Введение

Математическая категория, образованная обращением морфизмов. В теории категорий, области математики, противоположная категория или двойственная категория Cop данной категории C образуется путем обращения морфизмов, то есть путем замены источника и цели каждого морфизма. Двойственное обращение возвращает исходную категорию, таким образом, противоположная к противоположной категории является исходной категорией. В символах, .

Примеры

Пример исходит из изменения направления неравенств в частичном порядке. Итак, если X – множество, а ≤ – отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤op следующим образом:

x ≤op y тогда и только тогда, когда y ≤ x. Новый порядок обычно называют двойственным к ≤ и чаще всего обозначают ≥. Следовательно, двойственность играет важную роль в теории порядка, и для каждого чисто теоретического понятия порядка существует двойственное понятие. Например, существуют противоположные пары: ребенок/родитель, потомок/предок, инфимум/супремум, нижнее множество/верхнее множество, идеал/фильтр и т. д. Эта теоретико-порядковая двойственность, в свою очередь, является частным случаем построения противоположных категорий, поскольку каждое упорядоченное множество можно рассматривать как категорию. Для полугруппы (S, ·) противоположная полугруппа обычно определяется как (S, ·)op = (S, *), где x*y ≔ y·x для всех x, y из S. Таким образом, для полугрупп также существует сильный принцип двойственности. Очевидно, что та же конструкция работает и для групп, и известна в теории колец, где она применяется к мультипликативной полугруппе кольца для получения противоположного кольца. Снова этот процесс можно описать путем дополнения полугруппы до моноида, взятия соответствующей противоположной категории, а затем, возможно, удаления единицы из этого моноида. Категория булевых алгебр и булевых гомоморфизмов эквивалентна противоположной категории пространств Стоуна и непрерывных функций. Категория аффинных схем эквивалентна противоположной категории коммутативных колец. Двойственность Понтрягина ограничивается эквивалентностью между категорией компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и противоположной категорией (дискретных) абелевых групп. По теореме Гельфанда — Наймарка категория локализуемых измеримых пространств (с измеримыми отображениями) эквивалентна категории коммутативных алгебр фон Неймана (с нормальными унитальными гомоморфизмами * алгебр).