Введение
Множество конечно поддерживаемых функций от группы к кольцу – алгебраическое групповое кольцо группы. В алгебре групповое кольцо – это одновременно свободный модуль и кольцо, построенное естественным образом из заданного кольца и заданной группы. Как свободный модуль, его кольцо скаляров является заданным кольцом, а его базис – множество элементов заданной группы. Как кольцо, его операция сложения совпадает с операцией сложения свободного модуля, а умножение расширяет заданную групповую операцию на базисе посредством линейности. Менее формально, групповое кольцо представляет собой обобщение заданной группы, путем приписывания каждому элементу группы "весового коэффициента" из заданного кольца. Если кольцо коммутативно, то групповое кольцо также называют групповой алгеброй, поскольку оно действительно является алгеброй над заданным кольцом. Групповая алгебра над полем обладает дополнительной структурой алгебры Хопфа; в этом случае она называется групповой алгеброй Хопфа. Аппарат групповых колец особенно полезен в теории представлений групп.
the algebraic group ring of a group
In algebra, a group ring is a free module and at the same time a ring, constructed in a natural way from any given ring and any given group. As a free module, its ring of scalars is the given ring, and its basis is the set of elements of the given group. As a ring, its addition law is that of the free module and its multiplication extends "by linearity" the given group law on the basis. Less formally, a group ring is a generalization of a given group, by attaching to each element of the group a "weighting factor" from a given ring. If the ring is commutative then the group ring is also referred to as a group algebra, for it is indeed an algebra over the given ring. A group algebra over a field has a further structure of a Hopf algebra; in this case, it is thus called a group Hopf algebra. The apparatus of group rings is especially useful in the theory of group representations.
Некоторые основные свойства
Используя 1 для обозначения мультипликативной единицы кольца R и обозначая единицу группы 1G, кольцо R[G] содержит подкольцо, изоморфное R, и его группа обратимых элементов содержит подгруппу, изоморфную G. Рассмотрим индикаторную функцию множества {1G}, которая является вектором f, определенным как
Множество всех скалярных кратных f является подкольцом R[G], изоморфным R. И если мы отобразим каждый элемент s из G в индикаторную функцию множества {s}, которая является вектором f, определенным как
то полученное отображение является инъективным групповым гомоморфизмом (относительно умножения, а не сложения, в R[G]). Если R и G оба коммутативны (т.е. R коммутативно, а G – абелева группа), то R[G] коммутативно. Если H – подгруппа G, то R[H] является подкольцом R[G]. Аналогично, если S – подкольцо R, то S[G] является подкольцом R[G]. Если G – конечная группа порядка больше 1, то R[G] всегда имеет делители нуля. Например, рассмотрим элемент g из G порядка |g| = m > 1. Тогда 1 – g является делителем нуля:
Например, рассмотрим кольцо группы Z[S3] и элемент порядка 3, g = (123). В этом случае,
Связанный результат: Если кольцо группы является простым, то G не имеет неединичных конечных нормальных подгрупп (в частности, G должно быть бесконечным). Доказательство: рассмотрим контрапозицию. Предположим, что существует неединичная конечная нормальная подгруппа N группы G. Поскольку для любого g из G, gN = N, мы знаем, что g – 1 лежит в N. Следовательно, принимая элемент 1 из N, мы имеем 1 = 0 по нормальности N, N коммутирует с любым базисом R[G], и поэтому 1 – g = 0. И мы видим, что 1 – g не равно нулю, что показывает, что R[G] не является простым. Это доказывает исходное утверждение.
Полупростое разложение
Размер векторного пространства K[G] равен числу элементов группы. Поле K обычно выбирается как комплексные числа C или действительные числа R, поэтому рассматриваются групповые алгебры C[G] или R[G]. Групповая алгебра C[G] конечной группы над комплексными числами является полупростым кольцом. Этот результат, теорема Машке, позволяет рассматривать C[G] как конечное произведение матричных колец с элементами из C. Действительно, если перечислить комплексные неприводимые представления G как Vk для k = 1, ..., m, то они соответствуют групповым гомоморфизмам и, следовательно, алгебраическим гомоморфизмам. Построение этих отображений дает алгебраический изоморфизм
где dk – размерность Vk. Субалгебра C[G], соответствующая End(Vk), является двусторонним идеалом, порожденным идемпотентом
где χk – характер Vk. Они образуют полную систему ортогональных идемпотентов, так что для j ≠ k, и Изоморфизм тесно связан с преобразованием Фурье на конечных группах. Для более общего поля K, если характеристика K не делит порядок группы G, то K[G] является полупростым. Если G – конечная абелева группа, то групповое кольцо K[G] является коммутативным, и его структуру легко выразить через корни из единицы. Если K – поле характеристики p, делящей порядок G, то групповое кольцо не является полупростым: оно имеет ненулевой радикал Якобсона, что придает соответствующей области теории модулярных представлений собственный, более глубокий характер.
Групповые кольца над бесконечной группой
Гораздо меньше известно в случае, когда G счетно бесконечно или несчетно, и это область активных исследований. Случай, когда R – поле комплексных чисел, вероятно, наиболее изучен. В этом случае Ирвинг Каплански доказал, что если a и b – элементы C[G] такие, что 1 = ab = 1, то 1 = ba = 1. Остается неизвестным, верно ли это, если R – поле положительной характеристики. Давно существующая гипотеза Капланского (~1940) утверждает, что если G – группа, не содержащая элементов конечного порядка, а K – поле, то кольцо группы K[G] не имеет нетривиальных делителей нуля. Эта гипотеза эквивалентна тому, что K[G] не имеет нетривиальных нильпотентов при тех же предположениях для K и G.
Фактически, требование, чтобы K было полем, можно ослабить до любого кольца, которое может быть вложено в целостностную область. Гипотеза остается открытой в полной мере, однако показано, что некоторые частные случаи групп, не содержащих элементов конечного порядка, удовлетворяют гипотезе о делителях нуля. К ним относятся:
* Уникальные произведения групп (например, упорядочимые группы, в частности, свободные группы)
* Элементарно податливые группы (например, практически абелевы группы)
* Диффузные группы – в частности, группы, действующие свободно изометрически на R-деревья, и фундаментальные группы поверхностных групп, за исключением фундаментальных групп прямых сумм одного, двух или трех копий проективной плоскости. Случай, когда G – топологическая группа, обсуждается более подробно в статье «Групповая алгебра локально компактной группы».
Elementary amenable groups (e. g. virtually abelian groups)
Diffuse groups – in particular, groups that act freely isometrically on R trees, and the fundamental groups of surface groups except for the fundamental groups of direct sums of one, two or three copies of the projective plane. The case where G is a topological group is discussed in greater detail in the article Group algebra of a locally compact group.
Алгебра Хопфа
Групповая алгебра K[G] имеет естественную структуру алгебры Хопфа. Комножение определяется формулой , линейно расширенной, а антипод – , также линейно расширенной.
Обобщения
Групповая алгебра обобщается до моноидного кольца и затем до алгебры категорий, другим примером которой является алгебра инцидентности.
Фильтрация
Если группа имеет функцию длины – например, если задан выбор образующих и используется метрика слов, как в группах Коксетера, – то кольцо группы становится фильтрованной алгеброй.