Введение

В математике, в частности в линейной алгебре, формула Коши — Бине, названная в честь Огюстена Луи Коши и Жака Филиппа Мари Бине, представляет собой тождество для определителя произведения двух прямоугольных матриц с взаимно сопряжёнными размерами (так, чтобы произведение было определено и являлось квадратным). Она обобщает утверждение о том, что определитель произведения квадратных матриц равен произведению их определителей. Формула справедлива для матриц, элементы которых принадлежат любому коммутативному кольцу.

Особые случаи

Если n < m, то это пустое множество, и формула утверждает, что det(AB) = 0 (его правая часть – пустая сумма); действительно, в этом случае ранг матрицы m × m AB не превосходит n, что влечет за собой равенство ее детерминанта нулю. Если n = m, то A и B – квадратные матрицы, (одиночное множество), поэтому сумма включает только S = [n], и формула утверждает, что det(AB) = det(A)det(B). Для m = 0, A и B – пустые матрицы (но разной формы, если n > 0), как и их произведение AB; суммирование включает единственный член S = Ø, и формула утверждает 1 = 1, обе части которой равны детерминанту матрицы 0 × 0. Для m = 1, суммирование производится по множеству из n различных синглетонов, выбранных из [n], и обе части формулы дают , скалярное произведение пар векторов, представленных матрицами. Наименьшее значение m, при котором формула выражает нетривиальное равенство, – это m = 2; это обсуждается в статье о тождестве Бине — Коши.

В случае n = 3

Пусть **a**, **b** и **c** – трехмерные векторы. В случае, когда m > 3, правая часть всегда равна 0.

Обобщение

Формулу Коши-Бине можно непосредственно расширить до общей формулы для миноров произведения двух матриц. Контекст для этой формулы представлен в статье о минорах, но суть в том, что как формула для обычного умножения матриц, так и формула Коши-Бине для определителя произведения двух матриц являются частными случаями следующего общего утверждения о минорах произведения двух матриц. Пусть A – матрица размера m × n, B – матрица размера n × p, I – подмножество множества {1, …, m}, содержащее k элементов, а J – подмножество множества {1, …, p}, содержащее k элементов. Тогда

где суммирование ведется по всем подмножествам K множества {1, …, n}, содержащим k элементов.

Непрерывная версия

Непрерывная версия формулы Коши — Бине, известная как тождество Андреева — Хайне или тождество Андреева, часто встречается в теории случайных матриц. Она формулируется следующим образом: пусть f и g — две последовательности интегрируемых функций, имеющих носитель на [a, b]. Тогда

Форрестер описывает, как получить обычную формулу Коши — Бине путем дискретизации вышеуказанного тождества.