Симметриялық функциялар сақинасы және алгебралық комбинаторика

Кіріспе

алгебралық комбинаторикадағы симметриялық функциялар сақинасы Алгебрада, әсіресе алгебралық комбинаторикада, симметриялық функциялар сақинасы – n белгісізі бар симметриялық полиномиалдар сақиналарының n шексізге ұмтылғандағы шегі болып табылады. Бұл сақина симметриялық полиномиалдар арасындағы қатынастарды белгісіздердің саны n-ден тәуелсіз түрде көрсетуге мүмкіндік беретін әмбебап құрылым қызметін атқарады (бірақ оның элементтері полиномиалдар да, функциялар да емес). Басқалармен қатар, бұл сақина симметриялық топтың өкілдік теориясында маңызды рөл атқарады. Симметриялық функциялар сақинасына копроиздук және билинейрлік форма берілуі мүмкін, осы арқылы ол коммутативті және кокоммутативті, оң өзіне-өзі қосымша болатын Хопф алгебрасына айналады.

Симметриялық функциялар сақинасы

Симметриялық көптіктер арасындағы қатынастардың көпшілігі n белгісіздер санына тәуелді емес, бірақ қатынастағы кейбір көптіктердің анықталуы үшін n жеткілікті үлкен болуы керек. Мысалы, Ньютонның үшінші дәрежелі қуат қосындысы p3 үшін теңдігі элементарлық симметриялық көптіктерді білдіретін жерге алып келеді; бұл формула барлық натурал сандар n үшін жарамды, және оған байланысты жалғыз ерекшелік – n < k болғанда ek(X1, ..., Xn) = 0. Осыны n-ге ешқандай тәуелділігі жоқ теңдік түрінде жазғысы келеді, және мұны симметриялық функциялар сақинасында жасауға болады. Бұл сақинада k ≥ 1 болатын барлық бүтін сандар үшін нөлден өзге элементтер бар, ал сақинаның кез келген элементін ek элементтері арқылы көптік түрінде беруге болады.

Анықтамалар

Кез келген коммутативтік сақина R үшін симметриялық функциялар сақинасын анықтауға болады, ол ΛR деп белгіленеді; негізгі жағдай R = Z. ΛR сақинасы, шындығында, R-алгебрасы болып табылады. Оны құрудың екі негізгі тәсілі бар; біріншісі төменде келтірілген (Стенли, 1999), ал екіншісі негізінен (Макдональд, 1979) еңбегінде келтірілген.

