Кіріспе
Алгебралардың тензорлық көбейтіндісі өрісте; өзі де алгебра. Математикада коммутативтік сақина R-дегі екі алгебраның тензорлық көбейтіндісі де R-алгебрасы болып табылады. Бұл алгебралардың тензорлық көбейтіндісін анықтайды. Сақина өріс болған жағдайда, мұндай көбейтінділердің ең көп қолданылатын түрі – алгебралық бейнелеулердің көбейтіндісін сипаттау болып табылады.
Анықтама
R коммутативті сақина болсын, ал A мен B – R алгебралары болсын. A және B екеуін де R модульдері ретінде қарастыруға болатындықтан, олардың тензорлық көбейтіндісі де R модуль болып табылады. Тензорлық көбейтіндіге a ⊗ b түріндегі элементтерде көбейтіндіні анықтап, содан кейін A ⊗R B-нің барлық элементтеріне сызықтылық арқылы кеңейту арқылы сақина құрылымын беруге болады. Бұл сақина – R алгебрасы, ассоциативті және 1A ⊗ 1B арқылы берілген бірлік элементіне ие. Мұндағы 1A және 1B – A және B сақиналарының бірлік элементтері. Егер A және B коммутативті болса, онда тензорлық көбейтінді де коммутативті болады. Тензорлық көбейтінді R алгебраларының санатын симметриялық моноидтік санатқа айналдырады.
is also an R module. The tensor product can be given the structure of a ring by defining the product on elements of the form a ⊗ b by
and then extending by linearity to all of A ⊗R B. This ring is an R algebra, associative and unital with identity element given by 1A ⊗ 1B. where 1A and 1B are the identity elements of A and B. If A and B are commutative, then the tensor product is commutative as well. The tensor product turns the category of R algebras into a symmetric monoidal category.
Қолданбалар
Коммутативтік алгебралардың тензорлық көбейтіндісі алгебралық геометрияда жиі қолданылады. X, Y, Z аффиндік схемалары үшін, X-тен және Z-ден Y-ге морфизмдер болғанда, яғни X = Spec(A), Y = Spec(R), және Z = Spec(B) белгілі бір коммутативтік сақиналар A, R, B үшін, талшықтық көбейтінді схемасы алгебралардың тензорлық көбейтіндісіне сәйкес келетін аффиндік схема болып табылады:
Жалпы алғанда, схемалардың талшықтық көбейтінділері осы түрдегі аффиндік талшықтық көбейтінділерді біріктіру арқылы анықталады.
Мысалдар
Тензорлық көбейтінді схемадағы екі қосалқы схемалардың қиылысын алу құралы ретінде қолданылуы мүмкін: алгебраларды қарастырайық , , содан кейін олардың тензорлық көбейтіндісі , C-ге аффиндік жазықтықтағы алгебралық қисықтардың f = 0 және g = 0 қиылысын сипаттайды. Көбірек жалпылағанда, егер коммутативті сақина болса және идеалдар болса, онда , -ге жіберудің бірегей изоморфизмімен. Тензорлық көбейтінділер коэффициенттерді өзгерту құралы ретінде де қолданылуы мүмкін. Мысалы, . Тензорлық көбейтінділер өріс үстіндегі аффиндік схемалардың көбейтіндісін алу үшін де қолданылуы мүмкін. Мысалы, егер f және g нөлге тең болмаса, онда аффинді бетке сәйкес келетін алгебраға изоморфты. Егер және алгебралардың негізгі сақиналары сыныпталған коммутативті сақиналар болса, онда тензорлық көбейтіндісі гомогенді элементтері үшін деп анықталғанда сыныпталған коммутативті сақинаға айналады.
More generally, if is a commutative ring and are ideals, then , with a unique isomorphism sending to Tensor products can be used as a means of changing coefficients. For example, and Tensor products also can be used for taking products of affine schemes over a field. For example, is isomorphic to the algebra which corresponds to an affine surface in if f and g are not zero. Given algebras and whose underlying rings are graded commutative rings, the tensor product becomes a graded commutative ring by defining for homogeneous , , , and .