Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Математикалық талдаудағы өрнек
Есептеуде, екі функцияның қосындысының, айырмасының, көбейтіндісінің, бөліндісінің немесе дәрежесінің шегін, әдетте, әр функцияның жеке шегінің сәйкес комбинациясын қолдану арқылы есептеуге болады. Мысалы,
Expression in mathematical analysis
In calculus, it is usually possible to compute the limit of the sum, difference, product, quotient or power of two functions by taking the corresponding combination of the separate limits of each respective function. For example,
және басқа арифметикалық амалдар үшін де; бұл кейде алгебралық шек теоремасы деп аталады. Дегенмен, кейбір нақты шекті мәндердің комбинацияларын осылай есептеу мүмкін емес, және әр функцияның шегін жеке білу комбинацияның шегін анықтау үшін жеткіліксіз. Мұндай ерекше жағдайларда шек белгісіз түрде болады, ол мынадай бейресми өрнектермен сипатталады:
and likewise for other arithmetic operations; this is sometimes called the algebraic limit theorem. However, certain combinations of particular limiting values cannot be computed in this way, and knowing the limit of each function separately does not suffice to determine the limit of the combination. In these particular situations, the limit is said to take an indeterminate form, described by one of the informal expressions
әрбір өрнек 0, 1 немесе ∞-ге жақындасатын екі функцияның арифметикалық комбинациясы арқылы құрылған функцияның шегін білдіреді. Белгісіз түрде болатын шек нөлге, кез келген шекті мәнге, шексіздікке немесе әртүрлі функцияларға байланысты ауытқуы мүмкін. Мысалы, шексіздікке анық жақындасатын шек белгісіз деп есептелмейді. Бұл терминді алғаш рет Кошидің шәкірті Моиньо 19 ғасырдың ортасында енгізді. Белгісіз түрдің ең көп таралған мысалы – әрқайсысы нөлге жақындасатын екі функцияның бөліндісі. Бұл белгісіз түр мысалы, қатынастар , , және туралы айтқанда , , және -ге сәйкесінше жақындасады. Әр жағдайда, егер алым мен бөлімнің шектері қойылса, нәтижесінде , ол белгісіз болады. Осы мағынада , , немесе мәндерін қабылдауы мүмкін, алым мен бөлімге қойылатын функцияларды дұрыс таңдау арқылы. Шектісі нақты берілген мән болатын функциялардың жұбын табуға болады. Көбінесе, екі функцияның бөліндісі шексіздікке емес, әртүрлі жағдайға ұшырауы мүмкін. Мысалы,
where each expression stands for the limit of a function constructed by an arithmetical combination of two functions whose limits respectively tend to 0, 1, or \infty as indicated. A limit taking one of these indeterminate forms might tend to zero, might tend to any finite value, might tend to infinity, or might diverge, depending on the specific functions involved. A limit which unambiguously tends to infinity, for instance is not considered indeterminate. The term was originally introduced by Cauchy's student Moigno in the middle of the 19th century. The most common example of an indeterminate form is the quotient of two functions each of which converges to zero. This indeterminate form is denoted by For example, as approaches the ratios , , and go to , , and respectively. In each case, if the limits of the numerator and denominator are substituted, the resulting expression is , which is indeterminate. In this sense, can take on the values , , or , by appropriate choices of functions to put in the numerator and denominator. A pair of functions for which the limit is any particular given value may in fact be found. Even more surprising, perhaps, the quotient of the two functions may in fact diverge, and not merely diverge to infinity. For example,
So the fact that two functions and converge to as approaches some limit point is insufficient to determinate the limit
Осылайша, екі функцияның және бір шектік нүктеге жақындағанда нөлге жақындауы, шекті анықтау үшін жеткіліксіз. Алгебралық шек теоремасынан басқа жолдармен туындаған өрнек те белгісіз түрде болуы мүмкін. Алайда, егер өрнек шектерді анықтау контексінен тыс жасалса, оны "белгісіз түр" деп атау дұрыс емес. Мысал ретінде өрнегін қарастырайық. Бұл өрнек анықталмаған немесе тең деп анықталуы қолданылу саласына байланысты және авторлар арасында өзгеруі мүмкін. Толығырақ ақпарат алу үшін "Нөлдің нөлдік дәрежесі" мақаласын қараңыз. Ескеріңіз, және шексіздікке қатысты басқа өрнектер белгісіз түрлер емес.
