Введение

Свойство динамической системы, при котором решения в окрестности точки равновесия остаются таковыми – асимптотическая устойчивость нелинейных систем.

Различные типы устойчивости могут рассматриваться для решений дифференциальных или разностных уравнений, описывающих динамические системы. Наиболее важным является тот, который касается устойчивости решений вблизи точки равновесия. Это может быть изучено с помощью теории Александра Ляпунова. Проще говоря, если решения, начинающиеся вблизи точки равновесия, остаются вблизи неё неограниченно долго, то система Ляпунов-устойчива. Более строго, если система Ляпунов-устойчива и все решения, начинающиеся вблизи точки равновесия, сходятся к ней, то она называется асимптотически устойчивой (см. асимптотический анализ). Понятие экспоненциальной устойчивости гарантирует минимальную скорость убывания, то есть оценку того, как быстро сходятся решения. Идея устойчивости Ляпунова может быть расширена на бесконечномерные многообразия, где она известна как структурная устойчивость, которая описывает поведение различных, но "близких" решений дифференциальных уравнений. Вход-выходная устойчивость (ISS) применяет понятия Ляпунова к системам с входами.

История

Стабильность Ляпунова названа в честь Александра Михайловича Ляпунова, русского математика, защитившего диссертацию «Общая проблема устойчивости движения» в Харьковском университете в 1892 году. А. М. Ляпунов был пионером в успешных попытках разработки глобального подхода к анализу устойчивости нелинейных динамических систем, в отличие от широко распространенного локального метода линеаризации в окрестностях точек равновесия. Его работа, первоначально опубликованная на русском языке, а затем переведенная на французский, долгое время оставалась незамеченной. Математическая теория устойчивости движения, заложенная А. М. Ляпуновым, значительно опередила время своего практического применения в науке и технике. Более того, сам Ляпунов не занимался применением своей теории в этой области, его интерес был сосредоточен на устойчивости вращающихся жидкостей в астрономических задачах. У него не было учеников, продолживших исследования в области устойчивости, а его судьба трагически оборвалась самоубийством в 1918 году. На протяжении нескольких десятилетий теория устойчивости была практически забыта. Русский советский математик и механик Николай Гурьевич Четаев, работавший в Казанском авиационном институте в 1930-х годах, первым осознал огромную значимость открытия, сделанного А. М. Ляпуновым. Вклад Н. Г. Четаева в теорию был настолько велик, что многие математики, физики и инженеры считают его прямым последователем Ляпунова и следующим в линии научных преемников в создании и развитии математической теории устойчивости. Интерес к ней резко возрос в период холодной войны, когда так называемый «Второй метод Ляпунова» (см. ниже) оказался применимым к устойчивости систем наведения и управления в аэрокосмической отрасли, которые обычно характеризуются сильными нелинейностями, не поддающимися анализу другими методами. После этого в литературе по управлению и системам появилось большое количество публикаций. В последнее время концепция показателя Ляпунова (связанная с Первым методом Ляпунова для анализа устойчивости) вызвала широкий интерес в связи с теорией хаоса. Методы устойчивости Ляпунова также применяются для поиска равновесных решений в задачах транспортного планирования.

Система отклонений

Вместо того, чтобы рассматривать устойчивость только вблизи точки равновесия (постоянного решения), можно сформулировать аналогичные определения устойчивости вблизи произвольного решения. Однако, более общий случай можно свести к случаю равновесия посредством преобразования переменных, называемого "системой отклонений". Определим , удовлетворяющее дифференциальному уравнению:

Это больше не является автономной системой, но она гарантированно имеет точку равновесия в , устойчивость которой эквивалентна устойчивости исходного решения.