Введение

Топологическое пространство в теории групп

В математике однородное пространство – это, весьма неформально, пространство, которое выглядит одинаково в любой его точке при перемещении по нему, где перемещение задается действием группы. Однородные пространства возникают в теориях групп Ли, алгебраических групп и топологических групп. Более точно, однородное пространство для группы G – это непустое многообразие или топологическое пространство X, на котором G действует транзитивно. Элементы G называются симметриями X. Частным случаем является ситуация, когда группа G является группой автоморфизмов пространства X – здесь "группа автоморфизмов" может означать группу изометрий, группу диффеоморфизмов или группу гомеоморфизмов. В этом случае X является однородным, если интуитивно X выглядит локально одинаково в каждой точке, либо в смысле изометрии (жёсткой геометрии), диффеоморфизма (дифференциальной геометрии), либо гомеоморфизма (топологии). Некоторые авторы настаивают на том, чтобы действие G было верным (неотождественные элементы действовали нетривиально), хотя в данной статье это не требуется. Таким образом, существует групповое действие G на X, которое можно рассматривать как сохранение некоторой "геометрической структуры" на X и превращение X в единственную G-орбиту.

Геометрия

С точки зрения эрлангенской программы, можно понять, что "все точки эквивалентны" в геометрии X. Это было справедливо для практически всех геометрий, предложенных до римановой геометрии, в середине девятнадцатого века. Таким образом, например, евклидово пространство, аффинное пространство и проективное пространство являются естественным образом однородными пространствами для своих соответствующих групп симметрий. То же самое относится и к моделям неевклидовой геометрии постоянной кривизны, таким как гиперболическое пространство. Дальнейшим классическим примером является пространство прямых в проективном пространстве трех измерений (эквивалентно, пространство двухмерных подпространств четырехмерного векторного пространства). С помощью элементарной линейной алгебры можно показать, что GL4 действует транзитивно на этих пространствах. Мы можем параметризовать их с помощью линейных координат: это 2×2 миноры матрицы 4×2, столбцами которой являются два базисных вектора для подпространства. Геометрия полученного однородного пространства – это линейная геометрия Юлиуса Плюккера.

Однородные пространства как коссетные пространства

В общем, если X является однородным пространством G, а Ho — стабилизатором некоторой выделенной точки o в X (выбор начала координат), то точки X соответствуют левым смежным классам G/Ho, а выделенная точка o соответствует смежному классу единицы. И наоборот, задано пространство смежных классов G/H, оно является однородным пространством для G с выделенной точкой, а именно смежным классом единицы. Таким образом, однородное пространство можно рассматривать как пространство смежных классов без выбора начала координат. Например, если H — тождественная подгруппа, то X — это G-торсор, что объясняет, почему G-торсоры часто интуитивно описываются как "G с забытым единичным элементом". В общем случае, различный выбор начала координат o приведет к частному G по другой подгруппе Ho′, связанной с Ho внутренним автоморфизмом G. В частности,

где g — любой элемент G, для которого 1 = go = o′. Следует отметить, что внутренний автоморфизм (1) не зависит от выбора конкретного g; он зависит только от g по модулю Ho. Если действие G на X непрерывно и X является хаусдорфовым пространством, то H является замкнутой подгруппой G. В частности, если G — группа Ли, то H является подгруппой Ли по теореме Картана. Следовательно, G/H является гладким многообразием, и, следовательно, X обладает единственной гладкой структурой, согласованной с действием группы. Можно пойти дальше и рассмотреть двойные пространства смежных классов, в частности формы Клиффорда — Клейна Γ\G/H, где Γ — дискретная подгруппа (G), действующая собственным образом несвязно.

Прегомогенные векторные пространства

Идея о прегомогенном векторном пространстве была введена Микио Сато. Это конечномерное векторное пространство V с действием алгебраической группы G, такое, что существует орбита G, открытая в топологии Зариски (и, следовательно, плотная). Примером является действие GL(1) на одномерном пространстве. Определение более ограничено, чем может показаться на первый взгляд: такие пространства обладают замечательными свойствами, и существует классификация ирредуктивных прегомогенных векторных пространств с точностью до преобразования, известного как "перестановка" (castling).

Однородные пространства в физике

При наличии группы Понкаре G и ее подгруппы группы Лоренца H, пространство косетов G/H является пространственно-временной алгеброй – пространством Минковского. Физическая космология, использующая общую теорию относительности, применяет систему классификации Бьянки. Гомогенные пространства в теории относительности представляют собой пространственную часть фоновых метрик для некоторых космологических моделей; например, три случая метрики Фридмана — Лемайтры — Робертсона — Уокера могут быть представлены подмножествами типов Бьянки I (плоский), V (открытый), VII (плоский или открытый) и IX (закрытый), в то время как Вселенная Микмастера представляет собой анизотропный пример космологии Бьянки IX. Однородное пространство N измерений допускает набор векторов Киллинга. Для трех измерений это дает в общей сложности шесть линейно независимых векторных полей Киллинга; однородные 3-пространства обладают свойством, что можно использовать линейные комбинации этих векторов для нахождения трех повсюду ненулевых векторных полей Киллинга ξ, где объект Cabc, "константы структуры", образуют постоянный тензор третьего ранга, антисимметричный по нижним двум индексам (на левой стороне скобки обозначают антисимметризацию, а ";" – ковариантную производную). В случае плоской изотропной Вселенной одна из возможностей – 1=Cabc = 0 (тип I), но в случае замкнутой Вселенной FLRW, 1=Cabc = εabc, где εabc – символ Леви-Чивиты.