Кіріспе
Жергілікті компактты Абель топтарының дуалдығы
Математикада Понтрагин дуалдығы – жергілікті компактты Абель топтары арасындағы дуалдық, ол Фурье түрлендіруін мұндай барлық топтарға, оның ішінде модуль бірге кешенді сандардың көбейту тобы (шеңбер тобы), дискретті топологиясы бар шекті Абель топтары, дискретті топологиясы бар бүтін сандардың қосу тобы, нақты сандар және нақты сандар немесе p-ади өрісі бойынша кез келген шекті өлшемді векторлық кеңістіктерге жалпылауға мүмкіндік береді. Жергілікті компактты Абель тобының Понтрагин дуалы – бұл топтан шеңбер тобына үздіксіз топтық гомоморфизмдер арқылы құрылған жергілікті компактты Абель топологиялық тобы, онда нүктелік көбейту операциясы және компакт жиынтықтардағы біркелкі жинақылық топологиясы қолданылады. Понтрагин дуалдық теоремасы кез келген жергілікті компактты Абель тобының өзінің бидуалымен (оның дуалының дуалы) табиғи түрде изоморфты екенін көрсетеді, осылайша Понтрагин дуалдығын белгілейді. Фурье инверсиясы теоремасы – осы теореманың ерекше жағдайы. Бұл теория 1934 жылы өзінің алғашқы математикалық еңбектерінде жергілікті компактты Абель топтарының теориясын және олардың дуалдығын қалаған Лев Понтрагиннің есімімен аталған. Понтрагиннің қарастыруы топтардың екінші рет санауға болатын және компактты немесе дискретті болуына негізделген. 1935 жылы Эгберт ван Кампен және 1940 жылы Андре Вейль бұл тұжырымды жалпы жергілікті компактты Абель топтарын қамту үшін жетілдірді.
Кіріспе
Понтрагиннің дуалдығы нақты сызықтағы немесе шекті абельдік топтардағы функциялар туралы бірқатар мәліметтерді біртұтас контекстке қояды: нақты сызықтағы тиісті реттелген күрделі мәнді периодты функциялар Фурье қатарларына ие, және осы функцияларды олардың Фурье қатарларынан қалпына келтіруге болады; нақты сызықтағы тиісті реттелген күрделі мәнді функциялар да нақты сызықтағы функциялар болатын Фурье түрлендірмелеріне ие, және периодты функциялар сияқты, осы функцияларды да олардың Фурье түрлендірмелерінен қалпына келтіруге болады; ал шекті абельдік топтағы күрделі мәнді функциялар дискретті Фурье түрлендірмелеріне ие, олар (канондық емес) изоморфтық топ болып табылатын дуалды топтағы функциялар. Сонымен қатар, шекті абельдік топтағы кез келген функция оның дискретті Фурье түрлендірмесінен қалпына келтірілуі мүмкін. Лев Понтрагин енгізген және Джон фон Нейман, Андре Вейль және басқалар енгізген Хаар өлшемімен үйлестірілген теория, жергілікті ықшам абельдік топтың дуалды тобының теориясына байланысты. Бұл векторлық кеңістіктің дуалды векторлық кеңістігіне ұқсас: шекті өлшемді векторлық кеңістік және оның дуалды векторлық кеңістігі табиғи түрде изоморфты емес, бірақ біреуінің эндоморфизм алгебрасы (матрицалық алгебра) екіншісінің эндоморфизм алгебрасының керісіне изоморфты: транспозиция арқылы. Сол сияқты, топ және оның дуалды тобы әдетте изоморфты емес, бірақ олардың эндоморфизм сақиналары бір-біріне кері болады: тікелейірек айтқанда, бұл эндоморфизм алгебраларының ғана емес, сонымен қатар категориялардың ковариантты теңдестігі – қараңыз.
Suitably regular complex valued periodic functions on the real line have Fourier series and these functions can be recovered from their Fourier series;
Suitably regular complex valued functions on the real line have Fourier transforms that are also functions on the real line and, just as for periodic functions, these functions can be recovered from their Fourier transforms; and
Complex valued functions on a finite abelian group have discrete Fourier transforms, which are functions on the dual group, which is a (non canonically) isomorphic group. Moreover, any function on a finite abelian group can be recovered from its discrete Fourier transform. The theory, introduced by Lev Pontryagin and combined with the Haar measure introduced by John von Neumann, André Weil and others depends on the theory of the dual group of a locally compact abelian group. It is analogous to the dual vector space of a vector space: a finite dimensional vector space and its dual vector space are not naturally isomorphic, but the endomorphism algebra (matrix algebra) of one is isomorphic to the opposite of the endomorphism algebra of the other: via the transpose. Similarly, a group and its dual group are not in general isomorphic, but their endomorphism rings are opposite to each other: More categorically, this is not just an isomorphism of endomorphism algebras, but a contravariant equivalence of categories – see .
