Кіріспе
Ашық (сәйкесінше, жабық) жиынтықтарды ашық (сәйкесінше, жабық) жиынтықтарға жіберетін функция. Математикада, әсіресе топологияда, ашық бейнелеу – екі топологиялық кеңістік арасындағы ашық жиынтықтарды ашық жиынтықтарға бейнелейтін функция. Яғни, функция егер кез келген ашық жиынтықтың бейнесі ашық болса, ашық болады. Сол сияқты, жабық бейнелеу – жабық жиынтықтарды жабық жиынтықтарға бейнелейтін функция. Бейнелеу ашық, жабық, екеуі де немесе екеуі де болмауы мүмкін; атап айтқанда, ашық бейнелеу міндетті түрде жабық бола бермейді және керісінше. Ашық және жабық бейнелеулер міндетті түрде үздіксіз бола бермейді. Олардың анықтамасы көбірек табиғи болғанымен, ашық және жабық бейнелеулер үздіксіз бейнелеулерге қарағанда кем маңызды. Естеріңізге сала кетейік, функция егер кез келген ашық жиынтықтың кері бейнесі ашық болса, үздіксіз болып табылады.
In mathematics, more specifically in topology, an open map is a function between two topological spaces that maps open sets to open sets. That is, a function is open if for any open set in the image is open in
Likewise, a closed map is a function that maps closed sets to closed sets. A map may be open, closed, both, or neither; in particular, an open map need not be closed and vice versa. Open and closed maps are not necessarily continuous. Although their definitions seem more natural, open and closed maps are much less important than continuous maps. Recall that, by definition, a function is continuous if the preimage of every open set of is open in
Анықтамалар мен сипаттамалар
Егер топологиялық кеңістіктің ішкі жиыны болса, онда және (сәйкесінше) осы кеңістіктегі жабылуын, ал (сәйкесінше) ішкі жиынын білдіреді. Егер - топологиялық кеңістіктер арасындағы функция болса, онда кез келген жиын үшін -тің бейнесі деп аталады.
Мысалдар
Бұл функция, анықталған, үздіксіз, жабық және салыстырмалы түрде ашық, бірақ (қатты) ашық емес. Себебі, егер ' доменіндегі кез келген ашық интервал болса және ол қамтымаса, онда, бұл ашық интервал екі кеңістіктің де ашық ішкі жиыны болады. Ал егер ' доменіндегі кез келген ашық интервал қамтыса, онда, ол ' кодоменінің ашық ішкі жиыны емес, бірақ ' кеңістігінің ашық ішкі жиыны болады. ' кеңістігіндегі барлық ашық интервалдар жиыны, ' кеңістігіндегі Эвклид топологиясы үшін база болып табылатындықтан, бұл ' салыстырмалы түрде ашық, бірақ (қатты) ашық емес екенін көрсетеді. Егер ' дискретті топологияға ие болса (яғни, барлық ішкі жиындар ашық және жабық), онда кез келген функция ашық және жабық болады (бірақ міндетті түрде үздіксіз емес). Мысалы, еден функциясы ашық және жабық, бірақ үздіксіз емес. Бұл мысал, ашық немесе жабық түрлендіру арқылы байланысты кеңістіктің бейнесінің байланысты болуы міндетті емес екенін көрсетеді. Егер топологиялық кеңістіктердің көбейтіндісі болса, онда табиғи проекциялар ашық (және үздіксіз) болады. Тілiк бундельдерiнiң және қаптамалық карталардың проекциялары өнімдердің жергілікті табиғи проекциялары болғандықтан, олар да ашық түрлендірулер болып табылады. Дегенмен, проекциялар міндетті түрде жабық болуы керек емес. Мысалы, бірінші компонентке проекцияны қарастырайық; онда жиын жабық, бірақ жабық емес. Алайда, тығыз кеңістікте проекция жабық. Бұл түтікше леммасының мәні. Бірлік шеңберіндегі әрбір нүктеге оң осьтің бұрышын, нүкте мен координата басының арасындағы сәулемен байланыстыра аламыз. Бұл функция, бірлік шеңберінен жартылай ашық аралыққа [0,2π) биективті, ашық және жабық, бірақ үздіксіз емес. Бұл, ашық немесе жабық түрлендіру арқылы тығыз кеңістіктің бейнесі тығыз болуы міндетті емес екенін көрсетеді. Сондай-ақ, егер біз бұл функцияны бірлік шеңберінен нақты сандарға қарастырсақ, онда ол ашық та, жабық та емес. Кодоменді нақты анықтау өте маңызды.
However, for a compact space the projection is closed. This is essentially the tube lemma. To every point on the unit circle we can associate the angle of the positive axis with the ray connecting the point with the origin. This function from the unit circle to the half open interval [0,2π) is bijective, open, and closed, but not continuous. It shows that the image of a compact space under an open or closed map need not be compact. Also note that if we consider this as a function from the unit circle to the real numbers, then it is neither open nor closed. Specifying the codomain is essential.