Введение

Дуальность локально компактных абелевых групп

В математике, Понтрягинская двойственность — это двойственность между локально компактными абелевыми группами, позволяющая обобщить преобразование Фурье на все такие группы, которые включают в себя круговую группу (мультипликативную группу комплексных чисел с модулем один), конечные абелевы группы (с дискретной топологией), аддитивную группу целых чисел (также с дискретной топологией), вещественные числа и каждое конечномерное векторное пространство над действительными числами или p-адическим полем. Понтрягинская двойственная к локально компактной абелевой группе — это локально компактная абелева топологическая группа, образованная непрерывными групповыми гомоморфизмами из этой группы в круговую группу, с операцией поточечного умножения и топологией равномерной сходимости на компактных множествах. Теорема о двойственности Понтрягина устанавливает Понтрягинскую двойственность, утверждая, что любая локально компактная абелева группа естественно изоморфна своему бидуалу (дуальному к её дуалу). Теорема обращения Фурье является частным случаем этой теоремы. Эта область математики названа в честь Льва Понтрягина, который заложил основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности в своих ранних математических работах в 1934 году. Первоначальная работа Понтрягина опиралась на предположение, что группы являются счетными и либо компактными, либо дискретными. Это было улучшено для охвата общих локально компактных абелевых групп Эгбертом ван Кампеном в 1935 году и Андре Вейлем в 1940 году.

Введение

Двойственность Понтрягина объединяет в едином контексте ряд замечаний о функциях на вещественной прямой или на конечных абелевых группах: достаточно гладкие комплекснозначные периодические функции на вещественной прямой имеют ряд Фурье, и эти функции могут быть восстановлены по их ряду Фурье; достаточно гладкие комплекснозначные функции на вещественной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на вещественной прямой, и, как и в случае периодических функций, эти функции могут быть восстановлены по их преобразованиям Фурье; и комплекснозначные функции на конечной абелевой группе имеют дискретные преобразования Фурье, которые являются функциями на двойственной группе, являющейся (не канонически) изоморфной группой. Более того, любую функцию на конечной абелевой группе можно восстановить по её дискретному преобразованию Фурье. Теория, разработанная Львом Понтрягиным и объединенная с мерой Хаара, введенной Джоном фон Нейманом, Андре Вейлем и другими, опирается на теорию двойственной группы локально компактной абелевой группы. Это аналогично двойственному векторному пространству векторного пространства: конечномерное векторное пространство и его двойственное векторное пространство не изоморфны естественным образом, но алгебра эндоморфизмов (матричная алгебра) одного из них изоморфна противоположной алгебре эндоморфизмов другого посредством транспонирования. Аналогично, группа и её двойственная группа, как правило, не изоморфны, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: в более категорическом смысле, это не просто изоморфизм эндоморфистических алгебр, а контравариантная эквивалентность категорий – см.

Мера волос

Одним из самых замечательных фактов о локально компактной группе является то, что она несет в себе по существу единственную естественную меру, меру Гаара, которая позволяет последовательно измерять "размер" достаточно регулярных подмножеств. Под "достаточно регулярным подмножеством" здесь понимается множество Бореля, то есть элемент σ-алгебры, порожденной компактными множествами. Более точно, правая мера Гаара на локально компактной группе – это счетно-аддитивная мера μ, определенная на множествах Бореля, которая является правоинвариантной в том смысле, что для элемента g группы и множества Бореля E выполняется μ(gE) = μ(E), и также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (подробно описанным в статье о мере Гаара). С точностью до положительного множителя, мера Гаара на G единственна. Мера Гаара на G позволяет нам определить понятие интеграла для (комплекснозначных) функций Бореля, определенных на группе. В частности, можно рассматривать различные пространства Lp, связанные с мерой Гаара. В частности, следует отметить, что поскольку любые две меры Гаара на G равны с точностью до множителя, это пространство не зависит от выбора меры Гаара и, следовательно, возможно, может быть записано как Lp(G). Однако норма в этом пространстве зависит от выбора меры Гаара, поэтому, если речь идет об изометриях, важно учитывать используемую меру Гаара.

Категорические соображения

Двойственность Понтрягина также может быть продуктивно рассмотрена в терминах функторов. Далее, LCA обозначает категорию локально компактных абелевых групп и непрерывных гомоморфизмов групп. Построение двойственной группы является контравариантным функтором LCA → LCA, представленным (в смысле представляемых функторов) круговой группой , поскольку, в частности, двойной двойной функтор является ковариантным. Категорическая формулировка двойственности Понтрягина утверждает, что естественное преобразование между тождественным функтором на LCA и двойным двойным функтором является изоморфизмом. Разворачивая понятие естественного преобразования, это означает, что отображения являются изоморфизмами для любой локально компактной абелевой группы , и эти изоморфизмы функторны по . Этот изоморфизм аналогичен двойному двойственному пространству конечномерных векторных пространств (частный случай для вещественных и комплексных векторных пространств). Непосредственным следствием этой формулировки является другая распространенная категорическая формулировка двойственности Понтрягина: функтор двойственной группы является эквивалентностью категорий между LCA и LCAop. Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактных групп. Если — кольцо, а — левый -модуль, то двойственная группа становится правым -модулем; таким образом, мы видим, что дискретные левые -модули двойственны по Понтрягину компактным правым -модулям. Кольцо эндоморфизмов в LCA двойственностью переходит в свое противоположное кольцо (умножение меняется на обратный порядок). Например, если — бесконечная циклическая дискретная группа, то — круговая группа: первая имеет , поэтому это верно и для последней.

