Кіріспе

Жалпы топологияда, математиканың бір саласы, жиынның бос емес A жиынының ішкі жиындарының шекті қиылысу қасиеті (FIP) бар деп айтылады, егер кез келген шекті ішкі жиынының қиылысы бос болмаса. Егер кез келген шекті ішкі жиынының қиылысы шексіз болса, онда оның күшті шекті қиылысу қасиеті (SFIP) бар. Шекті қиылысу қасиетіне ие жиындар орталықтандырылған жүйелер және сүзгінің бастапқы жиындары деп те аталады. Шекті қиылысу қасиетін жабық жиындар арқылы топологиялық тығыздықты қайта формулировать үшін қолдануға болады; бұл оның ең маңызды қолданысы. Басқа қолданыстардың ішінде кейбір кемел жиындардың санаусыз екенін дәлелдеу және ультрафильтрлер құрастыру бар.

Анықтама

Кез келген жиын болсын және – жиынның бос емес ішкі жиындардың жиыны; яғни, – жиынның қуаты жиынының ішкі жиыны. Егер әрбір бос емес шекті ішкі жиынның бос емес қиылысы болса, онда оның шекті қиылысу қасиеті бар делінеді; ал егер қиылысы әрқашан шексіз болса, онда оның күшті шекті қиылысу қасиеті бар делінеді. Белгілермен айқанда, егер – жиынның кез келген бос емес шекті ішкі жиыны үшін, оның қиылысында кемінде бір нүкте болса, онда оның FIP қасиеті бар. Сол сияқты, егер – жиынның кез келген бос емес шекті ішкі жиыны үшін, оның қиылысында шексіз көп нүктелер болса, онда оның SFIP қасиеті бар.

Сүзгілерді зерттеуде жиындар жиынының ортақ қиылысы ядро деп аталады, бұл күнбағыс сөзінің этимологиясымен байланысты. Бос ядросы бар жиындар еркін, ал бос емес ядросы бар жиындар тұрақты деп аталады.

Үлгілер мен үлгі еместер отбасылары

Бос жиын шекті қиылысу қасиетіне ие кез келген жиынға жатпайды. FIP қиылысу қасиеті үшін жеткілікті шарт – бос емес ядро болуы. Керісінше, жалпы жағдайда бұл дұрыс емес, бірақ шекті жиындар үшін орындалады; яғни, егер жиын шекті болса, онда ол шекті қиылысу қасиетіне ие болады, егер және тек қана ол өзгермейтін болса.

Жұптық қиылысу

Шекті қиылысу қасиеті жұптық қиылысудан әлдеқайда күштірек, яғни отбасыда жұптық қиылыстар бар, бірақ шекті қиылысу қасиеті (FIP) жоқ. Көбірек мысал келтерім, бірліктен үлкен оң бүтін сан болсын, және . Онда элементтерінен кем жиынның кез келген кіші жиыны бос емес қиылысқа ие, бірақ FIP жоқ.

Соңғы үлгідегі конструкциялар

Егер бос емес жиындардың кемітуші тізбегі болса, онда отбасы шекті қиылысу қасиетіне ие (және тіпті –жүйе болады). Егер кірігулер қатаң болса, онда отбасы күшті шекті қиылысу қасиетіне де ие. Кез келген жиын, толық кірігу бойынша реттелген болса, шекті қиылысу қасиетіне ие. Сонымен қатар, ядро бос болуы мүмкін: егер , онда ядро бос жиын болады. Сол сияқты, интервалдар отбасы да (S) шекті қиылысу қасиетіне ие, бірақ ядросы бос.

"Жалпы" жиынтықтар мен қасиеттер

Лебег өлшемі бар барлық Борель жиынтықтарының отбасы FIP қасиетіне ие, сондай-ақ comeagre жиынтықтарының отбасы да. Егер жиын шексіз болса, онда Фреше сүзгісі (отбасы) FIP қасиетіне ие. Бұлардың бәрі еркін сүзгілер; олар жоғары қарай жабық және шексіз қиылысы бос. Егер және әрбір оң бүтін сан үшін жиынтықтағы элементтердің -інші ондық разрядында цифры болса, онда осы жиынтықтардың кез келген шекті қиылысы бос емес – тек сол шекті разрядтарда және қалғандарында санды алыңыз. Бірақ барлық үшін қиылысы бос, себебі ешбір элементтің барлық цифрлары нөл емес.

Жердің кеңейтілуі

(Күшті) шекті қиылысу қасиеті – негізгі жиынтық емес, отбасының ерекшелігі. Егер жиынтықтағы отбасы (S)ШҚҚ-ны (SFIP) қабылдаса және , онда ол жиынтықтағы отбасы болып табылады, сондай-ақ ШҚҚ-ны (сәйкесінше SFIP) қабылдайды.

Шығарылған сүзгілер мен топологиялар

Егер жиындар болса, онда отбасы FIP-қа ие; бұл отбасы жинақтағы негізгі сүзгі деп аталады. Субжиын да сол себептерге байланысты FIP-қа ие: оның ядролары бос емес жиынтықты қамтиды. Егер ашық аралық болса, онда жиынтық шын мәнінде немесе ядроларына тең болады, сондықтан ол әрбір сүзгінің мүшесі болады. Бірақ, жалпы алғанда, сүзгінің ядросы міндетті түрде сүзгінің мүшесі болуы керек емес. Жинақтағы дұрыс сүзгі шекті қиылысу қасиетіне ие. Топологиялық кеңістіктегі әрбір шеттес суббаза FIP-қа ие, сондай-ақ әрбір шеттес база мен әрбір шеттес сүзгі де (өйткені әрқайсысы, атап айтқанда, шеттес суббаза болып табылады) FIP-қа ие.

Кемел кеңістіктердің сансыздығы

Тағы бір кең таралған қолданысы – нақты сандардың санаусыз екенін дәлелдеу. Теореманың тұжырымындағы барлық шарттар қажет: біз Хаусдорф шартын алып тастамаймыз; саналатын жиын (кем дегенде екі нүктесі бар), ығыспайтын топологиясы бар болса, компакт болады, бірнеше нүктесі болады және бір нүктелі жиын ашық емес қасиетін қанағаттандырады, бірақ санауға болмайтын емес. Рационал сандар жиыны көрсеткендей, біз компакттылық шартын алып тастамаймыз. Біз бір нүктелі жиындардың ашық бола алмайтындығын, дискретті топологиясы бар кез келген шекті кеңістік көрсетіп тұрғанын алып тастамаймыз.

Ультрафильтрлер

Бос емес болсын, және шектеулі қиылысу қасиетіне ие болсын. Онда ( -да) ультрафильтр бар, осындай . Бұл нәтиже ультрафильтр леммасы деп белгілі.

Жалпы көздер

Топологиядағы және метрикалық кеңістіктердегі сүзгілерге кіріспе қарапайым шолу.