Введение

Набор простых идеалов кольца
концепция спектра кольца в теории гомотопии
В коммутативной алгебре простой спектр (или просто спектр) коммутативного кольца R — это множество всех простых идеалов кольца R, обычно обозначаемое ; в алгебраической геометрии он одновременно является топологическим пространством, снабжённым пучком колец.

Топология Зариски

Для любого идеала I кольца R определите множество простых идеалов, содержащих I. Мы можем ввести на этом множестве топологию, определив семейство замкнутых множеств следующим образом:

Эта топология называется топологией Зариски. Базис топологии Зариски можно построить следующим образом. Для f ∈ R определим Df как множество простых идеалов кольца R, не содержащих f. Тогда каждый Df является открытым подмножеством , и семейство {Df} образует базис топологии Зариски. является компактным пространством, но почти никогда не является хаусдорфовым: фактически, максимальные идеалы в R – это ровно замкнутые точки в этой топологии. По той же логике, в общем случае не является T1-пространством. Однако всегда является пространством Колмогорова (удовлетворяет аксиоме T0); это также спектральное пространство.

Сборка и схемы

Учитывая пространство с топологией Зариски, структура пучка определяется на выделенных открытых подмножествах путем задания локализации R по степеням f. Можно показать, что это определяет B-пучок и, следовательно, пучок. Более подробно, выделенные открытые подмножества образуют базу топологии Зариски, поэтому для произвольного открытого множества U, записанного как объединение , мы задаем , где обозначает обратный предел по естественным гомоморфизмам колец . Можно проверить, что этот предпучок является пучком, и, следовательно, является кольцевым пространством. Любое кольцевое пространство, изоморфное одному из таких, называется аффинной схемой. Общие схемы получаются склеиванием аффинных схем. Аналогично, для модуля M над кольцом R можно определить пучок на выделенных открытых подмножествах, используя локализацию модуля. Как и выше, эта конструкция расширяется до предпучка на всех открытых подмножествах и удовлетворяет аксиоме склеивания. Такой пучок называется квазикогерентным пучком. Если P – точка в , то есть, простой идеал, то стебель структурного пучка в P равен локализации R по идеалу P, и это локальное кольцо. Следовательно, является локально кольцевым пространством. Если R – целостное кольцо с полем частных K, то мы можем описать кольцо более конкретно следующим образом. Мы говорим, что элемент f в K регулярен в точке P в X, если его можно представить в виде дроби f = a/b, где b не принадлежит P. Обратите внимание, что это согласуется с понятием регулярной функции в алгебраической геометрии. Используя это определение, мы можем описать как множество элементов K, регулярных в каждой точке P в U.

Функциональная перспектива

Полезно использовать язык теории категорий и заметить, что это функтор. Каждый гомоморфизм колец индуцирует непрерывное отображение (поскольку прообраз любого простого идеала в является простым идеалом в ). Таким образом, можно рассматривать как контрвариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию топологических пространств. Более того, для каждого простого числа *p* гомоморфизм спускается к гомоморфизмам локальных колец. Таким образом, даже определяет контрвариантный функтор из категории коммутативных колец в категорию локальнокольцевых пространств. Фактически, это универсальный такой функтор, и, следовательно, может быть использован для определения функтора с точностью до естественного изоморфизма. Функтор задает контрвариантную эквивалентность между категорией коммутативных колец и категорией аффинных схем; каждая из этих категорий часто рассматривается как противоположная к другой.

Мотивация из алгебраической геометрии

Следуя примеру, в алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества, то есть подмножества Kn (где K – алгебраически замкнутое поле), определяемые как общие нули множества многочленов от n переменных. Если A – такое алгебраическое множество, то рассматривается коммутативное кольцо R всех полиномиальных функций A → K. Максимальные идеалы R соответствуют точкам A (поскольку K алгебраически замкнуто), а простые идеалы R – подмногообразиям A (алгебраическое множество называется неприводимым, или многообразием, если его нельзя представить как объединение двух собственных алгебраических подмножеств). Таким образом, спектр R состоит из точек A вместе с элементами, представляющими все подмногообразия A. Точки A замкнуты в спектре, в то время как элементы, соответствующие подмногообразиям, имеют замыкание, состоящее из всех их точек и подмногообразий. Если рассматривать только точки A, то есть максимальные идеалы в R, то топология Зариски, определенная выше, совпадает с топологией Зариски, определенной на алгебраических множествах (которая имеет в качестве замкнутых множеств алгебраические подмножества). В частности, множество максимальных идеалов в R, вместе с топологией Зариски, гомеоморфно A, также снабженному топологией Зариски. Таким образом, топологическое пространство можно рассматривать как «обогащение» топологического пространства A (с топологией Зариски): для каждого подмногообразия A вводится одна дополнительная не замкнутая точка, которая «отслеживает» соответствующее подмногообразие. Эту точку можно рассматривать как универсальную точку для подмногообразия. Кроме того, пучок на и пучок полиномиальных функций на A по существу совпадают. Изучая спектры полиномиальных колец вместо алгебраических множеств с топологией Зариски, можно обобщить понятия алгебраической геометрии на неалгебраически замкнутые поля и далее, в конечном итоге придя к языку схем.