An expression that arises by ways other than applying the algebraic limit theorem may have the same form of an indeterminate form. However it is not appropriate to call an expression "indeterminate form" if the expression is made outside the context of determining limits. An example is the expression Whether this expression is left undefined, or is defined to equal , depends on the field of application and may vary between authors. For more, see the article Zero to the power of zero. Note that and other expressions involving infinity are not indeterminate forms.
Белгісіз нысандарды бағалау
Белгісіз деген сын есім шектің жоқ екенін білдірмейді, жоғарыдағы мысалдардың көпшілігі оны дәлелдейді. Көп жағдайда алгебралық түрлендіру, L'Hôpital ережесі немесе басқа әдістерді қолдану арқылы өрнекті өзгертіп, шектің мәнін табуға болады.
The adjective indeterminate does not imply that the limit does not exist, as many of the examples above show. In many cases, algebraic elimination, L'Hôpital's rule, or other methods can be used to manipulate the expression so that the limit can be evaluated.
L'Hôpital ережесі
Л’Гопиталь ережесі – бұл белгісіз формаларды бағалаудың жалпы әдісі және. Бұл ережеде (тиісті жағдайларда) егер және болса, онда:
L'Hôpital's rule is a general method for evaluating the indeterminate forms and This rule states that (under appropriate conditions)
мұнда және – функциялардың және туындылары (Бұл ереже , , және т.б. өрнектерге қолданылмайды, себебі бұл өрнектер белгісіз формалар емес). Бұл туындылар алгебралық түрлендірулер жасауға және соңында лимитті бағалауға мүмкіндік береді. Л’Гопиталь ережесін басқа да белгісіз формаларға қолдануға болады, алдымен тиісті алгебралық түрлендіруді пайдаланып. Мысалы, 00 формасын бағалау үшін:
where and are the derivatives of and (Note that this rule does not apply to expressions , , and so on, as these expressions are not indeterminate forms.) These derivatives will allow one to perform algebraic simplification and eventually evaluate the limit. L'Hôpital's rule can also be applied to other indeterminate forms, using first an appropriate algebraic transformation. For example, to evaluate the form 00:
Оң жағы формасында, сондықтан Л’Гопиталь ережесі оған қолданылады. Бұл теңдеудің дұрыс екеніне назар аударыңыз (оң жағы анықталғанша), өйткені табиғи логарифм (ln) үздіксіз функция; және қаншалықты жақсы қасиеттері болғаны маңызды емес, асимптотикалық оң болғанша болады. (Логарифмдердің анықталу облысы – барлық оң нақты сандар жиыны). Л’Гопиталь ережесі екеуіне де және қолданылады, бірақ нақты жағдайда осы формалардың бірі екіншісінен көбірек пайдалы болуы мүмкін (кейін алгебралық түрлендірулер жасау мүмкіндігіне байланысты). Бұл формалардың арасында түрлендіру арқылы өтуге болады.
The right hand side is of the form , so L'Hôpital's rule applies to it. Note that this equation is valid (as long as the right hand side is defined) because the natural logarithm (ln) is a continuous function; it is irrelevant how well behaved and may (or may not) be as long as is asymptotically positive. (the domain of logarithms is the set of all positive real numbers.) Although L'Hôpital's rule applies to both and , one of these forms may be more useful than the other in a particular case (because of the possibility of algebraic simplification afterwards). One can change between these forms by transforming to .