Кіріспе
Динамикалық жүйенің қасиеті, онда тепе-теңдік нүктесіне жақын шешімдер сол күйінде қалады – сызықтық емес жүйелердің асимптотикалық тұрақтылығы. Дифференциалдық теңдеулердің немесе динамикалық жүйелерді сипаттайтын айырмашылық теңдеулердің шешімдері үшін тұрақтылықтың түрлі түрлері талқылануы мүмкін. Ең маңыздысы – тепе-теңдік нүктесіне жақын шешімдердің тұрақтылығы. Бұл туралы Александр Ляпуновтың теориясымен қарастырылады. Түрлендіріп айтқанда, егер тепе-теңдік нүктесіне жақын басталатын шешімдер мәңгілікке сол нүктеге жақын болса, онда ол Ляпунов тұрақты деп есептеледі. Егер Ляпунов тұрақтылығымен қатар, тепе-теңдік нүктесіне жақын басталатын барлық шешімдер сол нүктеге ұйысса, онда ол асимптотикалық тұрақты болып саналады (асимптотикалық талдауға қараңыз). Экспоненциалдық тұрақтылық ұғымы ыдыраудың минималды деңгейін кепілдейді, яғни шешімдердің қаншалықты жылдам жинақталатынының бағасын береді. Ляпунов тұрақтылығы идеясы шексіз өлшемді кеңістіктерге де қолданылады, онда ол құрылымдық тұрақтылық деп аталады, бұл дифференциалдық теңдеулердің әртүрлі, бірақ "жақын" шешімдерінің мінез-құлқымен байланысты. Input to state stability (ISS) Ляпунов ұғымдарын кірістері бар жүйелерге қолданады.
asymptotic stability of nonlinear systems
Various types of stability may be discussed for the solutions of differential equations or difference equations describing dynamical systems. The most important type is that concerning the stability of solutions near to a point of equilibrium. This may be discussed by the theory of Aleksandr Lyapunov. In simple terms, if the solutions that start out near an equilibrium point stay near forever, then is Lyapunov stable. More strongly, if is Lyapunov stable and all solutions that start out near converge to , then is said to be asymptotically stable (see asymptotic analysis). The notion of exponential stability guarantees a minimal rate of decay, i. e., an estimate of how quickly the solutions converge. The idea of Lyapunov stability can be extended to infinite dimensional manifolds, where it is known as structural stability, which concerns the behavior of different but "nearby" solutions to differential equations. Input to state stability (ISS) applies Lyapunov notions to systems with inputs.
Тарих
Ляпунов тұрақтылығы 1892 жылы Харьков университетінде «Қозғалыстың тұрақтылығының жалпы мәселесі» деген тақырыпта диссертация қорғаған орыс математигі Александр Михайлович Ляпуновтың есімімен аталады. А.М. Ляпунов сызықтық емес динамикалық жүйелердің тұрақтылығын талдау үшін жаңа, жалпы тәсілді әзірлеудегі табысты әрекеттердің алғашқысы болды. Бұл тәсіл, жүйелерді тепе-теңдік нүктелерінде сызықтықтандырудың кең таралған жергілікті әдісімен салыстырылды. Оның еңбектері алғашында орыс тілінде жарық көрді, кейін француз тіліне аударылды, бірақ көп жылдар бойы көп назар алмады. А.М. Ляпунов негізін салған қозғалыстың тұрақтылығының математикалық теориясы, ғылым мен техникада қолданылу үшін одан бұрын-ақ дайын болды. Алайда, Ляпунов өзі бұл теорияны қолданбады, оның қызығушылығы астрономиялық қолданысқа ие айналмалы сұйық массаларының тұрақтылығына қатысты. Оның тұрақтылық саласында зерттеулер жүргізген докторанттары болған жоқ, ал 1918 жылы өзіне-өзі қол жұмсауы оның тағдырына трагедиялық нүкте болды. Бірнеше онжылдық бойы тұрақтылық теориясы ұмытылған күйде қалды. 1930 жылдары Қазан авиация институтында жұмыс істеген орыс совет математигі және механик Николай Гурьевич Четаев А.М. Ляпунов жасаған ашылудың маңыздылығын бірінші болып түсінді. Н.Г. Четаевтың теорияға қосқан үлесі соншалықты зор болды, көптеген математиктер, физиктер және инженерлер оны Ляпуновтың тікелей ізбасары және тұрақтылықтың математикалық теориясын құру мен дамытудағы ғылыми дәстүрдің жалғастырушысы деп есептейді. «Қысқа соғыс» кезеңінде оған қызығушылық күрт өсті, себебі «Ляпуновтың екінші әдісі» (төменде қараңыз) басқа әдістермен шешілмейтін күшті сызықтық емес жүйелерді қамтитын ғарыш бағыттау жүйелерінің тұрақтылығын анықтау үшін қолданылатындығы анықталды. Сол кезде және одан кейін басқару және жүйелер әдебиетінде көптеген жарияланымдар пайда болды. Соңғы кезде Ляпунов экспонентасы (Ляпуновтың тұрақтылықты талқылаудың бірінші әдісімен байланысты) хаос теориясымен байланысты үлкен қызығушылыққа ие болды. Ляпуновтың тұрақтылық әдістері, сондай-ақ, көлік жүктемесі мәселесінде тепе-теңдік шешімдерін табу үшін де қолданылды.
Ауысулар жүйесі
Тұрақтылықты тек тепе-теңдік нүктесіне жақын (тұрақты шешім) қарастырудың орнына, кез келген шешімге жақын тұрақтылықтың ұқсас анықтамаларын жасауға болады. Дегенмен, «ауытқулар жүйесі» деп аталатын айнымалылардың өзгеруі арқылы жалпы жағдайды тепе-теңдік жағдайына келтіруге болады. Келесі дифференциалдық теңдеуді анықтаңыз:
Бұл енді автономды жүйе емес, бірақ оның тұрақтылығы бастапқы шешімнің тұрақтылығымен тең келетін кепілді тепе-теңдік нүктесі бар.