Обобщения

Обобщения дуальности Понтрягина строятся в двух основных направлениях: для коммутативных топологических групп, не являющихся локально компактными, и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях существенно различаются.

Дуальности для коммутативных топологических групп

Когда является абелевой топологической группой Хаусдорфа, то группа с компактно-открытой топологией является абелевой топологической группой Хаусдорфа, и естественное отображение из в её двойственный двойственный имеет смысл. Если это отображение является изоморфизмом, то говорят, что удовлетворяет двойственности Понтрягина (или что является рефлексивной группой, или отражающей группой). Это было расширено в ряде направлений за пределы случая, когда является локально компактной. В частности, Сэмюэл Каплан показал в 1948 и 1950 годах, что произвольные произведения и счётные обратные пределы локально компактных (Хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Следует отметить, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным. Позже, в 1975 году, Рангачари Венкатараман показал, среди прочего, что каждая открытая подгруппа абелевой топологической группы, удовлетворяющей двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина. Недавно Серхио Арданса Тревихано и Мария Хесус Часко расширили результаты Каплана, упомянутые выше. Они показали, что прямые и обратные пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы являются метризуемыми или -пространствами, но не обязательно локально компактными, при условии выполнения некоторых дополнительных условий для последовательностей. Однако существует фундаментальный аспект, который меняется, если мы хотим рассмотреть двойственность Понтрягина за пределами локально компактного случая. Елена Мартин Пеинадор доказала в 1995 году, что если является абелевой топологической группой Хаусдорфа, удовлетворяющей двойственности Понтрягина, и естественное оценочное спаривание

является (совместно) непрерывным, то является локально компактной. Как следствие, все нелокально компактные примеры двойственности Понтрягина — это группы, в которых спаривание не является (совместно) непрерывным. Другой способ обобщения двойственности Понтрягина для более широких классов коммутативных топологических групп — наделять двойственную группу несколько иной топологией, а именно топологией равномерной сходимости на полноограниченных множествах. Группы, удовлетворяющие тождеству при этом предположении, называются стереотипными группами. Этот класс также очень широк (и он содержит локально компактные абелевы группы), но он уже, чем класс отражающих групп.

Двойственность Понтрагина для топологических векторных пространств

В 1952 году Марианна Ф. Смит заметила, что пространства Банаха и рефлексивные пространства, рассматриваемые как топологические группы (с операцией сложения), удовлетворяют дуальности Понтрягина. Позже Б. С. Брудовский, Уильям К. Уотерхаус и К. Браунер показали, что этот результат можно распространить на класс всех квазиполных баррельных пространств (в частности, на все пространства Фреше). В 1990-х годах Сергей Акбаров дал описание класса топологических векторных пространств, удовлетворяющих свойству, более сильному, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно тождеству, где обозначает пространство всех линейных непрерывных функционалов, наделенное топологией равномерной сходимости на полноограниченных множествах (а обозначает сопряженное пространство в том же смысле). Пространства этого класса называются стереотипными пространствами, и соответствующая теория нашла ряд применений в функциональном анализе и геометрии, включая обобщение дуальности Понтрягина для некоммутативных топологических групп.

Дуальность для некомутативных топологических групп

Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности, потому что характеры не всегда разделяют точки , а неприводимые представления не всегда одномерны. В то же время неясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений , и даже неясно, является ли это множество хорошим выбором для роли двойственного объекта для . Таким образом, задача построения двойственности в этой ситуации требует полного переосмысления. Теории, построенные на сегодняшний день, разделены на две основные группы: теории, в которых двойственный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой дуальности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его двойственность настолько радикально отличаются друг от друга, что невозможно считать их объектами одного класса. Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построили теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную сейчас как двойственность Таннаки–Крейна. В этой теории двойственным объектом для группы является не группа, а категория ее представлений. Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них была теория двойственности для конечных групп. В этой теории категория конечных групп вкладывается операцией взятия групповой алгебры (над ) в категорию конечномерных алгебр Хопфа, так что двойственный функтор Понтрягина превращается в операцию взятия двойственного векторного пространства (которое является функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа). В 1973 году Леонид И. Вайнерман, Джордж И. Кац, Мишель Инок и Жан-Мари Шварц создали общую теорию такого типа для всех локально компактных групп. С 1980-х годов исследования в этой области возобновились после открытия квантовых групп, к которым начали активно переноситься построенные теории. Эти теории сформулированы на языке C*-алгебр, или алгебр фон Неймана, и одним из их вариантов является недавняя теория локально компактных квантовых групп. Однако одним из недостатков этих общих теорий является то, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются алгебрами Хопфа в обычном алгебраическом смысле. Этот недостаток может быть исправлен (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия огибающей топологической алгебры.