Кіріспе
Полиномиялық функциялардың қатынасы
Математикада рационалды функция – бұл рационалды бөлшек түрінде берілетін кез келген функция, яғни алгебралық бөлшек, онда есептегіш пен бөлімші екеуі де полиномдар болады. Полиномдардың коэффициенттері рационалды сандар болуы міндетті емес; олар кез келген K өрісінде алынуы мүмкін. Бұл жағдайда, K өрісіндегі рационалды функция және рационалды бөлшектер туралы айтылады. Айтмалы шамалардың мәндері K өрісін қамтитын кез келген L өрісінде алынуы мүмкін. Онда функцияның анықталу облысы – бұл бөлімші нөлге тең болмайтын айтмалы шамалардың мәндерінің жиынтығы, ал кодомена – L.
Рационалды функциялардың K өрісіндегі жиыны – өріс, K өрісіндегі полиномдық функциялар сақинасының бөлшектер өрісі.
Степені
Рационалдық функция дәрежесінің бірнеше баламасыз анықтамалары бар. Көбінесе, рационалдық функцияның дәрежесі – оның құрамына кіретін P және Q көпмүшелерінің дәрежелерінің ең жоғарысы, бөлшек ең қарапайым түріне келтірілген кезде. Егер f дәрежесі d болса, онда теңдеу z-та d түрлі шешімге ие болады, w-нің белгілі бір мәндері, сыни мәндер деп аталатындары, екі немесе одан көп шешімдер бірдей болады немесе кейбір шешімдер шексіздікте қабылданады (яғни, бөлімнен құтылғаннан кейін теңдеудің дәрежесі төмендейді). Кешенді коэффициенттер жағдайында, бірінші дәрежелі рационалдық функция – Мёбиус түрлендіруі. Рационалдық функция графигінің дәрежесі жоғарыдағыдай анықталған дәреже емес: ол есептегіштің дәрежесінің және бөлімнің дәрежесіне бір қосылғанның ең жоғарысы. Кейбір контекстерде, мысалы, асимптотикалық талдауда, рационалдық функцияның дәрежесі – есептегіш пен бөлімнің дәрежелері арасындағы айырма. Желілік синтезде және желілік талдауда, екінші дәрежелі рационалдық функция (яғни, ең көп дегенде екінші дәрежелі екі көпмүшенің қатынасы) көбінесе деп аталады.
has d distinct solutions in z except for certain values of w, called critical values, where two or more solutions coincide or where some solution is rejected at infinity (that is, when the degree of the equation decreases after having cleared the denominator). In the case of complex coefficients, a rational function with degree one is a Möbius transformation. The degree of the graph of a rational function is not the degree as defined above: it is the maximum of the degree of the numerator and one plus the degree of the denominator. In some contexts, such as in asymptotic analysis, the degree of a rational function is the difference between the degrees of the numerator and the denominator. In network synthesis and network analysis, a rational function of degree two (that is, the ratio of two polynomials of degree at most two) is often called a .
Абстрактілік алгебра мен геометриялық түсінік
Абстракт алгебрада көпмүшендік түсінігі кез келген өрістен алынған коэффициенттері бар формальды өрнектерді қамтиды. Осылайша, егер F өрісі және белгілі бір X белгісізі берілген болса, рационалдық өрнек (рационалдық бөлшек немесе алгебралық геометрияда рационалдық функция деп те аталады) – F[X] көпмүшендік сақинасының бөлшектер өрісінің кез келген елемі. Кез келген рационалдық өрнекті Q ≠ 0 болатын екі көпмүшеннің қатынасы P/Q түрінде жазуға болады, бірақ бұл бейнелеу бірегей емес. P/Q, P, Q, R және S көпмүшендері үшін PS = QR болғанда R/S-ке тең. Дегенмен, F[X] – бірегей жіктеу домені болғандықтан, кез келген рационалдық өрнек P/Q үшін P және Q ең төменгі дәрежелі көпмүшендер, ал Q – моник болатын бірегей бейнелеу бар. Бұл бүтін сандардың бөлшегін ортақ көбейткіштерді қысқарту арқылы әрқашан ең қарапайым түрінде бірегей түрде жазуға болатын жағдайға ұқсас. Рационалдық өрнектер өрісі F(X) деп белгіленеді. Бұл өріс F өрісі үстінде (трансценденттік элемент) X арқылы туындайды, себебі F(X) F және X элементін бірге қамтитын ешқандай тиісті ішкі өрісті қамтымайды.
Алгебралық сан түріндегі рационалдық функция түсінігі
Көптамалар сияқты, рационалдық өрнектерді де n белгісіздерге – X1, ..., Xn – жалпылауға болады, F[X1, ..., Xn] сақинасының бөлшектер өрісін алу арқылы, ол F(X1, ..., Xn) деп белгіленеді. Рационалдық функцияның абстракті идеясының кеңейтілген түрі алгебралық геометрияда қолданылады. Мұнда алгебралық сан алуандық V-нің функциялық өрісі, V-нің координаталық сақинасының (немесе дәлірек айтқанда, V-дегі Зариский тығыз аффиндік ашық жиынның) бөлшектер өрісі ретінде құрастырылады. Оның f элементтері бос емес ашық жиындар U-де алгебралық геометрия мағынасындағы реттелген функциялар ретінде қарастырылады, сондай-ақ проективтік түзуге морфизмдер ретінде де қарастырылуы мүмкін.
Қолданбалар
Рационалды функциялар сандық талдауда функцияларды интерполяциялау және жуықтау үшін қолданылады, мысалы, Анри Паде енгізген Паде жуықтамалары. Рационалды функциялар арқылы жуықтау компьютерлік алгебра жүйелері және басқа сандық бағдарламалық қамтамасы үшін өте ыңғайлы. Полиномдар сияқты, оларды тікелей есептеуге болады, сонымен бірге олар полиномдарға қарағанда көбірек әртүрлі мінез-құлықты көрсетеді. Рационалды функциялар ғылым мен инженерияда күрделі теңдеулерді жуықтау немесе модельдеу үшін қолданылады, оның ішінде физикадағы өрістер мен күштер, аналитикалық химиядағы спектроскопия, биохимиядағы фермент кинетикасы, электрондық тізбектер, аэродинамика, медицинадағы in vivo концентрациялар, атомдар мен молекулалар үшін толқындық функциялар, сурет ажыратымдылығын жақсарту үшін оптика және фотосурет, сондай-ақ акустика және дыбыс. Сигналды өңдеуде, импульстік жауабы бар кең таралған сызықтық уақыт инвариантты жүйелердің (фильтрлердің) Лаплас трансформациясы (үздіріссіз жүйелер үшін) немесе z трансформациясы (дискретті уақыт жүйелері үшін) кешенді сандар бойынша рационалды функциялар болып табылады.