Кіріспе
Кіші топтың бейнелеуін бас топқа тарату процесі. Топтар теориясында, индуцирленген бейнелеу – бұл топтың G бейнелеуі, ол H кіші тобының белгілі бейнелеуін пайдаланып құрастырылады. H-тың берілген бейнелеуі үшін, индуцирленген бейнелеу белгілі бір мағынада, берілген бейнелеуді кеңейтетін G-дің "ең жалпы" бейнелеуі болып табылады. G-ға қарағанда H кіші тобы үшін бейнелеулерді табу әдетте оңай болғандықтан, индуцирленген бейнелеулерді құру операциясы жаңа бейнелеулерді жасау үшін маңызды құрал болып табылады. Индукцияланған бейнелеулерді алғаш рет Фробеньус шекті топтардың сызықтық бейнелеулері үшін анықтаған. Бұл идея шекті топтармен ғана шектелмейді, бірақ осы жағдайда теория ерекше жақсы дамыған.
In group theory, the induced representation is a representation of a group, G, which is constructed using a known representation of a subgroup H. Given a representation of H, the induced representation is, in a sense, the "most general" representation of G that extends the given one. Since it is often easier to find representations of the smaller group H than of G, the operation of forming induced representations is an important tool to construct new representations. Induced representations were initially defined by Frobenius, for linear representations of finite groups. The idea is by no means limited to the case of finite groups, but the theory in that case is particularly well behaved.
Алгебралық
G – шекті топ, H – G-нің кез келген кіші тобы болсын. Сонымен қатар, (π, V) – H-ның бір өрнектелісі болсын. G-дегі H-ның индексі болсын және g₁, …, gₙ – G-дегі сол жақ косеттердің G/H-дағы толық жиынтығы болсын. Индукцияланған өрнектеме W келесі кеңістікте әрекет етеді деп қарастыруға болады:
Here each gi V is an isomorphic copy of the vector space V whose elements are written as gi v with v ∈ V. For each g in G and each gi there is an hi in H and j(i) in {1, , n} such that 1=g gi = gj(i) hi (This is just another way of saying that g1, , gn is a full set of representatives.) Via the induced representation G acts on W as follows:
where for each i.
Alternatively, one can construct induced representations by extension of scalars: any K linear representation of the group H can be viewed as a module V over the group ring K[H]. We can then define
This latter formula can also be used to define for any group G and subgroup H, without requiring any finiteness.
Мұнда әрбір giV – V векторлық кеңістігінің элементтері gi v (v ∈ V) түрінде жазылатын изоморфты көшірмесі. G-дегі әр g және әр gi үшін H-да hi және j(i) ∈ {1, …, n} индексі бар, сондықтан g gi = gj(i) hi (Бұл g₁, …, gₙ – өкілдердің толық жиынтығы екенін айтудың тағы бір жолы). Индукцияланған өрнектеме арқылы G, W-ге келесідей әсер етеді:
Here each gi V is an isomorphic copy of the vector space V whose elements are written as gi v with v ∈ V. For each g in G and each gi there is an hi in H and j(i) in {1, , n} such that 1=g gi = gj(i) hi (This is just another way of saying that g1, , gn is a full set of representatives.) Via the induced representation G acts on W as follows:
where for each i.
Alternatively, one can construct induced representations by extension of scalars: any K linear representation of the group H can be viewed as a module V over the group ring K[H]. We can then define
This latter formula can also be used to define for any group G and subgroup H, without requiring any finiteness.
мұнда әр i үшін. Басқаша айтқанда, скалярларды кеңейту арқылы индуцированные өрнектемелер құрастыруға болады: кез келген K-сызықтық өрнектеме ρ H тобы үшін топтық сақина K[H] үстіндегі V модулі ретінде қарастырылуы мүмкін. Осы соңғы формула кез келген G тобы мен H кіші тобы үшін де, ешқандай шектілік талаптарынсыз анықтауға қолданылады.
Here each gi V is an isomorphic copy of the vector space V whose elements are written as gi v with v ∈ V. For each g in G and each gi there is an hi in H and j(i) in {1, , n} such that 1=g gi = gj(i) hi (This is just another way of saying that g1, , gn is a full set of representatives.) Via the induced representation G acts on W as follows:
where for each i.
Alternatively, one can construct induced representations by extension of scalars: any K linear representation of the group H can be viewed as a module V over the group ring K[H]. We can then define
This latter formula can also be used to define for any group G and subgroup H, without requiring any finiteness.
Мысалдар
Кез келген топ үшін, тривиалды кіші топтың тривиалды өкілдігінің индукцияланған өкілдігі оң жақты тұрақты өкілдік болып табылады. Көбірек айтқанда, кез келген кіші топтың тривиалды өкілдігінің индукцияланған өкілдігі сол кіші топтың косеттеріндегі пермутациялық өкілдік болып табылады. Бір өлшемді өкілдіктің индукцияланған өкілдігі мономиалды өкілдік деп аталады, себебі оны мономиалды матрицалар түрінде бейнелеуге болады. Кейбір топтардың барлық ирредуктибелді өкілдіктері мономиалды болады, мұндай топтар мономиалды топтар деп аталады.
Талдау
Егер G – жергілікті компактты топологиялық топ (шегі шексіз болуы мүмкін) және H – жабық кіші топ болса, индукцияланған өкілдіктің ортақ талдамалық құрылысы бар. (π, V) болсын – H-тің Хилберт кеңістігі V-ге үздіксіз унитарлық өкілдігі. Онда мынаны қарастырамыз:
Мұнда φ∈L²(G/H) – G/H кеңістігіндегі инвариантты өлшемнің болуын білдіреді, және φ(g) нормасы H-тің әрбір сол жақ косеті бойынша тұрақты болғандықтан, осы нормалардың квадратын G/H бойынша интегралдау арқылы шекті нәтиже алуға болады. G тобы индукцияланған өкілдік кеңістігіне трансляция арқылы әсер етеді, яғни (g⋅φ)(x) = φ(g⁻¹x), g, x ∈ G үшін. Бұл құрылым қажетті қолдануларға сәйкес әртүрлі жолдармен өзгертіледі. Көп қолданылатын нұсқасы – нормаланған индукция, ол әдетте сол белгіленуді пайдаланады. Өкілдік кеңістігінің анықтамасы мынадай:
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Мұнда ΔG және ΔH сәйкесінше G және H топтарының модульдік функциялары. Нормалайтын коэффициенттерді қосу арқылы, бұл индукциялық функтор унитарлық өкілдіктерді унитарлық өкілдіктерге айналдырады. Индукцияның тағы бір түрі – компактты индукция. Бұл стандартты индукцияның компактты тірегі бар функцияларға шектелуі. Ол ind деп белгіленеді және былай анықталады:
Егер G/H компакт болса, онда Ind және ind бірдей функтор болып табылады.
Импримитивтілік жүйелері
Жергілікті жиынтық топтардың бірлік өкілдіктері жағдайында, индукция құрастырылымын басып шығару жүйелері арқылы тұжырымдауға болады.
Жалғандық теориясы
Жалған теорияда өте маңызды мысал – параболалық индукция: редуктивті топтың параболалық кіші топтарының өкілдіктерінен оның өкілдіктерін индукциялау. Бұл, cusp формаларының философиясы арқылы, Лэнглендс бағдарламасына алып келеді.