Шаш өлшемі
Жергілікті тығыз топ туралы ең ерекше фактілердің бірі – ол негізінен бірегей табиғи өлшемді, яғни Haar өлшемін, жеткілікті түрде тұрақты қосалқы жиындардың "өлшемін" тұрақты түрде өлшеуге мүмкіндік береді. "Жеткілікті түрде тұрақты қосалқы жиын" дегеніміз – Борель жиыны, яғни тығыз жиындар тудырған σ-алгебраның бір елемі. Нақтырақ айтқанда, жергілікті тығыз топтағы оң жақты Haar өлшемі – Борель жиындарының үстінде анықталған, саналатын қосындылы өлшем μ, ол оң жақты инвариантты, яғни топтың кез келген елемі x және Борель жиынының кез келген кіші жиыны A үшін μ(xA) = μ(A) теңдігі орындалады, сондай-ақ белгілі бір реттелу шарттарын қанағаттандырады (бұл шарттар Haar өлшемі туралы мақалада толық сипатталған). Оң масштабтау коэффициенттерін ескермегенде, Haar өлшемі бірегей. Haar өлшемі топта анықталған (кешенді мәнді) Борель функциялары үшін интеграл ұғымын анықтауға мүмкіндік береді. Атап айтқанда, Haar өлшемімен байланысты әртүрлі Lp кеңістіктерін қарастыруға болады. Кез келген екі Haar өлшемі масштабтау коэффициентіне дейін тең болғандықтан, бұл кеңістік Haar өлшеміне тәуелсіз және сондықтан, мүмкін, былай жазылуы мүмкін. Дегенмен, бұл кеңістіктегі норма Haar өлшеміне тәуелді, сондықтан изометриялар туралы сөз қозғалғанда қолданылып жатқан Haar өлшемін ескеру маңызды.
Note that, since any two Haar measures on are equal up to a scaling factor, this space is independent of the choice of Haar measure and thus perhaps could be written as However, the norm on this space depends on the choice of Haar measure, so if one wants to talk about isometries it is important to keep track of the Haar measure being used.
Категориялық ескертулер
Понтрягин дуалдығын функционалды түрде қарастыру да пайдалы. Бұдан әрі LCA – жергілікті жиынтық абельдік топтар және үздіксіз топтық гомоморфизмдер санаты. Дуальдік топ құрастыру – бұл LCA → LCA контравариант функторы, ол (өкілдік функторлар мағынасында) шеңбер тобымен бейнеленеді, себебі, атап айтқанда, екі рет дуалдық функтор ковариант. Понтрягин дуалдығының категориялық тұжырымы LCA санатындағы сәйкестік функторы мен екі рет дуалдық функтор арасындағы табиғи трансформация изоморфизм екенін көрсетеді. Табиғи трансформация ұғымын ашқанда, бұл кез келген жергілікті жиынтық Абель тобы үшін карталар изоморфизмдер болып табылады дегенді білдіреді, және бұл изоморфизмдер функционалды болып табылады. Бұл изоморфизм шекті өлшемді векторлық кеңістіктердің екі рет дуалына ұқсас (нақты және кешенді векторлық кеңістіктер үшін ерекше жағдай). Бұл тұжырымның тікелей салдары – Понтрягин дуалдығының тағы бір жиі кездесетін категориялық тұжырымы: дуальдік топ функторы – LCA-дан LCAop санатына дейінгі категориялардың эквиваленттілігі. Дуалдық дискретті топтар мен жиынтық топтардың ішкі санатын алмастырады. Егер сақина болса және сол модуль болса, онда дуальдік топ оң модуліне айналады; осылайша дискретті сол модульдер жиынтық оң модульдерге Понтрягин дуалдығын құрайтынын көреміз. LCA-дағы эндоморфизмдер сақинасы дуалдық арқылы оның қарама-қарсы сақинасына өзгереді (көбейтуді басқа тәртіпке өзгерту). Мысалы, егер шексіз циклді дискретті топ болса, онда шеңбер тобы: біріншісі үшін бұл осылай болса, соңғысы үшін де осылай.
Жалпылау
Понтрагин двойшылығының жалпыламалары екі негізгі бағытта құрастырылады: жергілікті тығыз емес коммутативті топологиялық топтар және коммутативті емес топологиялық топтар үшін. Бұл екі жағдайдағы теориялар мүлдем әртүрлі.
