Кіріспе

Топологиялық кеңістік топтар теориясында

Математикада, біртекті кеңістік – бұл, өте бейресми түрде, сіз оның ішінде қозғалғанда, топтың әрекетімен анықталатын қозғалыс арқылы, әр жерде бірдей көрінетін кеңістік. Біртекті кеңістіктер Ли тобы, алгебралық топтар және топологиялық топтар теорияларында кездеседі. Нақтырақ айтқанда, G тобының біртекті кеңістігі – G транзитивті әрекет ететін бос емес көптүрлілік немесе топологиялық X кеңістігі. G элементтері X кеңістігінің симметриялары деп аталады. Бұның ерекше жағдайы – G тобы X кеңістігінің автоморфизм тобы болған кезде. Мұнда "автоморфизм тобы" изометрия тобын, диффеоморфизм тобын немесе гомеоморфизм тобын білдіре алады. Бұл жағдайда, X біртекті болады, егер X кеңістігінің әрбір нүктесінде жергілікті түрде бірдей көрінсе, изометрия (қатаң геометрия), диффеоморфизм (дифференциалдық геометрия) немесе гомеоморфизм (топология) тұрғысынан. Кейбір авторлар G әрекетінің адал болуын талап етеді (топтың танымдық емес элементтері тривиальды емес әрекет етеді), бірақ бұл мақалада бұл талап қойылмайды. Осылайша, G-нің X-ке топтық әрекеті бар, оны X кеңістігіндегі кейбір "геометриялық құрылымды" сақтау және X-ті бір ғана G орбитасына айналдыру ретінде қарастыруға болады.

Геометрия

Эрланген бағдарламасының тұрғысынан алғанда, Х геометриясында "барлық нүктелер бірдей" деп түсінуге болады. Бұл 19-ғасырдың ортасында Риман геометриясына дейін ұсынылған дерлік барлық геометриялар үшін рас болатын мәселе. Сонымен, мысалы, Евклид кеңістігі, аффиндік кеңістік және проективті кеңістік – олардың сәйкес симметриялық топтары үшін табиғи түрде біртекті кеңістіктер болып табылады. Бұл тұрақты қисықтығы бар Евклид емес геометрияның модельдері үшін де дұрыс, мысалы, гиперболалық кеңістік үшін. Тағы бір классикалық мысал – үш өлшемді проективті кеңістіктегі түзулердің кеңістігі (немесе, баламалы түрде, төрт өлшемді векторлық кеңістіктің екі өлшемді ішкі кеңістіктерінің кеңістігі). GL4 оларға транзитивті әсер ететінін көрсету үшін қарапайым сызықтық алгебра жеткілікті. Біз оларды түзу координаттары арқылы параметризациялай аламыз: бұл – кіші кеңістіктің екі базистік векторынан құралған 4×2 матрицаның 2×2 миноры. Нәтижесіндегі біртекті кеңістіктің геометриясы – Юлиус Плюккердің түзу геометриясы.

Біртекті кеңістіктер косет кеңістіктер ретінде

Жалпы, егер X G-нің біртекті кеңістігі болса, ал Ho X-тегі белгілі бір нүкте o-ның тұрақтандырғышы болса (бастау нүктесін таңдау), X нүктелері G/Ho сол жақ косеттеріне сәйкес келеді, ал белгіленген нүкте o бірлік косетіне сәйкес келеді. Керісінше, егер G/H косет кеңістігі берілген болса, ол G үшін біртекті кеңістік болып табылады, оның ерекше нүктесі бар, атап айтқанда бірлік косеті. Осылайша біртекті кеңістікті бастау нүктесі таңдалмаған косет кеңістігі деп қарастыруға болады. Мысалы, егер H бірлік кіші тобы болса, онда X – G торсы, бұл G торларының көбінесе «ұмытылған бірлікпен G» деп интуитивті сипатталуын түсіндіреді. Жалпы, бастау нүктесінің басқаша таңдауы G-нің G-нің ішкі автоморфизмімен байланысты басқа Ho′ кіші тобына қатысты G-нің бөлінуіне әкеледі. Атап айтқанда,

мұнда g – G-нің кез келген елемі, онда 1 = go = o′. Ішкі автоморфизм (1) қандай g таңдалғанына байланысты емес екенін ескеріңіз, ол тек g модулі Ho-ға байланысты. Егер G-нің X-ке әсері үздіксіз болса және X Хаусдорф кеңістігі болса, онда H – G-нің жабық кіші тобы. Атап айтқанда, егер G – Лай тобы болса, онда H – Картан теоремасы бойынша Лай кіші тобы. Сондықтан G/H – тегіс манифольд, ал X – топтық әрекетке сәйкес келетін бірегей тегіс құрылымды қамтиды. Әрі қадам жасап, екі еселенген косет кеңістіктеріне, атап айтқанда Клиффорд-Клейн формаларына Γ\G/H дейін баруға болады, мұнда Γ – (G) дискретті кіші тобы, ол дұрыс үздіксіз әрекет етеді.

Алдын ала біртекті векторлық кеңістіктер

Микио Сато прегомогенді векторлық кеңістік идеясын енгізді. Бұл – шекті өлшемді V векторлық кеңістігі, онда алгебралық G тобының әрекеті бар, және G тобының орбитасы Зариски топологиясы бойынша ашық (сонымен қатар тығыз) болады. Мысалы, GL(1) бір өлшемді кеңістікте әрекет етеді. Анықтама алғашқыда көрінгеннен гөрі әлдеқайда шектеулі: мұндай кеңістіктер таңғажайып қасиеттерге ие, сондай-ақ "кастинг" деп аталатын түрлендіруге дейін толыққанды емес прегомогенді векторлық кеңістіктер жіктемеленген.

Физикадағы біртекті кеңістік

Поанкаре тобы G және оның ішкі тобы Лоренц тобы H берілген болса, G / H косеттер кеңістігі – кеңістік-уақыт алгебрасы Минковский кеңістігі болып табылады. Жалпы салыстырмалылық теориясын қолданатын физикалық космология Бианки жіктеу жүйесін пайдаланады. Салыстырмалылықтағы гомогенді кеңістіктер кейбір космологиялық модельдер үшін фондық метриканың кеңістік бөлігін көрсетеді; мысалы, Фридманн-Лемайтр-Робертсон-Уокер метрикасының үш жағдайы Бьянки I (жазық), V (ашық), VII (жазық немесе ашық) және IX (жабық) типтерінің ішкі жиынтықтарымен бейнеленуі мүмкін, ал Mixmaster ғаламы Бьянки IX космологиясының анизотроптық мысалы болып табылады. N өлшемді гомогенді кеңістік Киллинг векторларының жиынтығын қабылдайды. Үш өлшем үшін бұл барлығы алты сызықтық тәуелсіз Киллинг векторлық өрістерін береді; гомогенді 3 кеңістіктің қасиеті бар, олардың сызықтық комбинацияларын пайдаланып, әр жерде нөлдік емес үш Киллинг векторлық өрістерін табуға болады ξ, мұнда Cabc нысаны, "құрылым тұрақтылары", төменгі екі индексі бойынша антисимметриялы тұрақты үшінші реттік тензор болып табылады (сол жақтағы жақшалар антисимметриялауды білдіреді, ал ";" ковариантты дифференциалдық операторды білдіреді). Жазық изотроптық ғалам жағдайында бір мүмкіндік 1=Cabc = 0 (I тип), бірақ жабық FLRW ғаламы жағдайында 1=Cabc = εabc, мұнда εabc – Леви-Чивита символы.