Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикада, әсіресе сызықтық алгебрада, Кауши-Байне формуласы, Аугустин Луи Кауши мен Жак Филипп Мари Бине есімімен аталады. Бұл формула транспозицияланған пішіндегі екі тікбұрышты матрицаның көбейтіндісінің детерминанты үшін қолданылады (яғни, көбейтінді дұрыс анықталған және квадрат матрица болады). Ол квадрат матрицалардың көбейтіндісінің детерминанты олардың детерминанттарының көбейтіндісіне тең деген қағиданы жалпылайды. Формула кез келген коммутативті сақина элементтерінен құралған матрицалар үшін де жарамды.
In mathematics, specifically linear algebra, the Cauchy–Binet formula, named after Augustin Louis Cauchy and Jacques Philippe Marie Binet, is an identity for the determinant of the product of two rectangular matrices of transpose shapes (so that the product is well defined and square). It generalizes the statement that the determinant of a product of square matrices is equal to the product of their determinants. The formula is valid for matrices with the entries from any commutative ring.
Ерекше жағдайлар
Егер n < m болса, онда бос жиын, ал формула det(AB) = 0 (оның оң жағы бос қосынды); шындығында, бұл жағдайда m × m матрицасы AB-ның ранкі ең көп дегенде n-ге тең, бұл оның детерминанты нөл екенін білдіреді. Егер n = m болса, онда A және B квадрат матрицалар (бір элементті жиын), сондықтан қосынды тек S = [n] жиынынан тұрады, ал формула det(AB) = det(A)det(B) дейді. m = 0 үшін A және B бос матрицалар (бірақ n > 0 болса, әртүрлі пішінде), олардың көбейтіндісі AB да солай; қосындыда S = Ø бір ғана мүше болады, ал формула 1 = 1 дейді, екі жағы да 0 × 0 матрицасының детерминантымен берілген. m = 1 үшін қосынды [n] жиынынан алынған n әртүрлі бір элементті жиыннан тұрады, ал формуланың екі жағы матрицалармен бейнеленген векторлар жұбының скалярлық көбейтіндісін береді. Формула тривиалды емес теңдікті көрсететін m-нің ең кіші мәні m = 2; ол Бине-Коши тождестігі туралы мақалада талқыланады.
If n < m then is the empty set, and the formula says that det(AB) = 0 (its right hand side is an empty sum); indeed in this case the rank of the m×m matrix AB is at most n, which implies that its determinant is zero. If n = m, the case where A and B are square matrices, (a singleton set), so the sum only involves S = [n], and the formula states that det(AB) = det(A)det(B). For m = 0, A and B are empty matrices (but of different shapes if n > 0), as is their product AB; the summation involves a single term S = Ø, and the formula states 1 = 1, with both sides given by the determinant of the 0×0 matrix. For m = 1, the summation ranges over the collection of the n different singletons taken from [n], and both sides of the formula give , the dot product of the pair of vectors represented by the matrices. The smallest value of m for which the formula states a non trivial equality is m = 2; it is discussed in the article on the Binet–Cauchy identity.
n = 3 жағдайында
Келіңіздер, бұл үш өлшемді векторлар болсын. Егер m > 3 болса, оң жақ теңдік әрқашан 0-ге тең болады.
Let be three dimensional vectors. In the case m > 3, the right hand side always equals 0.
Жалпылау
Коши-Бине формуласын екі матрицаның көбейтіндісінің миноры үшін жалпы формулаға тікелей кеңейтуге болады. Формуланың түсіндірмесі минорлар туралы мақалада келтірілген, бірақ идеясы мынада: кәдімгі матрица көбейту формуласы және екі матрицаның көбейтіндісінің анықтауышы үшін Коши-Бине формуласы – екі матрицаның көбейтіндісінің миноры туралы келесі жалпы тұжырымның ерекше жағдайлары. Егер A – m × n матрица, B – n × p матрица болса, ал I – {1, …, m} жиынының k элементтен тұратын ішкі жиыны, J – {1, …, p} жиынының k элементтен тұратын ішкі жиыны болсын. Онда:
The Cauchy–Binet formula can be extended in a straightforward way to a general formula for the minors of the product of two matrices. Context for the formula is given in the article on minors, but the idea is that both the formula for ordinary matrix multiplication and the Cauchy–Binet formula for the determinant of the product of two matrices are special cases of the following general statement about the minors of a product of two matrices. Suppose that A is an m × n matrix, B is an n × p matrix, I is a subset of {1, ,m} with k elements and J is a subset of {1, ,p} with k elements. Then
мұндағы қосынды {1, …, n} жиынының k элементтен тұратын барлық K ішкі жиындары бойынша алынады.
where the sum extends over all subsets K of {1, ,n} with k elements.
Тұрақты нұсқа
Андреиф-Хайне сәйкестігі немесе Андреиф сәйкестігі деп аталатын Коши-Бине формуласының үздіксіз түрі кездейсоқ матрицалар теориясында жиі кездеседі. Ол былай тұжырымдалады: және екі интегралданатын функциялар тізбегі болсын, олар тек қана қолдауға ие. Сонда
A continuous version of the Cauchy–Binet formula, known as the Andréief Heine identity or Andréief identity appears commonly in random matrix theory. It is stated as follows: let and be two sequences of integrable functions, supported on Then
Форрестер жоғарыдағы сәйкестіктің дискреттелуі арқылы қалыпты Коши-Бине формуласын қалай қалпына келтіруге болатынын сипаттайды.
Forrester describes how to recover the usual Cauchy–Binet formula as a discretisation of the above identity.