Введение
Процесс расширения представления подгруппы на порождающую группу
В теории групп индуцированное представление — это представление группы G, которое строится на основе известного представления подгруппы H. При заданном представлении H индуцированное представление, в определенном смысле, является "наиболее общим" представлением G, которое является расширением данного представления. Поскольку часто проще найти представления меньшей группы H, чем группы G, операция построения индуцированных представлений является важным инструментом для создания новых представлений. Индуцированные представления были впервые определены Фробениусом для линейных представлений конечных групп. Эта идея не ограничивается случаем конечных групп, однако теория в этом случае особенно хорошо разработана.
Алгебраическая
Пусть G — конечная группа, а H — любая подгруппа G. Пусть (π, V) — представление H. Обозначим [G:H] индекс H в G, и пусть g₁, …, gₙ — полное множество представителей в G левых классов по H в G/H. Индуцированное представление можно рассматривать как действие на следующее пространство:
Здесь каждое gᵢV является изоморфной копией векторного пространства V, элементы которой записываются как gᵢv, где v ∈ V. Для каждого g из G и каждого gᵢ существует hᵢ из H и j(i) из {1, …, n} такие, что g = g gᵢ = gⱼ(i) hᵢ (это лишь другой способ сказать, что g₁, …, gₙ — полное множество представителей). Через индуцированное представление G действует на W следующим образом:
где для каждого i.
В качестве альтернативы индуцированные представления можно построить посредством расширения скаляров: любое K-линейное представление группы H можно рассматривать как модуль V над групповым кольцом K[H]. Тогда можно определить
Эта последняя формула также может быть использована для определения для любой группы G и подгруппы H, без каких-либо требований о конечности.
Примеры
Для любой группы индуцированное представление тривиального представления тривиальной подгруппы является правым регулярным представлением. В более общем случае, индуцированное представление тривиального представления любой подгруппы является перестановочным представлением на классах вычетов этой подгруппы. Индуцированное представление одномерного представления называется мономиальным представлением, поскольку оно может быть представлено мономиальными матрицами. Некоторые группы обладают свойством, что все их неприводимые представления являются мономиальными, такие группы называются мономиальными.
Аналитический
Если G — локально компактная топологическая группа (возможно, бесконечная), а H — замкнутая подгруппа, то существует общая аналитическая конструкция индуцированного представления. Пусть (π, V) — непрерывное унитарное представление H в гильбертово пространство V. Тогда мы можем определить:
Here φ∈L^(2)(G/H) means: the space G/H carries a suitable invariant measure, and since the norm of φ(g) is constant on each left coset of H, we can integrate the square of these norms over G/H and obtain a finite result. The group G acts on the induced representation space by translation, that is, 1=(g.φ)(x)=φ(g^(−1)x) for g,x∈G and
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Here ΔG, ΔH are the modular functions of G and H respectively. With the addition of the normalizing factors this induction functor takes unitary representations to unitary representations. One other variation on induction is called compact induction. This is just standard induction restricted to functions with compact support. Formally it is denoted by ind and defined as:
Note that if G/H is compact then Ind and ind are the same functor.
Здесь φ ∈ L²(G/H) означает, что пространство G/H несет подходящую инвариантную меру, и поскольку норма φ(g) постоянна на каждом левом смежном классе H, мы можем интегрировать квадрат этих норм по G/H и получить конечный результат. Группа G действует на индуцированное пространство представлений посредством сдвига, то есть (g.φ)(x) = φ(g⁻¹x) для g, x ∈ G и
Here φ∈L^(2)(G/H) means: the space G/H carries a suitable invariant measure, and since the norm of φ(g) is constant on each left coset of H, we can integrate the square of these norms over G/H and obtain a finite result. The group G acts on the induced representation space by translation, that is, 1=(g.φ)(x)=φ(g^(−1)x) for g,x∈G and
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Here ΔG, ΔH are the modular functions of G and H respectively. With the addition of the normalizing factors this induction functor takes unitary representations to unitary representations. One other variation on induction is called compact induction. This is just standard induction restricted to functions with compact support. Formally it is denoted by ind and defined as:
Note that if G/H is compact then Ind and ind are the same functor.
Эта конструкция часто модифицируется различными способами для соответствия требуемым приложениям. Распространенная версия называется нормализованной индукцией и обычно использует ту же нотацию. Определение пространства представлений следующее:
Here φ∈L^(2)(G/H) means: the space G/H carries a suitable invariant measure, and since the norm of φ(g) is constant on each left coset of H, we can integrate the square of these norms over G/H and obtain a finite result. The group G acts on the induced representation space by translation, that is, 1=(g.φ)(x)=φ(g^(−1)x) for g,x∈G and
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Here ΔG, ΔH are the modular functions of G and H respectively. With the addition of the normalizing factors this induction functor takes unitary representations to unitary representations. One other variation on induction is called compact induction. This is just standard induction restricted to functions with compact support. Formally it is denoted by ind and defined as:
Note that if G/H is compact then Ind and ind are the same functor.
Здесь ΔG, ΔH — модулярные функции G и H соответственно. С добавлением нормализующих множителей этот функтор индукции переводит унитарные представления в унитарные представления. Другой вариант индукции называется компактной индукцией. Это просто стандартная индукция, ограниченная функциями с компактным носителем. Формально она обозначается как ind и определяется как:
Here φ∈L^(2)(G/H) means: the space G/H carries a suitable invariant measure, and since the norm of φ(g) is constant on each left coset of H, we can integrate the square of these norms over G/H and obtain a finite result. The group G acts on the induced representation space by translation, that is, 1=(g.φ)(x)=φ(g^(−1)x) for g,x∈G and
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Here ΔG, ΔH are the modular functions of G and H respectively. With the addition of the normalizing factors this induction functor takes unitary representations to unitary representations. One other variation on induction is called compact induction. This is just standard induction restricted to functions with compact support. Formally it is denoted by ind and defined as:
Note that if G/H is compact then Ind and ind are the same functor.
Обратите внимание, что если G/H компактно, то Ind и ind — один и тот же функтор.
Here φ∈L^(2)(G/H) means: the space G/H carries a suitable invariant measure, and since the norm of φ(g) is constant on each left coset of H, we can integrate the square of these norms over G/H and obtain a finite result. The group G acts on the induced representation space by translation, that is, 1=(g.φ)(x)=φ(g^(−1)x) for g,x∈G and
This construction is often modified in various ways to fit the applications needed. A common version is called normalized induction and usually uses the same notation. The definition of the representation space is as follows:
Here ΔG, ΔH are the modular functions of G and H respectively. With the addition of the normalizing factors this induction functor takes unitary representations to unitary representations. One other variation on induction is called compact induction. This is just standard induction restricted to functions with compact support. Formally it is denoted by ind and defined as:
Note that if G/H is compact then Ind and ind are the same functor.
Системы импримитивности
В случае унитарных представлений локально компактных групп, построение индукции может быть сформулировано в терминах систем импримитивности.
Теория лжи
В теории Ли чрезвычайно важным примером является параболическая индукция: построение представлений редуктивной группы из представлений её параболических подгрупп. Это приводит, опираясь на философию форм куспид, к программе Лэнгландса.