Алгебралық шек ретінде

ΛR-дің тағы бір құрылысын сипаттауға сәл көбірек уақыт қажет, бірақ ол R[X1, ,Xn]Sn сақиналарымен, n белгісізі бар симметриялық полиномдардың арақатынасын жақсы көрсетеді. Кез келген n үшін, R[X1, ,Xn+1]Sn+1 ұқсас сақинадан ρn сюръективті сақина гомоморфизмі бар, ол R[X1, ,Xn]Sn-ге шамамен анықталады, соңғы белгісіз Xn+1-ді 0-ге теңдеу арқылы. ρn тривиалды емес ядроға ие болғанымен, осы ядроның нөлдік емес элементтерінің дәрежесі кеміндегі (олар X1X2…Xn+1-дің еселенгені). Бұл ρn-нің n-ден артық емес дәрежелі элементтерге шектелуі біржақты сызықтық түрлендіру болып табылады, және ρn(ek(X1, ,Xn+1)) = ek(X1, ,Xn) барлық k ≤ n үшін. Бұл шектеудің керісі R[X1, ,Xn]Sn-ден R[X1, ,Xn+1]Sn+1-ге φn сақиналық гомоморфизміне бірегей түрде кеңейтілуі мүмкін, мысалы, симметриялық полиномдардың негізгі теоремасынан көрінеді. φn(ek(X1, ,Xn)) = ek(X1, ,Xn+1) суреттері k = 1, ,n үшін R-ге қатысты алгебралық тәуелсіз болғандықтан, φn гомоморфизмі инъективті және оны сақиналардың (сәл ерекше) кіріктірілуі ретінде қарастыруға болады; φn-ді полиномға қолдану жаңа белгісізді қамтитын барлық мономдарды қосуға тең. ΛR сақинасы осы кіріктірілулерге бағынған барлық сақиналардың "біріктірілуі" (тікелей лимиті) болып табылады. Барлық φn қатысатын сақиналардың толық дәрежесі бойынша жіктелумен үйлесімді болғандықтан, ΛR жіктелген сақина құрылымын алады. Бұл құрылым (Макдональд, 1979) құрылымынан сәл өзгешеленеді. Бұл құрылым тек ρn сюръективті морфизмдерін ғана пайдаланады, φn инъективті морфизмдерді атамайды: ол ΛR-дің біртекті компоненттерін бөлек құрастырады және олардың тікелей қосындысын ρn арқылы сақиналық құрылыммен жабдықтайды. Сондай-ақ, нәтижені жіктелген сақиналар санатындағы кері лимит ретінде сипаттауға болады. Алайда, бұл сипаттама инъективті морфизмдердің тікелей лимитіне тән маңызды қасиетті біршама жасырады, атап айтқанда, әрбір жеке элемент (симметриялық функция) лимит құрылымында қолданылатын кейбір объектіде (мысалы, R[X1, ,Xd]Sd сақинасында) адал түрде бейнеленеді. Симметриялық функцияның дәрежесі d үшін d-ні алу жеткілікті, өйткені бұл сақинаның d дәрежесіндегі бөлігі барлық n ≥ d үшін φn арқылы көбірек белгісіздері бар сақиналарға изоморфты түрде бейнеленеді. Бұл жеке элементтер арасындағы қатынастарды зерттеу үшін симметриялық полиномдар мен симметриялық функциялардың арасында ешқандай негізгі айырмашылық жоқ екенін білдіреді.

Another construction of ΛR takes somewhat longer to describe, but better indicates the relationship with the rings R[X1, ,Xn]Sn of symmetric polynomials in n indeterminates. For every n there is a surjective ring homomorphism ρn from the analogous ring R[X1, ,Xn+1]Sn+1 with one more indeterminate onto R[X1, ,Xn]Sn, defined by setting the last indeterminate Xn+1 to 0. Although ρn has a non trivial kernel, the nonzero elements of that kernel have degree at least (they are multiples of X1X2 Xn+1). This means that the restriction of ρn to elements of degree at most n is a bijective linear map, and ρn(ek(X1, ,Xn+1)) = ek(X1, ,Xn) for all k ≤ n. The inverse of this restriction can be extended uniquely to a ring homomorphism φn from R[X1, ,Xn]Sn to R[X1, ,Xn+1]Sn+1, as follows for instance from the fundamental theorem of symmetric polynomials. Since the images φn(ek(X1, ,Xn)) = ek(X1, ,Xn+1) for k = 1, ,n are still algebraically independent over R, the homomorphism φn is injective and can be viewed as a (somewhat unusual) inclusion of rings; applying φn to a polynomial amounts to adding all monomials containing the new indeterminate obtained by symmetry from monomials already present. The ring ΛR is then the "union" (direct limit) of all these rings subject to these inclusions. Since all φn are compatible with the grading by total degree of the rings involved, ΛR obtains the structure of a graded ring. This construction differs slightly from the one in (Macdonald, 1979). That construction only uses the surjective morphisms ρn without mentioning the injective morphisms φn: it constructs the homogeneous components of ΛR separately, and equips their direct sum with a ring structure using the ρn. It is also observed that the result can be described as an inverse limit in the category of graded rings. That description however somewhat obscures an important property typical for a direct limit of injective morphisms, namely that every individual element (symmetric function) is already faithfully represented in some object used in the limit construction, here a ring R[X1, ,Xd]Sd. It suffices to take for d the degree of the symmetric function, since the part in degree d of that ring is mapped isomorphically to rings with more indeterminates by φn for all n ≥ d. This implies that for studying relations between individual elements, there is no fundamental difference between symmetric polynomials and symmetric functions.