Коммутативті топологиялық топтар үшін дуалдықтар
Хаусдорф абельдік топологиялық тобы болғанда, компакт ашық топологиясы бар топ Хаусдорф абельдік топологиялық тобы болып табылады және оның қос дуалына (double dual) табиғи бейнелеу (mapping) анықталған. Егер бұл бейнелеу изоморфизм болса, онда топ Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандырады (немесе рефлексивті топ, немесе рефлективті топ). Бұл жергілікті компактты жағдайдан тыс көптеген бағыттарда кеңейтілген. Атап айтқанда, Сэмюэл Каплан 1948 және 1950 жылдары жергілікті компактты (Хаусдорф) абельдік топтардың кез келген көбейтінділері мен санаулы кері шектері Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратынын көрсетті. Жергілікті компактты емес тығыз кеңістіктердің шексіз көбейтіндісінің жергілікті компактты еместігін ескеріңіз. Кейін, 1975 жылы Рангачари Венкатараман, басқа да фактілермен қатар, Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратын абельдік топологиялық топтың әрбір ашық кіші тобының өзі Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратынын көрсетті. Жақында Серхио Арданса Тревижано мен Мария Хесус Часко жоғарыда аталған Капланның нәтижелерін кеңейтті. Олар Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратын абельдік топтар тізбектерінің тікелей және кері шектері, егер топтар метрикалық кеңістіктер немесе -кеңістіктер болса, бірақ міндетті түрде жергілікті компактты болмаса, кейбір қосымша шарттар орындалғанда, Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратынын көрсетті. Дегенмен, егер біз Понтрагиннің дуалдығын жергілікті компактты жағдайдан тыс қарастырғымыз келсе, маңызды өзгеріс болады. Елена Мартин Пеинадор 1995 жылы егер Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратын Хаусдорф абельдік топологиялық тобы болса және табиғи бағалау жұпталуы (evaluation pairing) (бірлесіп) үздіксіз болса, онда жергілікті компактты болады екенін дәлелдеді. Салдары ретінде, Понтрагиннің дуалдығының жергілікті компактты емес барлық мысалдарында жұпталу (бірлесіп) үздіксіз болмайды. Понтрагиннің дуалдығын коммутативті топологиялық топтардың кеңірек сыныптарына жалпылаудың тағы бір жолы – дуалдық топты сәл өзгеше топологиямен жабдықтау, атап айтқанда, толығымен шектелген жиынтықтардағы біркелкі жуықтасу (uniform convergence) топологиясымен. Осы шартты қанағаттандыратын топтар стереотиптік топтар деп аталады. Бұл сынып та өте кең (оны жергілікті компактты абельдік топтар да қамтиды), бірақ рефлексивті топтар класынан тар.
is (jointly) continuous, then is locally compact. As a corollary, all non locally compact examples of Pontryagin duality are groups where the pairing is not (jointly) continuous. Another way to generalize Pontryagin duality to wider classes of commutative topological groups is to endow the dual group with a bit different topology, namely the topology of uniform convergence on totally bounded sets. The groups satisfying the identity under this assumption are called stereotype groups. This class is also very wide (and it contains locally compact abelian groups), but it is narrower than the class of reflective groups.
Топологиялық векторлық кеңістік үшін Понтрагиннің дуалдығы
1952 жылы Марианн Ф. Смит Банах кеңістіктері мен рефлексивті кеңістіктердің топологиялық топтар ретінде қарастырылғанда (қосымша топ операциясымен) Понтрагиннің дуалдығын қанағаттандыратындығын байқады. Кейін Б. С. Брудовский, Уильям С. Уотерхаус және К. Брауннер бұл нәтижені барлық квази-толық баррельді кеңістіктер класына (әсіресе, барлық Фреше кеңістіктеріне) кеңейтуге болатынын көрсетті. 1990 жылдары Сергей Акбаров классикалық Понтрагин рефлексивтілігінен күштірек қасиетті қанағаттандыратын топологиялық векторлық кеңістіктер класын сипаттады, атап айтқанда, мына теңдік орындалады: , мұнда – барлық сызықтық үздіксіз функционалдар кеңістігі, толығымен шектелген жиынтықтардағы біртекті жуықтасу топологиясымен жабдықталған (ал – кеңістіктің сол мағынадағы жұптас кеңістігі). Бұл кластағы кеңістіктер стереотиптік кеңістіктер деп аталады, ал сәйкес теория функционалдық анализ және геометрия салаларында көптеген қолданыстар тапты, соның ішінде коммутативті емес топологиялық топтар үшін Понтрагиннің дуалдығын жалпылауға мүмкіндік берді.
where means the space of all linear continuous functionals endowed with the topology of uniform convergence on totally bounded sets in (and means the dual to in the same sense). The spaces of this class are called stereotype spaces, and the corresponding theory found a series of applications in Functional analysis and Geometry, including the generalization of Pontryagin duality for non commutative topological groups.
