейтеді. Басқаша айтқанда, топ сақинасы – бұл берілген топтың жалпылама түрі, онда топтың әрбір элементіне белгілі бір сақинадан алынған "салмақ коэффициенті" қосылады. Егер сақина коммутативті болса, онда топ сақинасы топтық алгебра деп те аталады, себебі ол берілген сақина үстінен анықталған алгебра болып табылады. Дала үстіндегі топтық алгебрада Хопф алгебрасының қосымша құрылымы бар, сондықтан ол топтық Хопф алгебрасы деп аталады. Топ сақиналарының аппараты топтық өрнектемелер теориясында ерекше пайдалы.
the algebraic group ring of a group
In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is the set of elements of the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis. Less formally, a group ring is a generalization of a given group, by attaching to each element of the group a "weighting factor" from a given ring. If the ring is commutative then the group ring is also referred to as a group algebra, for it is indeed an algebra over the given ring. A group algebra over a field has a further structure of a Hopf algebra; in this case, it is thus called a group Hopf algebra. The apparatus of group rings is especially useful in the theory of group representations.
Кейбір негізгі қасиеттері
R сақинасының көбейту бірлігін 1 арқылы, ал топ бірлігін 1G арқылы белгілей отырып, R[G] сақинасында R-ге изоморфты кіші сақина бар, ал оның инверттендірілетін элементтерінің тобы G-ге изоморфты кіші топты қамтиды. {1G} индикаторлық функциясын қарастырайық, бұл f векторымен анықталады:
f-тың барлық скалярлық еселіктерінің жиыны R[G] сақинасының R-ге изоморфты кіші сақинасын құрайды. Егер G-нің әрбір s элементін {s} индикаторлық функциясына, яғни f векторымен анықталатын:
байланыстырсақ, нәтижесіндегі бейнелеу R[G] сақинасындағы көбейтуге қатысты (қосуға емес) инъективті топ гомоморфизмі болады. Егер R және G екеуі де коммутативті болса (яғни R коммутативті, ал G – абельдік топ), онда R[G] да коммутативті болады. Егер H тобы G-нің кіші тобы болса, онда R[H] R[G]-нің кіші сақинасы болады. Сол сияқты, егер S сақинасы R-дің кіші сақинасы болса, онда S[G] R[G]-нің кіші сақинасы болады. Егер G – 1-ден үлкен реті бар шекті топ болса, онда R[G] әрқашан нөлдік бөлгіштерге ие болады. Мысалы, G тобындағы |g| = m > 1 реті бар g элементін қарастырайық. Онда 1 – g нөлдік бөлгіш болады:
Мысалы, Z[S3] топтық сақинасын және 3 реті бар g = (123) элементін қарастырайық. Бұл жағдайда:
Қосымша нәтиже: Егер топтық сақина жай болса, онда G-де бірлікке тең емес шекті нормальді кіші топ болмайды (әсіресе, G шексіз болуы керек). Дәлел: Кері теореманы қарастырайық, яғни G-де бірлікке тең емес шекті нормальді кіші топ бар деп болжайық. Take болсын. Кез келген үшін , білеміз , сондықтан , ал , бізде бар , нормальділігіне сәйкес , сақинаның негізін ауыстырады, сондықтан және біз олардың нөлдік емес екенін көреміз, бұл сақина жай емес екенін көрсетеді. Бұл бастапқы мәлімдемені дәлелдейді.
Жартылай қарапайым ыдырау
K[G] векторлық кеңістігінің өлшемі топтағы элементтер санына тең. K өрісі әдетте кешенді сандар C немесе нақты сандар R деп алынады, сондықтан C[G] немесе R[G] топтық алгебралары талқыланады. Кешенді сандар бойынша шекті топтың топтық алгебрасы C[G] жартылай жай сақина болып табылады. Бұл нәтиже, Машке теоремасы, C[G] матрицалық сақиналардың шекті көбейтіндісі ретінде, C-ге енген элементтерімен түсінуге мүмкіндік береді. Шындығында, егер біз G-дің кешенді ирредуктивті бейнелеулерін Vk ретінде k = 1, ..., m үшін тізімдесек, олар топтық гомоморфизмдерге, демек алгебралық гомоморфизмдерге сәйкес келеді. Бұл бейнелеулерді біріктіру алгебралық изоморфизмді береді, мұнда dk – Vk өлшемі. C[G] субальгебрасы End(Vk)-ге сәйкес келеді, бұл екі жақты идеал, ол Vk-нің сипаттамасымен туындайды. Бұл ортогональды идемпотенттердің толық жүйесін құрайды, сондықтан j ≠ k үшін, және изоморфизм шекті топтардағы Фурье түрлендіруімен тығыз байланысты. Егер K өрісінің сипаттамасы G тобының ретін бөлмесе, онда K[G] жартылай жай болады. G – шекті абельдік топ болса, топтық сақина K[G] коммутативті болады, ал оның құрылымын бірлік түбірлері арқылы көрсету оңай. Егер K – G ретін бөлетін сипаттамалық p өрісі болса, топтық сақина жартылай жай емес: оның нөлдік емес Якобсон радикалы бар, және бұл модульдік бейнелеу теориясының тиісті тақырыбына өзінің, терең сипатын береді.
