Введение

Встраивание окружности в трехмерное евклидово пространство – математический объект.

В математике, узел – это встраивание окружности в трехмерное евклидово пространство, R³ (также известное как E³). Часто два узла считаются эквивалентными, если они являются окружающими изотопами, то есть существует непрерывная деформация R³, переводящая один узел в другой. Важное отличие между стандартным математическим и общепринятым пониманием узла заключается в том, что математические узлы замкнуты – у них нет концов, которые можно завязать или развязать. Физические свойства, такие как трение и толщина, также не учитываются, хотя существуют математические определения узла, принимающие во внимание такие свойства. Термин "узел" также применяется к встраиваниям в , особенно в случае, когда раздел математики, изучающий узлы, известен как теория узлов и имеет множество связей с теорией графов.

Формальное определение

Узел — это вложение окружности в трехмерное евклидово пространство (R³), или в 3-сферу, поскольку 3-сфера компактна. Два узла считаются эквивалентными, если между ними существует окружающая изотопия.

Проекция

Узел в евклидовом пространстве (или, альтернативно, в 3-сфере) может быть спроецирован на плоскость (соответственно, на сферу). Эта проекция почти всегда регулярна, то есть инъективна во всех точках, кроме конечного числа точек пересечения, которые являются проекциями только двух точек узла, и эти точки не лежат на одной прямой. В этом случае, выбрав сторону проекции, можно полностью закодировать класс изотопии узла с помощью его регулярной проекции, фиксируя информацию о том, какая ветвь проходит сверху, а какая снизу в каждой точке пересечения. В терминах теории графов, регулярная проекция узла, или диаграмма узла, представляет собой планарный квадривалентный граф, вершины которого помечены информацией о переходе сверху/снизу. Локальные модификации этого графа, позволяющие перейти от одной диаграммы к любой другой диаграмме того же узла (с точностью до изотопии плоскости), называются движениями Ридемейстера.

Типы узлов

Самый простой узел, называемый развязкой или тривиальным узлом, представляет собой окружность, встроенную в евклидово пространство. В обычном понимании, развязка вообще не является узлом. Самыми простыми нетривиальными узлами являются трефойл (31 в таблице), восьмёрка (41) и пятилистник (51). Несколько узлов, соединенных вместе или переплетенных, называются сплетениями. Узлы – это сплетения, состоящие из одной компоненты.

Дополнитель узла

При заданном узле в 3-сфере, комплемент узла — это множество всех точек 3-сферы, не принадлежащих узлу. Важная теорема Гордона и Люке утверждает, что не более двух узлов имеют гомеоморфные комплементы (сам узел и его зеркальное отражение). Фактически, это превращает изучение узлов в изучение их дополнений, а затем — в теорию трехмерных многообразий.

Разложение JSJ

Декомпозиция JSJ и теорема гиперболизации Турстона сводят изучение узлов в 3-сфере к изучению различных геометрических многообразий посредством операций склеивания или создания спутников. На изображении декомпозиция JSJ разделяет дополнение к узлу на объединение трех многообразий: два дополнения к трефолу и дополнение к кольцам Борромея. Дополнение к трефолу имеет геометрию H² × R, а дополнение к кольцам Борромея – геометрию H³.

Гармонические узлы

Параметрические представления узлов называются гармоническими узлами. Аарон Траутвейн составил параметрические представления для всех узлов с числом пересечений, не превышающим 8, в своей докторской диссертации.

Средний график

Еще одно удобное представление диаграмм узлов было введено Питером Тейтом в 1877 году. Любая диаграмма узла определяет плоский граф, вершины которого – точки пересечения, а ребра – пути между последовательными пересечениями. Ровно одна грань этого плоского графа неограничена; каждая из остальных гомеоморфна двумерному диску. Раскрасим эти грани в черный или белый цвет так, чтобы неограниченная грань была черной, а любые две грани, имеющие общий отрезок границы, были окрашены в разные цвета. Теорема Жордана о кривых подразумевает, что существует ровно одна такая раскраска. Построим новый плоский граф, вершинами которого являются белые грани, а ребра соответствуют точкам пересечения. Мы можем пометить каждое ребро в этом графе как левое или правое, в зависимости от того, какая нить проходит над другой, если смотреть на соответствующую точку пересечения с одного из концов ребра. Левые и правые ребра обычно обозначают знаком «+» для левых ребер и «–» для правых ребер, или изображают левые ребра сплошными линиями, а правые – пунктирными. Исходная диаграмма узла является медиальным графом этого нового плоского графа, причем тип каждой точки пересечения определяется знаком соответствующего ребра. Изменение знака каждого ребра соответствует зеркальному отражению узла.

Встраивание без узлов и узлов

В двух измерениях только планарные графы могут быть вложены в евклидову плоскость без пересечений, но в трех измерениях любой неориентированный граф может быть вложен в пространство без пересечений. Однако пространственным аналогом планарных графов служат графы с невзаимосвязанными вложениями и без узлов вложениями. Невзаимосвязанное вложение – это вложение графа, обладающее свойством, что любые два цикла невзаимосвязаны; вложение без узлов – это вложение графа, обладающее свойством, что любой отдельный цикл не образует узел. Графы, допускающие невзаимосвязанные вложения, характеризуются запрещенными графами, включающими семейство Петерсена – набор из семи графов, которые внутренне связаны: каким бы образом они ни были вложены, некоторые два цикла будут связаны друг с другом. Полная характеристика графов, допускающих вложения без узлов, неизвестна, но полный граф K7 является одним из минимальных запрещенных графов для вложений без узлов: каким бы образом K7 ни был вложен, он будет содержать цикл, образующий узел-трефойл.

Обобщение

В современной математике термин "узел" иногда используется для описания более общего явления, связанного с вложениями. Для многообразия M с подмногообразием N говорят, что N может быть заузлен в M, если существует вложение N в M, не изотопное N. Традиционные узлы соответствуют случаю, когда и или . Теорема Шенфлиса утверждает, что окружность не завязывается в 2-сфере: любая топологическая окружность в 2-сфере изотопна геометрической окружности. Теорема Александра утверждает, что 2-сфера не завязывается гладко (или PL, или прирученно топологически) в 3-сфере. В прирученной топологической категории известно, что n-сфера не завязывается в (n+1)-сфере для всех n. Это теорема Мортона Брауна, Барри Мазура и Марстона Морза. Сфера Александра с рогами является примером заузленной 2-сферы в 3-сфере, которая не является прирученной. В гладкой категории известно, что n-сфера не завязывается в (n+1)-сфере при n ≠ 3. Случай является давней нерешенной проблемой, тесно связанной с вопросом: допускает ли 4-шар экзотическую гладкую структуру? Андре Эфлигер доказал, что нет гладких j-мерных узлов при условии 2n − 3j − 3 > 0, и привел дополнительные примеры заузленных сфер для всех n > j ≥ 1, где n − j называется коразмерностью узла. Интересным аспектом работы Эфлигера является то, что классы изотопий вложений в образуют группу, групповая операция которой задается связной суммой, при условии, что коразмерность больше двух. Эфлигер основывал свою работу на теореме h-кобордизма Стивена Смейла. Одна из теорем Смейла состоит в том, что при рассмотрении узлов в коразмерности больше двух даже неэквивалентные узлы имеют диффеоморфные дополнения. Это придает предмету иной характер, чем теория узлов в коразмерности 2. Если допускать топологические или PL-изотопии, Кристофер Зимен доказал, что сферы не завязываются при коразмерности больше 2. См. обобщение для многообразий.