Введение
Выражение в математическом анализе
В математическом анализе обычно можно вычислить предел суммы, разности, произведения, частного или степени двух функций, взяв соответствующую комбинацию отдельных пределов каждой из этих функций. Например, и аналогично для других арифметических операций; это иногда называют алгебраической теоремой о пределах. Однако некоторые комбинации определенных предельных значений нельзя вычислить таким образом, и знание предела каждой функции в отдельности недостаточно для определения предела их комбинации. В таких случаях говорят, что предел принимает неопределённую форму, описываемую одним из неформальных выражений, где каждое выражение представляет собой предел функции, построенной арифметической комбинацией двух функций, чьи пределы соответственно стремятся к 0, 1 или ∞, как указано. Предел, принимающий одну из этих неопределённых форм, может стремиться к нулю, к любому конечному значению, к бесконечности или расходиться, в зависимости от конкретных функций. Например, предел, который однозначно стремится к бесконечности, не считается неопределённым. Термин был впервые предложен студентом Коши Моиньо в середине XIX века. Наиболее распространённым примером неопределённой формы является частное двух функций, каждая из которых стремится к нулю. Эта неопределённая форма обозначается как Например, при стремлении к нулю, отношения , , и стремятся к , , и соответственно. В каждом случае, если подставить пределы числителя и знаменателя, получится выражение , которое является неопределённым. В этом смысле, может принимать значения , , или , при соответствующем выборе функций для числителя и знаменателя. Можно даже найти пару функций, для которых предел будет любым заданным значением. Более того, частное двух функций может даже расходиться, а не просто стремиться к бесконечности. Например, таким образом, тот факт, что две функции и стремятся к при стремлении к некоторой предельной точке, недостаточно для определения предела. Выражение, полученное не путём применения алгебраической теоремы о пределах, может иметь вид неопределённой формы. Однако не следует называть выражение «неопределённой формой», если оно получено вне контекста определения пределов. Примером является выражение, которое может оставаться неопределённым или определяться как , в зависимости от области применения и может различаться у разных авторов. Подробнее см. статью «Ноль в степени нуля». Следует отметить, что и другие выражения, содержащие бесконечность, не являются неопределёнными формами.
In calculus, it is usually possible to compute the limit of the sum, difference, product, quotient or power of two functions by taking the corresponding combination of the separate limits of each respective function. For example,
and likewise for other arithmetic operations; this is sometimes called the algebraic limit theorem. However, certain combinations of particular limiting values cannot be computed in this way, and knowing the limit of each function separately does not suffice to determine the limit of the combination. In these particular situations, the limit is said to take an indeterminate form, described by one of the informal expressions
where each expression stands for the limit of a function constructed by an arithmetical combination of two functions whose limits respectively tend to 0, 1, or \infty as indicated. A limit taking one of these indeterminate forms might tend to zero, might tend to any finite value, might tend to infinity, or might diverge, depending on the specific functions involved. A limit which unambiguously tends to infinity, for instance is not considered indeterminate. The term was originally introduced by Cauchy's student Moigno in the middle of the 19th century. The most common example of an indeterminate form is the quotient of two functions each of which converges to zero. This indeterminate form is denoted by For example, as approaches the ratios , , and go to , , and respectively. In each case, if the limits of the numerator and denominator are substituted, the resulting expression is , which is indeterminate. In this sense, can take on the values , , or , by appropriate choices of functions to put in the numerator and denominator. A pair of functions for which the limit is any particular given value may in fact be found. Even more surprising, perhaps, the quotient of the two functions may in fact diverge, and not merely diverge to infinity. For example,
So the fact that two functions and converge to as approaches some limit point is insufficient to determinate the limit
An expression that arises by ways other than applying the algebraic limit theorem may have the same form of an indeterminate form. However it is not appropriate to call an expression "indeterminate form" if the expression is made outside the context of determining limits. An example is the expression Whether this expression is left undefined, or is defined to equal , depends on the field of application and may vary between authors. For more, see the article Zero to the power of zero. Note that and other expressions involving infinity are not indeterminate forms.
Оценка неопределенных форм
Прилагательное "неопределённый" не подразумевает, что предел не существует, как показывают многие из вышеприведённых примеров. Во многих случаях алгебраическое исключение, правило Лопиталя или другие методы могут быть использованы для преобразования выражения, чтобы можно было вычислить предел.
Правило больницы
Правило Лопиталя — это общий метод вычисления неопределённостей вида и . Это правило утверждает, что (при соответствующих условиях)
где и — производные функций и (Обратите внимание, что это правило не применимо к выражениям , , и так далее, поскольку эти выражения не являются неопределённостями.) Эти производные позволяют выполнить алгебраическое упрощение и, в конечном итоге, вычислить предел. Правило Лопиталя также можно применять к другим неопределённостям, предварительно выполнив подходящее алгебраическое преобразование. Например, для вычисления неопределённости 0/0:
Правая часть имеет вид , поэтому к ней применимо правило Лопиталя. Следует отметить, что это уравнение справедливо (пока правая часть определена), поскольку натуральный логарифм (ln) является непрерывной функцией; поведение функций и (или его отсутствие) не имеет значения, пока оно асимптотически положительно. (Область определения логарифма — множество всех положительных действительных чисел.) Хотя правило Лопиталя применимо как к виду , так и к виду , в конкретном случае одна из этих форм может оказаться более удобной (из-за возможности последующего алгебраического упрощения). Можно переходить от одной формы к другой, преобразуя в .