Введение

В общей топологии, ветви математики, непустое семейство A подмножеств множества называется обладающим свойством конечного пересечения (FIP), если пересечение любого конечного подсемейства A не пусто. Оно обладает сильным свойством конечного пересечения (SFIP), если пересечение любого конечного подсемейства A бесконечно. Семейства с конечным свойством пересечения также называют центрированными системами и фильтровыми подбазами. Свойство конечного пересечения можно использовать для переформулировки топологической компактности в терминах замкнутых множеств; это его наиболее важное применение. Другие применения включают доказательство того, что некоторые совершенные множества несчётны, и построение ультрафильтров.

Определение

Пусть – множество, а – непустое семейство подмножеств , то есть является подмножеством булеана (или множества степеней) . Говорят, что обладает свойством конечного пересечения, если каждое непустое конечное подсемейство имеет непустое пересечение; говорят, что оно обладает свойством сильного конечного пересечения, если это пересечение всегда бесконечно. В символах, обладает свойством FIP, если для любого выбора конечного непустого подмножества из существует точка . Аналогично, обладает свойством SFIP, если для каждого выбора такого существует бесконечно много таких . В теории фильтров общее пересечение семейства множеств называется ядром, по той же этимологии, что и у слова «подсолнечник». Семейства с пустым ядром называются свободными, а с непустым ядром – фиксированными.

Семейства примеров и не примеров

Пустое множество не может принадлежать ни одной коллекции, обладающей свойством конечного пересечения. Достаточным условием для наличия свойства конечного пересечения является непустое ядро. Обратное утверждение, как правило, неверно, но верно для конечных семейств; то есть, если семейство конечно, то оно обладает свойством конечного пересечения тогда и только тогда, когда оно фиксировано.

Паральное пересечение

Свойство конечного пересечения строго сильнее, чем свойство попарных пересечений; семейство имеет попарные пересечения, но не обладает свойством конечного пересечения. В более общем случае, пусть *n* – положительное целое число, большее единицы, и пусть задано множество *X*. Тогда любое подмножество *X*, содержащее менее чем *n* элементов, имеет непустое пересечение, но *X* не обладает свойством конечного пересечения.

Конструкции конечного типа

Если – убывающая последовательность непустых множеств, то семейство обладает свойством конечного пересечения (и даже является -системой). Если включения строгие, то также обладает сильным свойством конечного пересечения. В более общем случае, любое семейство, полностью упорядоченное по включению, обладает свойством конечного пересечения. При этом ядро может быть пустым: если , то ядро – пустое множество. Аналогично, семейство интервалов также обладает (S)FIP, но имеет пустое ядро.

"Общие" наборы и свойства

Семья всех борелевских подмножеств с мерой Лебега обладает свойством FIP, как и семья множеств, содержащих ничтожно малое множество. Если X – бесконечное множество, то фильтр Фреше (семейство {F_n}) обладает свойством FIP. Все они являются свободными фильтрами: они замкнуты относительно взятия объединений и имеют пустое бесконечное пересечение. Если X – множество Кантора, и для каждого положительного целого числа n подмножество F_n состоит ровно из тех элементов X, у которых n-я цифра в троичной записи равна 0, то любое конечное пересечение множеств F_n не пусто – достаточно взять 0 в этих конечном числе позиций и 2 в остальных. Но пересечение всех F_n пусто, поскольку ни один элемент X не состоит только из нулей.

Расширение набора наземных

Свойство (сильного) конечного пересечения является характеристикой семейства, а не базового множества. Если семейство на множестве допускает (С)FIP и , то также является семейством на множестве с FIP (соответственно, СFIP).

Созданные фильтры и топологии

Если множества обладают свойством , то семейство имеет конечное пересечение (FIP); это семейство называется основным фильтром, порожденным множеством . Подмножество также обладает свойством FIP по аналогичной причине: ядра содержат непустое множество . Если является открытым интервалом, то множество фактически равно ядрам или , и, следовательно, является элементом каждого фильтра. Однако, в общем случае, ядро фильтра не обязательно должно быть элементом этого фильтра. Собственный фильтр на множестве обладает свойством конечного пересечения. Каждая базисная подсистема окрестностей в точке топологического пространства обладает свойством FIP, и то же самое справедливо для каждой базисной системы окрестностей и каждого фильтра окрестностей в точке (поскольку каждая из них, в частности, также является базисной подсистемой окрестностей).

Неисчислимость идеальных пространств

Еще одно распространенное применение — доказать, что множество действительных чисел несчетно. Все условия в формулировке теоремы необходимы:
Мы не можем исключить условие Хаусдорфа: счетное множество (содержащее по крайней мере две точки) с недискретной топологией компактно, содержит более одной точки и удовлетворяет свойству, что никакие одномерные подмножества не являются открытыми, но при этом не является несчетным. Мы не можем исключить условие компактности, что демонстрирует множество рациональных чисел. Мы не можем исключить условие, что одномерные подмножества не могут быть открытыми, что демонстрирует любое конечное пространство с дискретной топологией.

Ультрафильтраторы

Пусть 𝒜 — непустым множеством, обладающим свойством конечного пересечения. Тогда существует ультрафильтр (в 𝒜) такой, что 𝒜 ⊆ 𝒰. Этот результат известен как лемма об ультрафильтрах.

Общие источники

Предоставляет вводный обзор фильтров в топологии и в метрических пространствах.