Жеке симметриялық функцияларды анықтау

"Симметриялық функция" атауы ΛR элементтері үшін қате: екі құрылымда да элементтер функциялар емес, және шын мәнінде, симметриялық полиномдардан айырмашылығы, тәуелсіз айнымалылардың функциясы осы элементтермен байланыстырылуы мүмкін емес (мысалы, e1 барлық шексіз көп айнымалылардың қосындысы болар еді, егер айнымалыларға шектеулер қойылмаса, ол анықталмайды). Дегенмен, атау дәстүрлі және кеңінен таралған; оны (Макдональд, 1979) еңбегінде табуға болады, онда (12-беттегі ескерту) Λ элементтері (Ln элементтерінен айырмашылығы) енді полиномдар емес: олар мономиалдардың формальды шексіз қосындылары. Сондықтан біз симметриялық функциялардың бұрынғы терминологиясына қайта оралдық. (мұнда Λn n белгісізіндегі симметриялық полиномдар сақинасын білдіреді), сондай-ақ (Стенли, 1999) еңбегінде. Симметриялық функцияны анықтау үшін бірінші құрылымдағыдай тікелей қуат қатарын көрсету керек немесе екінші құрылыммен үйлесімді түрде әрбір табиғи сан n үшін n белгісізіндегі симметриялық полиномды беру керек. Белгісіздердің белгіленбеген санындағы өрнек екеуін де орындай алады, мысалы, егер белгісіздердің саны шексіз болса, элементарлық симметриялық функцияның анықтамасы ретінде немесе кез келген шекті сандағы белгісіздердегі элементарлық симметриялық полиномның анықтамасы ретінде қарастырылуы мүмкін. Бір симметриялық функция үшін симметриялық полиномдар ρn гомоморфизмімен үйлесімді болуы керек (белгісіздердің санын азайту олардың кейбіреулерін нөлге теңеу арқылы жүзеге асырылады, сондықтан қалған белгісіздердегі кез келген мономиалдың коэффициенттері өзгермейді), ал олардың дәрежесі шектеулі болуы керек. (Екі шартты да орындамайтын симметриялық полиномдар отбасының мысалы; ал отбасы тек екінші шартты орындамайды.) n белгісізіндегі кез келген симметриялық полином симметриялық полиномдардың үйлесімді отбасын құру үшін қолданылуы мүмкін, i < n үшін ρi гомоморфизмін қолданып белгісіздердің санын азайту және i ≥ n үшін φi гомоморфизмін қолданып белгісіздердің санын арттыру (бұл симметрия арқылы алынған жаңа белгісіздердегі барлық мономиалдарды қосуға тең). Келесілер симметриялық функциялардың негізгі мысалдары. Мономиалдық симметриялық функциялар mα. α = (α1, α2, ...) - теріс емес бүтін сандар тізбегі, олардың тек шекті саны ғана нөлден өзгеше. Содан кейін α арқылы анықталған мономиалды қарастыруға болады: Xα = X1α1X2α2X3α3. Содан кейін mα симметриялық функциясы Xα арқылы анықталады, яғни Xα-дан симметрия арқылы алынған барлық мономиалдардың қосындысы. Формальды анықтама үшін β ~ α деп белгілесек, β тізбегі α тізбегінің орналасуы болады. Бұл симметриялық функция кез келген n үшін, мономиал Xα-ны қамтитын n-ге тең мономиалдық симметриялық полиномға mα(X1, ..., Xn) сәйкес келеді. Айырмалы мономиалдық симметриялық функциялар бүтін сандардың бөліністерімен параметрленеді (әр mα үшін λi бөліктері әлсіз азаятын ретпен орналасқан бірегей өкілді мономиал Xλ болады). Кез келген симметриялық функция егер ол кейбір mα мономиалдарының кез келгенін қамтитын болса, олардың барлығын бірдей коэффициентпен қамтуы керек, сондықтан әрбір симметриялық функция мономиалдық симметриялық функциялардың R сызықтық комбинациясы ретінде жазылуы мүмкін, сондықтан ерекше мономиалдық симметриялық функциялар ΛR-дің R модулі ретінде негіз құрайды. Элементарлық симметриялық функциялар ek, кез келген табиғи сан k үшін; онда ek = mα, ал қуат қатары ретінде бұл k ерекше белгісіздердің барлық ерекше көбейтінділерінің қосындысы. Бұл симметриялық функция кез келген n ≥ k үшін элементарлық симметриялық полином ek(X1, ..., Xn) сәйкес келеді. Пүдер жиынтығы симметриялық функциялары pk, кез келген оң бүтін сан k үшін; онда pk = m(k), X1k мономиалы үшін мономиалдық симметриялық функция. Бұл симметриялық функция кез келген n ≥ 1 үшін қуаттардың қосындысы симметриялық полиномы pk(X1, ..., Xn) = X1k + ... + Xnk сәйкес келеді. Кез келген табиғи сан k үшін толық біртекті симметриялық функциялар hk; hk - бұл α k-ның бөлінісі болатын барлық мономиалдық симметриялық функциялар mα қосындысы. Күш қатары ретінде бұл k дәрежесіндегі барлық мономиалдардың қосындысы, бұл оның атын түсіндіреді. Бұл симметриялық функция кез келген n ≥ k үшін толық біртекті симметриялық полином hk(X1, ..., Xn) сәйкес келеді. Шур функциялары sλ, кез келген бөлініс λ үшін, бұл Шур полиномы sλ(X1, ..., Xn) кез келген n үшін, мономиал Xλ-ны қамтитын n-ге тең. P0 симметриялық функциясы жоқ: оны n айнымалыдағы симметриялық полином ретінде анықтауға болады (ал кейбір жағдайларда табиғи), бірақ бұл мәндер ρn гомоморфизмімен үйлесімді емес. "Дискриминант" - бұл барлық n үшін симметриялық полиномды беретін өрнектің тағы бір мысалы, бірақ ешқандай симметриялық функцияны анықтамайды. Шур полиномдарын анықтайтын өрнек дискриминант үшін де ұқсас, бірақ sλ(X1, ..., Xn) полиномдары n-нің өзгеруіне қарай үйлесімді болып шығады, сондықтан олар симметриялық функцияны анықтайды.

