Введение
Тензорное произведение алгебр над полем; само по себе является алгеброй. В математике тензорное произведение двух алгебр над коммутативным кольцом R также является R-алгеброй. Это и есть тензорное произведение алгебр. Когда кольцо является полем, наиболее распространенным применением таких произведений является описание произведения представлений алгебр.
Определение
Пусть R — коммутативное кольцо, а A и B — R-алгебры. Поскольку A и B можно рассматривать как R-модули, их тензорное произведение также является R-модулем. Тензорному произведению можно придать структуру кольца, определив произведение элементов вида a ⊗ b как
is also an R module. The tensor product can be given the structure of a ring by defining the product on elements of the form a ⊗ b by
and then extending by linearity to all of A ⊗R B. This ring is an R algebra, associative and unital with identity element given by 1A ⊗ 1B. where 1A and 1B are the identity elements of A and B. If A and B are commutative, then the tensor product is commutative as well. The tensor product turns the category of R algebras into a symmetric monoidal category.
и затем расширив его по линейности на все A ⊗R B. Это кольцо является R-алгеброй, ассоциативной и унитальной, с элементом идентичности, заданным 1A ⊗ 1B, где 1A и 1B — элементы идентичности A и B соответственно. Если A и B коммутативны, то тензорное произведение также коммутативно. Тензорное произведение превращает категорию R-алгебр в симметричную моноидальную категорию.
is also an R module. The tensor product can be given the structure of a ring by defining the product on elements of the form a ⊗ b by
and then extending by linearity to all of A ⊗R B. This ring is an R algebra, associative and unital with identity element given by 1A ⊗ 1B. where 1A and 1B are the identity elements of A and B. If A and B are commutative, then the tensor product is commutative as well. The tensor product turns the category of R algebras into a symmetric monoidal category.
Приложения
Тензорное произведение коммутативных алгебр часто используется в алгебраической геометрии. Для аффинных схем X, Y, Z с морфизмами из X и Z в Y, так что X = Spec(A), Y = Spec(R) и Z = Spec(B) для некоторых коммутативных колец A, R, B, схема-произведение волокон является аффинной схемой, соответствующей тензорному произведению алгебр.
В более общем случае, произведение волокон схем определяется склеиванием аффинных произведений волокон такого вида.
Примеры
Тензорное произведение может быть использовано как средство для вычисления пересечений двух подсхем в схеме: рассмотрим алгебры , , тогда их тензорное произведение равно , которое описывает пересечение алгебраических кривых f = 0 и g = 0 в аффинной плоскости над C. В более общем случае, если – коммутативное кольцо и – идеалы, то , с единственным изоморфизмом, отображающим в Тензорные произведения могут быть использованы для изменения коэффициентов. Например, и Тензорные произведения также могут использоваться для вычисления произведений аффинных схем над полем. Например, изоморфно алгебре , которая соответствует аффинной поверхности, если f и g не равны нулю. Для заданных алгебр и , базовые кольца которых являются градуированно-коммутативными кольцами, тензорное произведение становится градуированно-коммутативным кольцом, определяя для однородных элементов , , и .
More generally, if is a commutative ring and are ideals, then , with a unique isomorphism sending to Tensor products can be used as a means of changing coefficients. For example, and Tensor products also can be used for taking products of affine schemes over a field. For example, is isomorphic to the algebra which corresponds to an affine surface in if f and g are not zero. Given algebras and whose underlying rings are graded commutative rings, the tensor product becomes a graded commutative ring by defining for homogeneous , , , and .