Коммутативті емес топологиялық топтар үшін дуалдықтар
Коммутативті емес жергілікті компактты топтар үшін классикалық Понтрагин құрылысы әр түрлі себептермен жұмыс істеуді тоқтатады, атап айтқанда, кейіпкерлер әрқашан топтың нүктелерін бөліп тастамайды, ал оның ирредукцияланатын бейнелеулері әрқашан бір өлшемді болмайды. Сонымен қатар, топтың ирредукцияланатын унитарлық бейнелеулері жиынына көбейтуді қалай енгізуге болатыны белгісіз, тіпті осы жиынның бастапқы нысан үшін дуалды объект рөліне лайықты екені де анық емес. Сондықтан, осы жағдайда дуалдықты құру мәселесін толық қайта қарау қажет. Бүгінгі күнге дейін құрылған теориялар екі негізгі топқа бөлінеді: дуалды объектінің бастапқы объектімен бірдей табиғаты бар теориялар (Понтрагин дуалдығының өзі сияқты) және бастапқы объекті мен оның дуалы бір-бірінен түбегейлі өзгеше болатын теориялар, оларды бір сыныптың объектілері ретінде қарастыру мүмкін емес. Екінші типтегі теориялар тарихи тұрғыдан бірінші пайда болды: Понтрагиннің жұмысынан кейін көп ұзамай Тадао Таннака (1938) және Марк Крейн (1949) кез келген компактты топтар үшін дуалдық теорияны құрды, ол қазір Таннака–Крейн дуалдығы деп аталады. Бұл теорияда топтың дуалды объектісі топ емес, оның бейнелеулерінің санаты болып табылады. Бірінші типтегі теориялар кейінірек пайда болды, ал олар үшін негізгі мысал – шекті топтар үшін дуалдық теория. Бұл теорияда шекті топтардың санаты топ алгебрасын алу операциясы (үстінен) арқылы шекті өлшемді Хопф алгебраларының санатына енгізіледі, сондықтан Понтрагиннің дуалдық функторы қос векторлық кеңістікті алу операциясына айналады (бұл шекті өлшемді Хопф алгебраларының санатындағы дуалдық функтор). 1973 жылы Леонид И. Вайнерман, Джордж И. Кац, Мишель Инок және Жан-Мари Шварц барлық жергілікті компактты топтар үшін осы типті жалпы теорияны құрды. 1980 жылдардан бастап кванттық топтардың ашылуынан кейін бұл саладағы зерттеулер қайта жанданды, және құрылған теориялар оларға белсенді түрде қолданыла бастады. Бұл теориялар C* алгебралар немесе Фон Нейман алгебралары тілінде қалыптастырылған, ал оның бір түрі – жергілікті компактты кванттық топтардың соңғы теориясы. Алайда, осы жалпы теориялардың бір кемшілігі – оларда топ тұжырымдамасын жалпылайтын объектілер әдеттегі алгебралық мағынада Хопф алгебралары емес. Бұл кемшілік топологиялық алгебраның қабығы (envelope) туралы түсінік негізінде құрылған дуалдық теориялар шеңберінде (кейбір топтар кластары үшін) түзетілуі мүмкін.
The theories of first type appeared later and the key example for them was the duality theory for finite groups. In this theory the category of finite groups is embedded by the operation of taking group algebra (over ) into the category of finite dimensional Hopf algebras, so that the Pontryagin duality functor turns into the operation of taking the dual vector space (which is a duality functor in the category of finite dimensional Hopf algebras). In 1973 Leonid I. Vainerman, George I. Kac, Michel Enock, and Jean Marie Schwartz built a general theory of this type for all locally compact groups. From the 1980s the research in this area was resumed after the discovery of quantum groups, to which the constructed theories began to be actively transferred. These theories are formulated in the language of C* algebras, or Von Neumann algebras, and one of its variants is the recent theory of locally compact quantum groups. One of the drawbacks of these general theories, however, is that in them the objects generalizing the concept of a group are not Hopf algebras in the usual algebraic sense. This deficiency can be corrected (for some classes of groups) within the framework of duality theories constructed on the basis of the notion of envelope of topological algebra.