Примеры

Спектр целых чисел: аффинная схема является конечным объектом в категории аффинных схем, поскольку Spec(ℤ) является начальным объектом в категории коммутативных колец. Схема-теоретический аналог: аффинная схема. С точки зрения функтора точек, точка может быть отождествлена с морфизмом оценки. Это фундаментальное наблюдение позволяет придать смысл другим аффинным схемам. Крест: топологически выглядит как поперечное сечение двух комплексных плоскостей в точке, хотя обычно изображается как ∪, поскольку единственными определенными морфизмами в являются морфизмы оценки, связанные с точками. Первичный спектр булевого кольца (например, кольца множеств) является компактным, полносвязным хаусдорфовым пространством (то есть пространством Стоуна). (М. Хохстер) Топологическое пространство гомеоморфно первичному спектру коммутативного кольца (то есть спектральному пространству) тогда и только тогда, когда оно компактно, квази-разделено и трезво.

Неафиновые примеры

Вот несколько примеров схем, которые не являются аффинными схемами. Они построены путем склеивания аффинных схем. Проективное пространство над полем. Это можно легко обобщить на любое базовое кольцо, см. конструкцию Proj (на самом деле мы можем определить проективное пространство для любой базовой схемы). Проективное пространство для не является аффинным, так как глобальное сечение для является аффинной плоскостью без начала координат. Внутри выделены открытые аффинные подсхемы. Их объединение является аффинной плоскостью с удалённым началом координат. Глобальные сечения – это пары многочленов на , которые ограничиваются одним и тем же многочленом на , что можно показать как , глобальное сечение не является аффинным, как в .

Топологии не Зариски на простом спектре

Некоторые авторы (в частности, М. Хохстер) рассматривают топологии на простых спектрах, отличные от топологии Зариски. Во-первых, существует понятие конструктивной топологии: для кольца A подмножества вида удовлетворяют аксиомам для замкнутых множеств в топологическом пространстве. Эта топология на называется конструктивной топологией. В работе Хохстер рассматривает так называемую патч-топологию на простом спектре. По определению, патч-топология — это наименьшая топология, в которой множества вида и являются замкнутыми.

Глобальная или относительная спецификация

Существует относительная версия функтора, называемая глобальной или относительной. Если X – схема, то относительная Spec X обозначается как Spec X или RelSpec X. Если X ясно из контекста, то относительная Spec может обозначаться как Spec или RelSpec. Для схемы X и квазикогерентного пучка алгебр A существует схема Y и морфизм f: Y → X, такие, что для каждого открытого аффинного множества U в Y существует изоморфизм f⁻¹(U) ≅ Spec A(U), и такой, что для открытых аффинных множеств U и V в Y, включение Spec A(V) → Spec A(U) индуцируется картой ограничения A(U) → A(V). Иными словами, поскольку гомоморфизмы колец индуцируют противоположные отображения спектров, карты ограничения пучка алгебр индуцируют карты включения спектров, составляющих Spec пучка. Глобальная Spec обладает универсальным свойством, аналогичным универсальному свойству для обычной Spec. Более точно, так же как Spec и глобальный секционный функтор являются контравариантными прасопряженными между категорией коммутативных колец и схем, глобальная Spec и функтор прямого образа для карты структуры являются контравариантными прасопряженными между категорией коммутативных алгебр и схем над X. В формулах:

f* ∘ Spec A = Spec A ∘ f*,

где f – морфизм схем.

Перспектива теории представления

С точки зрения теории представлений, простой идеал I соответствует модулю R/I, а спектр кольца – нередуцируемым циклическим представлениям R, в то время как более общие подмногообразия соответствуют, возможно, редуцируемым представлениям, которые не обязательно являются циклическими. Вспомним, что абстрактно теория представлений группы – это изучение модулей над её групповой алгеброй. Связь с теорией представлений становится яснее, если рассматривать кольцо многочленов или, без выбора базиса, . Последнее представление показывает, что кольцо многочленов является групповой алгеброй над векторным пространством, а запись в терминах соответствует выбору базиса для этого пространства. Тогда идеал I, или, эквивалентно, модуль, является циклическим представлением R (циклическим, то есть порожденным одним элементом как R-модулем; это обобщает одномерные представления). В случае, когда поле алгебраически замкнуто (например, комплексные числа), каждый максимальный идеал соответствует точке в n-мерном пространстве согласно теореме Нульштелен (максимальный идеал, порожденный , соответствует точке ). Эти представления затем параметризуются двойственным пространством, ковектор задается отображением каждого в соответствующий . Таким образом, представление (K линейных отображений) задается набором из n чисел, или, эквивалентно, ковектором.

Таким образом, точки в n-мерном пространстве, рассматриваемые как max spec , точно соответствуют одномерным представлениям R, в то время как конечные множества точек соответствуют конечномерным представлениям (которые являются редуцируемыми, геометрически соответствующими объединению, а алгебраически – не являющимися простым идеалом). Немаксимальные идеалы, следовательно, соответствуют бесконечномерным представлениям.

Обобщения

Спектр может быть обобщен от колец к C*-алгебрам в теории операторов, что приводит к понятию спектра C*-алгебры. Важно отметить, что для хаусдорфова пространства алгебра скалярных функций (ограниченные непрерывные функции на пространстве, аналогичные регулярным функциям) является коммутативной C*-алгеброй, и пространство может быть восстановлено как топологическое пространство из алгебры скалярных функций, причем функционально; это суть теоремы Банаха — Стоуна. Действительно, любую коммутативную C*-алгебру можно представить как алгебру скалярных функций хаусдорфова пространства таким образом, устанавливая такое же соответствие, как между кольцом и его спектром. Обобщение на некоммутативные C*-алгебры приводит к некоммутативной топологии.