Введение
Функция, которая отображает открытые (соответственно, закрытые) подмножества в открытые (соответственно, закрытые) подмножества. В математике, в частности в топологии, открытое отображение — это функция между двумя топологическими пространствами, которая отображает открытые множества в открытые множества. То есть, функция является открытой, если для любого открытого множества в образ является открытым в . Аналогично, закрытое отображение — это функция, которая отображает закрытые множества в закрытые множества. Отображение может быть открытым, закрытым, одновременно открытым и закрытым, или ни тем, ни другим; в частности, открытое отображение не обязано быть закрытым и наоборот. Открытые и закрытые отображения не обязательно непрерывны. Хотя их определения кажутся более естественными, открытые и закрытые отображения гораздо менее важны, чем непрерывные отображения. Напомним, что по определению, функция является непрерывной, если прообраз каждого открытого множества является открытым в .
In mathematics, more specifically in topology, an open map is a function between two topological spaces that maps open sets to open sets. That is, a function is open if for any open set in the image is open in
Likewise, a closed map is a function that maps closed sets to closed sets. A map may be open, closed, both, or neither; in particular, an open map need not be closed and vice versa. Open and closed maps are not necessarily continuous. Although their definitions seem more natural, open and closed maps are much less important than continuous maps. Recall that, by definition, a function is continuous if the preimage of every open set of is open in
Определения и характеристики
Если A является подмножеством топологического пространства, то пусть cl(A) и int(A) (соответственно) обозначают замыкание (соответственно, внутренность) A в этом пространстве. Пусть f — функция между топологическими пространствами. Если B — любое множество, то f(B) называется образом B относительно f.
Примеры
Функция, определенная как , является непрерывной, замкнутой и относительно открытой, но не (строго) открытой. Это происходит потому, что если является любым открытым интервалом в области определения , который не содержит , то , где этот открытый интервал является открытым подмножеством как и . Однако, если является любым открытым интервалом в , который содержит , то , который не является открытым подмножеством кообласти , но является открытым подмножеством . Поскольку множество всех открытых интервалов в является базисом для евклидовой топологии на , это показывает, что относительно открыта, но не (строго) открыта. Если имеет дискретную топологию (то есть все подмножества открыты и замкнуты), то любая функция является одновременно открытой и замкнутой (но не обязательно непрерывной). Например, функция взятия целой части от до является открытой и замкнутой, но не непрерывной. Этот пример показывает, что образ связного пространства при открытом или замкнутом отображении не обязан быть связным. Всякий раз, когда у нас есть произведение топологических пространств , естественные проекции являются открытыми (а также непрерывными). Поскольку проекции расслоений и отображений накрытий являются локально естественными проекциями произведений, они также являются открытыми отображениями. Однако проекции не обязаны быть замкнутыми. Рассмотрим, например, проекцию на первый компонент; тогда множество замкнуто в , но не замкнуто в . Однако, для компактного пространства проекция замкнута. Это, по сути, лемма о трубке. Каждой точке на единичной окружности можно сопоставить угол положительной оси с лучом, соединяющим точку с началом координат. Эта функция с единичной окружности на полуоткрытый интервал [0, 2π) является биективной, открытой и замкнутой, но не непрерывной. Она показывает, что образ компактного пространства при открытом или замкнутом отображении не обязан быть компактным. Также обратите внимание, что если рассматривать это как функцию с единичной окружности на действительные числа, то она не является ни открытой, ни замкнутой. Указание кообласти является существенным.
However, for a compact space the projection is closed. This is essentially the tube lemma. To every point on the unit circle we can associate the angle of the positive axis with the ray connecting the point with the origin. This function from the unit circle to the half open interval [0,2π) is bijective, open, and closed, but not continuous. It shows that the image of a compact space under an open or closed map need not be compact. Also note that if we consider this as a function from the unit circle to the real numbers, then it is neither open nor closed. Specifying the codomain is essential.