Кіріспе
Морфизмдерді кері аудару арқылы құрылған математикалық категория. Категориялар теориясында, математиканың бір саласы, берілген C категориясының қарама-қарсы категориясы немесе дуал категориясы Cop, морфизмдерді кері аудару арқылы, яғни әрбір морфизмнің бастапқы нүктесі мен соңғы нүктесін ауыстыру арқылы құрылады. Екі рет кері аудару бастапқы категорияны береді, сондықтан қарама-қарсы категорияның қарама-қарсысы – бастапқы категорияның өзі. Белгіленуі: .
In category theory, a branch of mathematics, the opposite category or dual category Cop of a given category C is formed by reversing the morphisms, i. e. interchanging the source and target of each morphism. Doing the reversal twice yields the original category, so the opposite of an opposite category is the original category itself. In symbols, .
Мысалдар
Мысалы, жартылай ретте теңсіздіктердің бағытын кері аударудан келген. Егер X жиын болса және ≤ – жартылай рет қатынасы болса, онда біз жаңа жартылай рет қатынасын ≤op былай анықтай аламыз: x ≤op y егер және тек қана y ≤ x болса. Жаңа рет көбінесе ≤ ретінің дуалы деп аталады және әдетте ≥ арқылы белгіленеді. Сондықтан, дуалдық тәртіп теориясында маңызды рөл атқарады және таза тәртіптік ұғымның әрқайсысының дуалы болады. Мысалы, бала/ата-ана, ұрпақ/баба, инфимум/супремум, төменгі жиын/жоғарғы жиын, идеал/сүзгі және т.б. Бұл тәртіптік дуалдық өз кезегінде қарама-қарсы санаттарды құрудың ерекше жағдайы болып табылады, өйткені кез келген реттелген жиынды санат ретінде қарастыруға болады. Егер (S, ·) жартылай тобы берілсе, онда қарама-қарсы жартылай топ (S, ·)op = (S, *) деп анықталады, мұнда S-тегі барлық x, y үшін x*y ≔ y·x. Осылайша, жартылай топтар үшін де күшті дуалдық принципі бар. Әрине, осы құрылым топтар үшін де жұмыс істейді, сондай-ақ сақиналар теориясында да белгілі, онда ол сақинаның көбейту жартылай тобына қолданылып, қарама-қарсы сақинаны береді. Тағы да, бұл процесті жартылай топты моноидқа толықтыру, оған сәйкес қарама-қарсы санатты алу және содан кейін осы моноидтан бірлікті алып тастау арқылы сипаттауға болады. Буль алгебралары мен Буль гомоморфизмдерінің санаты Стоун кеңістіктері мен үздіксіз функциялар санатының қарама-қарсысына тең. Аффиндік схемалар санаты коммутативтік сақиналар санатының қарама-қарсысына тең. Понтрягин дуалдығы компактты Хаусдорф абельдік топологиялық топтар санаты мен (дискретті) абельдік топтар санатының қарама-қарсысы арасындағы эквиваленттілікпен шектеледі. Гельфанд-Наймaрк теоремасы бойынша, өлшенетін кеңістіктер санаты (өлшенетін бейнелеулермен) коммутативті фон Нейман алгебралары санатына тең (нормальды бірлік гомоморфизмдері бар * алгебралар).
x ≤op y if and only if y ≤ x. The new order is commonly called dual order of ≤, and is mostly denoted by ≥. Therefore, duality plays an important role in order theory and every purely order theoretic concept has a dual. For example, there are opposite pairs child/parent, descendant/ancestor, infimum/supremum, down set/up set, ideal/filter etc. This order theoretic duality is in turn a special case of the construction of opposite categories as every ordered set can be understood as a category. Given a semigroup (S, ·), one usually defines the opposite semigroup as (S, ·)op = (S, *) where x*y ≔ y·x for all x,y in S. So also for semigroups there is a strong duality principle. Clearly, the same construction works for groups, as well, and is known in ring theory, too, where it is applied to the multiplicative semigroup of the ring to give the opposite ring. Again this process can be described by completing a semigroup to a monoid, taking the corresponding opposite category, and then possibly removing the unit from that monoid. The category of Boolean algebras and Boolean homomorphisms is equivalent to the opposite of the category of Stone spaces and continuous functions. The category of affine schemes is equivalent to the opposite of the category of commutative rings. The Pontryagin duality restricts to an equivalence between the category of compact Hausdorff abelian topological groups and the opposite of the category of (discrete) abelian groups. By the Gelfand–Naimark theorem, the category of localizable measurable spaces (with measurable maps) is equivalent to the category of commutative Von Neumann algebras (with normal unital homomorphisms of * algebras).