where dk is the dimension of Vk. The subalgebra of C[G] corresponding to End(Vk) is the two sided ideal generated by the idempotent
where is the character of Vk. These form a complete system of orthogonal idempotents, so that , for j ≠ k, and The isomorphism is closely related to Fourier transform on finite groups. For a more general field K, whenever the characteristic of K does not divide the order of the group G, then K[G] is semisimple. When G is a finite abelian group, the group ring K[G] is commutative, and its structure is easy to express in terms of roots of unity. When K is a field of characteristic p which divides the order of G, the group ring is not semisimple: it has a non zero Jacobson radical, and this gives the corresponding subject of modular representation theory its own, deeper character.
Топтық сақиналар шексіз топтың үстінде
G санаулы немесе санауға болмайтын болған жағдайда оны білу мүмкіндігі аз, және бұл белсенді зерттеулер жүргізіліп жатқан сала. R – кешенді сандар өрісі болған жағдай ең көп зерттелген жағдай. Осы жағдайда Ирвинг Капланский a және b C[G] элементтері болса және 1=ab = 1 болса, онда 1=ba = 1 екенін дәлелдеді. Егер R оң мінездемелі өріс болса, бұл дұрыс па, әлі белгісіз. Капланскийдің (~1940) ұзақ жылдар бойы сақталған болжамы бойынша, егер G бұралуы жоқ топ болса және K өріс болса, онда топтық сақина K[G]-де тривиалды емес нөлдік бөлгіштер жоқ. Бұл болжам K және G үшін бірдей гипотезалар бойынша K[G]-де тривиалды емес нильпотенттердің болмауымен тең. Шындығында, K өрісі деген талап интегралды доменге енгізілетін кез келген сақинаға дейін жеңілдетілуі мүмкін. Болжам толыққанды түрінде ашық күйде қалады, бірақ торсиясыз топтардың кейбір арнайы жағдайлары нөлдік бөлгіштер туралы болжамды қанағаттандыратыны көрсетілді. Оларға:
In fact, the condition that K is a field can be relaxed to any ring that can be embedded into an integral domain. The conjecture remains open in full generality, however some special cases of torsion free groups have been shown to satisfy the zero divisor conjecture. These include:
Unique product groups (e. g. orderable groups, in particular free groups)
Elementary amenable groups (e. g. virtually abelian groups)
Diffuse groups – in particular, groups that act freely isometrically on R trees, and the fundamental groups of surface groups except for the fundamental groups of direct sums of one, two or three copies of the projective plane. The case where G is a topological group is discussed in greater detail in the article Group algebra of a locally compact group.
* Бірегей көбейтінді топтары (мысалы, реттелген топтар, әсіресе еркін топтар)
* Элементарлық икемді топтар (мысалы, іс жүзінде абельдік топтар)
* R ағаштарында еркін изометриялық әрекет ететін топтар, сондай-ақ проективті жазықтықтың бір, екі немесе үш көшірмесінің тікелей қосындыларының негізгі топтарынан басқа, беттік топтардың негізгі топтары жатады. G топологиялық топ болған жағдайда, жергілікті ықшам топтың топ алгебрасы мақаласында одан әрі егжей-тегжейлі қарастырылады.
In fact, the condition that K is a field can be relaxed to any ring that can be embedded into an integral domain. The conjecture remains open in full generality, however some special cases of torsion free groups have been shown to satisfy the zero divisor conjecture. These include:
Unique product groups (e. g. orderable groups, in particular free groups)
Elementary amenable groups (e. g. virtually abelian groups)
Diffuse groups – in particular, groups that act freely isometrically on R trees, and the fundamental groups of surface groups except for the fundamental groups of direct sums of one, two or three copies of the projective plane. The case where G is a topological group is discussed in greater detail in the article Group algebra of a locally compact group.
Хопф алгебрасы
Топ алгебрасы K[G] Хопф алгебрасының табиғи құрылымына ие. Комультипликация анықталады , сызықтық түрде кеңейтілген, ал антипод , қайта сызықтық түрде кеңейтілген.
Жалпылау
Топ алгебрасы моноид сақинасына және одан кейін категория алгебрасына жалпыланады, оның тағы бір мысалы – инциденттік алгебра.
Сүзгілеу
Егер топтың ұзындық функциясы болса – мысалы, егер генераторлардың таңдауы болса және Коксетер топтарындағыдай сөз метрикасы қолданылса, онда топтық сақина сүзгіленген алгебра болады.