Введение

Рациональные функции

В математике рациональной функцией называется любая функция, которая может быть определена рациональным выражением, являющимся алгебраической дробью, у которой как числитель, так и знаменатель являются многочленами. Коэффициенты многочленов не обязательно должны быть рациональными числами; их можно выбирать из любого поля K. В этом случае говорят о рациональной функции и рациональном выражении над K. Значения переменных могут быть взяты из любого поля L, содержащего K. Область определения функции – это множество значений переменных, при которых знаменатель не равен нулю, а область значений – L.

Множество рациональных функций над полем K само является полем, полем частных кольца многочленных функций над K.

Степень

Существует несколько неэквивалентных определений степени рациональной функции. Чаще всего степень рациональной функции определяется как максимум степеней составляющих её многочленов P и Q после приведения дроби к несократимому виду. Если степень f равна d, то уравнение

имеет d различных решений относительно z, за исключением некоторых значений w, называемых критическими значениями, при которых два или более решений совпадают, либо какое-либо решение отбрасывается на бесконечности (то есть, когда степень уравнения уменьшается после избавления от знаменателя). В случае комплексных коэффициентов рациональная функция степени один является преобразованием Мёбиуса. Степень графика рациональной функции отличается от степени, определённой выше: она равна максимуму степени числителя и единице плюс степени знаменателя. В некоторых контекстах, таких как асимптотический анализ, степень рациональной функции определяется как разность между степенями числителя и знаменателя. В теории электрических цепей и анализе цепей рациональная функция второй степени (то есть отношение двух многочленов, степень каждого из которых не превышает двух) часто называется .

Абстрактная алгебра и геометрическое понятие

В абстрактной алгебре понятие многочлена расширяется, чтобы включать формальные выражения, в которых коэффициенты многочлена могут быть взяты из любого поля. В этом контексте, при заданном поле F и некоторой переменной X, рациональное выражение (также известное как рациональная дробь или, в алгебраической геометрии, рациональная функция) является любым элементом поля частных кольца многочленов F[X]. Любое рациональное выражение может быть записано в виде частного двух многочленов P/Q, где Q ≠ 0, хотя это представление не единственно. P/Q эквивалентно R/S для многочленов P, Q, R и S, если PS = QR. Однако, поскольку F[X] является областью однозначной факторизации, существует единственное представление для любого рационального выражения P/Q, где P и Q – многочлены наименьшей степени, а Q выбран мо́ническим. Это аналогично тому, как обыкновенную дробь всегда можно однозначно сократить до несократимого вида, вычеркнув общие множители. Поле рациональных выражений обозначается F(X). Говорят, что это поле порождено (как поле) над F элементом X (трансцендентным элементом), поскольку F(X) не содержит собственных подполей, содержащих как F, так и элемент X.

Понятие рациональной функции на алгебраическом разнообразии

Как и многочлены, рациональные выражения также могут быть обобщены на n переменных X₁, …, Xₙ, путем взятия поля дробей кольца многочленов F[X₁, …, Xₙ], которое обозначается F(X₁, …, Xₙ). Обобщенная версия абстрактной идеи рациональной функции используется в алгебраической геометрии. Там поле функций алгебраического многообразия V формируется как поле дробей координатного кольца V (точнее, плотного аффинного открытого множества Зариски в V). Его элементы f рассматриваются как регулярные функции в смысле алгебраической геометрии на непустых открытых множествах U и также могут рассматриваться как морфизмы в проективную прямую.

Приложения

Рациональные функции используются в численном анализе для интерполяции и аппроксимации функций, например, аппроксимации Паде, предложенные Анри Паде. Аппроксимации, выраженные рациональными функциями, хорошо подходят для систем компьютерной алгебры и другого численного программного обеспечения. Как и полиномы, они могут быть вычислены непосредственно, при этом они описывают более разнообразное поведение, чем полиномы. Рациональные функции применяются для аппроксимации или моделирования более сложных уравнений в науке и технике, включая поля и силы в физике, спектроскопию в аналитической химии, кинетику ферментов в биохимии, электронные схемы, аэродинамику, концентрацию лекарственных средств in vivo, волновые функции атомов и молекул, оптику и фотографию для повышения разрешения изображений, а также акустику и звук. В обработке сигналов преобразование Лапласа (для непрерывных систем) или z-преобразование (для дискретных систем) импульсной характеристики часто используемых линейных стационарных систем (фильтров) с бесконечным импульсным откликом являются рациональными функциями над комплексными числами.