The name "symmetric function" for elements of ΛR is a misnomer: in neither construction are the elements functions, and in fact, unlike symmetric polynomials, no function of independent variables can be associated to such elements (for instance e1 would be the sum of all infinitely many variables, which is not defined unless restrictions are imposed on the variables). However the name is traditional and well established; it can be found both in (Macdonald, 1979), which says (footnote on p. 12)
The elements of Λ (unlike those of Λn) are no longer polynomials: they are formal infinite sums of monomials. We have therefore reverted to the older terminology of symmetric functions. (here Λn denotes the ring of symmetric polynomials in n indeterminates), and also in (Stanley, 1999). To define a symmetric function one must either indicate directly a power series as in the first construction, or give a symmetric polynomial in n indeterminates for every natural number n in a way compatible with the second construction. An expression in an unspecified number of indeterminates may do both, for instance

can be taken as the definition of an elementary symmetric function if the number of indeterminates is infinite, or as the definition of an elementary symmetric polynomial in any finite number of indeterminates. Symmetric polynomials for the same symmetric function should be compatible with the homomorphisms ρn (decreasing the number of indeterminates is obtained by setting some of them to zero, so that the coefficients of any monomial in the remaining indeterminates is unchanged), and their degree should remain bounded. (An example of a family of symmetric polynomials that fails both conditions is ; the family fails only the second condition.) Any symmetric polynomial in n indeterminates can be used to construct a compatible family of symmetric polynomials, using the homomorphisms ρi for i < n to decrease the number of indeterminates, and φi for i ≥ n to increase the number of indeterminates (which amounts to adding all monomials in new indeterminates obtained by symmetry from monomials already present). The following are fundamental examples of symmetric functions. The monomial symmetric functions mα. Suppose α = (α1,α2, ) is a sequence of non negative integers, only finitely many of which are non zero. Then we can consider the monomial defined by α: Xα = X1α1X2α2X3α3 Then mα is the symmetric function determined by Xα, i. e. the sum of all monomials obtained from Xα by symmetry. For a formal definition, define β ~ α to mean that the sequence β is a permutation of the sequence α and set

This symmetric function corresponds to the monomial symmetric polynomial mα(X1, ,Xn) for any n large enough to have the monomial Xα. The distinct monomial symmetric functions are parametrized by the integer partitions (each mα has a unique representative monomial Xλ with the parts λi in weakly decreasing order). Since any symmetric function containing any of the monomials of some mα must contain all of them with the same coefficient, each symmetric function can be written as an R linear combination of monomial symmetric functions, and the distinct monomial symmetric functions therefore form a basis of ΛR as an R module. The elementary symmetric functions ek, for any natural number k; one has ek = mα where As a power series, this is the sum of all distinct products of k distinct indeterminates. This symmetric function corresponds to the elementary symmetric polynomial ek(X1, ,Xn) for any n ≥ k.
The power sum symmetric functions pk, for any positive integer k; one has pk = m(k), the monomial symmetric function for the monomial X1k. This symmetric function corresponds to the power sum symmetric polynomial pk(X1, ,Xn) = X1k + + Xnk for any n ≥ 1. The complete homogeneous symmetric functions hk, for any natural number k; hk is the sum of all monomial symmetric functions mα where α is a partition of k. As a power series, this is the sum of all monomials of degree k, which is what motivates its name. This symmetric function corresponds to the complete homogeneous symmetric polynomial hk(X1, ,Xn) for any n ≥ k.
The Schur functions sλ for any partition λ, which corresponds to the Schur polynomial sλ(X1, ,Xn) for any n large enough to have the monomial Xλ. There is no power sum symmetric function p0: although it is possible (and in some contexts natural) to define as a symmetric polynomial in n variables, these values are not compatible with the morphisms ρn. The "discriminant" is another example of an expression giving a symmetric polynomial for all n, but not defining any symmetric function. The expressions defining Schur polynomials as a quotient of alternating polynomials are somewhat similar to that for the discriminant, but the polynomials sλ(X1, ,Xn) turn out to be compatible for varying n, and therefore do define a symmetric function.

Симметриялық көпмүшелер мен симметриялық функцияларды байланыстыратын принцип

Кез келген симметриялық функция P үшін, кез келген натурал сан n үшін, n белгісізі бар симметриялық полиномиалдар P(X₁, …, Xₙ) арқылы белгіленеді. Симметриялық функциялар сақинасының екінші анықтамасы келесі негізгі принципті білдіреді:

Егер P және Q d дәрежелі симметриялық функциялар болса, онда симметриялық функциялардың теңдігі орын алады, егер және тек қана егер симметриялық полиномиалдардың d белгісіздегі теңдігі P(X₁, …, Xd) = Q(X₁, …, Xd) орын алса. Бұл жағдайда, шындығында, P(X₁, …, Xₙ) = Q(X₁, …, Xₙ) кез келген n белгісіз саны үшін орын алады. Бұл себебі, кейбір айнымалыларды нөлге алмастыру арқылы айнымалылардың санын әрқашан азайтуға болады, ал φₙ гомоморфизмін қолдану арқылы айнымалылардың санын арттыруға болады; осы гомоморфизмдердің анықтамасы φₙ(P(X₁, …, Xₙ)) = P(X₁, …, Xₙ₊₁) (және Q үшін де осылай) n ≥ d болғанда қамтамасыз етеді. Бұл принципті тиімді қолдану үшін Ньютонның теңдіктерінің дәлелдемесін қараңыз.