Абстракт математикадағы категориялар тепе-теңдігі

Кіріспе

Абстрактілі математикалық қатынастар

Категориялар теориясында, абстрактілі математиканың бір саласы, категориялардың эквиваленттігі – екі категорияның “негізінен бірдей” екенін көрсететін екі категория арасындағы қатынас. Математиканың көптеген салаларынан категориялық эквиваленттіктердің көптеген мысалдары бар. Эквиваленттікті орнату математикалық құрылымдардың арасындағы мықты ұқсастықтарды көрсетуді білдіреді. Кейбір жағдайларда, бұл құрылымдар сырттай немесе интуитивті деңгейде байланыссыз болып көрінуі мүмкін, бұл осы ұғымды өте қуатты етеді: бұл теоремаларды әртүрлі математикалық құрылымдар арасында “аудармалауға” мүмкіндік береді, бұл теоремалардың маңызды мағынасы аударма кезінде сақталады. Егер бір категория екінші категорияның кері (немесе дуалды) категориясына эквивалентті болса, онда категориялардың дуалдығы туралы айтылады және екі категория дуалды эквивалентті екендігі айтылады. Категориялардың эквиваленттігі қатысатын категориялар арасындағы функтордан тұрады, оған “кері” функтор қажет. Алайда, алгебралық контексттегі изоморфизмдерге тән жағдайдан айырмашылығы, функтордың композициясы және оның “керісі” міндетті түрде сәйкестікке тең болмайды. Оның орнына, әрбір объектінің осы композиция бойынша өзінің бейнесіне табиғи түрде изоморфты болуы жеткілікті. Осылайша, функторларды “изоморфизмге дейін кері” деп сипаттауға болады. Шындығында, кері функтордың қатаң түрі қажет болатын категориялардың изоморфизмі туралы ұғым бар, бірақ бұл эквиваленттік ұғымына қарағанда әлдеқайда аз практикалық қолданысқа ие.

Анықтама

Формальды түрде, C және D екі санат берілген жағдайда, санаттардың эквиваленттілігі F: C → D функторынан, G: D → C функторынан және екі табиғи изоморфизмнен – ε: FG→ID және η: IC→GF тұрады. Мұнда FG: D→D және GF: C→C – F және G функторларының тиісті композицияларын, ал IC: C→C және ID: D→D – C және D санаттарындағы сәйкестік функторларын білдіреді, олар әрбір объектіні және морфизмді өзіне бейімдейді. Егер F және G ковариант емес функторлар болса, онда санаттардың дуалдығы туралы айтылады. Көбінесе жоғарыда аталған деректердің бәрі көрсетілмейді. Мысалы, C және D санаттары эквивалентті (немесе дуалды эквивалентті) екенін айтамыз, егер олардың арасында эквиваленттілік (немесе дуалдылық) болса. Сонымен қатар, егер G кері функторы және жоғарыда көрсетілгендей табиғи изоморфизмдер болса, F "санаттардың эквиваленттілігі" болып табылады. Дегенмен, F туралы білім G және табиғи изоморфизмдерді қайта құру үшін жеткіліксіз екенін ескеру қажет: көптеген мүмкіндіктер болуы мүмкін (төмендегі мысалға қараңыз).

Мысалдар

Бір нысан мен бір морфизмді, екі нысанды және төрт морфизмді санатты қарастырайық: екі сәйкестік морфизм және екі изоморфизм және санаттар эквивалентті; мысалы, функцияны және функцияны пайдаланып, екі нысанды да және барлық морфизмдерді аламыз. Керісінше, бір нысан мен бір морфизмді санат екі нысанды және тек екі сәйкестік морфизмді санатқа эквивалентті емес. Екі нысанның арасында морфизмдер болмайтындықтан, олар изоморф емес. Сондықтан, кез келген функтордан бастап, ол мәндік жағынан сюръективті болмайды. Бір нысанмен және екі морфизммен санатты қарастырайық. Бұл, әрине, сәйкестік морфизм және жиынтық, өзіне тең, оны функтор мен өзіне қажетті табиғи изоморфизмдердің орнына алу арқылы көрсетуге болады. Алайда, бұл да дұрыс, ол табиғи изоморфизмді тудырады. Демек, сәйкестік функторлары категориялардың эквиваленттілігін құрайтыны туралы ақпаратты ескере отырып, осы мысалда әр бағыт үшін екі табиғи изоморфизмді таңдауға болады. Жинақтар мен бөлшектік функциялардың санаты нүктелі жиынтықтар мен нүктелік карталарды сақтау санатына эквивалентті, бірақ изоморф емес. Шекті өлшемді нақты векторлық кеңістіктердің санатын және барлық нақты матрицалардың санатын қарастырайық (соңғы категориясы қосымша категориялар туралы мақалада түсіндіріледі). Содан кейін және эквивалентті: объектіні векторлық кеңістікке карталайтын функтор және матрицаларды сәйкес сызықтық карталарға толық, адал және мәндік жағынан сюръективті. Алгебралық геометрияның негізгі тақырыптарының бірі – аффиндік схемалар санатының және коммутативті сақиналар санатының дуалдығы. Функтор әрбір коммутативті сақинаға оның спектрін, сақинаның жай идеалдарымен анықталатын схеманы байланыстырады. Оның қосымшасы әрбір аффиндік схемаға оның жаһандық қималар сақинасын байланыстырады. Функционалдық талдауда коммутативті C* алгебралар санаты компактты Хаусдорф кеңістіктері санатына кері эквивалентті. Осы дуалдықта әрбір компактты Хаусдорф кеңістігі және әрбір коммутативті C* алгебрасы оның максималдық идеалдарының кеңістігімен байланысты. Бұл – Гельфандтың бейнелеуі. Желі теориясында топологиялық кеңістіктер кластарына белгілі бір класты желілерді байланыстыратын бейнелеу теоремаларына негізделген бірнеше дуалдықтар бар. Мүмкін, осы түрдегі ең танымал теорема – Буль алгебрасы үшін Стоунның бейнелеу теоремасы, бұл Стоунның дуалдығының жалпы схемасындағы ерекше жағдай. Әрбір Буль алгебрасы, керісінше, кез келген топология үшін, жабық және ашық жиынтықтар Буль алгебрасын тудырады. Буль алгебраларының (олардың гомоморфизмдерімен) және Стоун кеңістіктерінің (толық карталармен) арасындағы дуалдықты аламыз. Стоунның дуалдығының тағы бір жағдайы – Бёркоффтың бейнелеу теоремасы, ол шекті бөлшектік реттер мен шекті үлестіру торлары арасындағы дуалдықты айтады. Мағынасыз топологияда кеңістіктік локальдер санаты адал кеңістіктер санатының дуалына эквивалентті екені белгілі. Екі сақина R және S үшін R Mod×S Mod өнім санаты (R×S) Mod-қа эквивалентті. Кез келген категория оның қаңқасына эквивалентті.

Consider the category having a single object and a single morphism , and the category with two objects , and four morphisms: two identity morphisms , and two isomorphisms and The categories and are equivalent; we can (for example) have map to and map both objects of to and all morphisms to By contrast, the category with a single object and a single morphism is not equivalent to the category with two objects and only two identity morphisms. The two objects in are not isomorphic in that there are no morphisms between them. Thus any functor from to will not be essentially surjective. Consider a category with one object , and two morphisms Let be the identity morphism on and set Of course, is equivalent to itself, which can be shown by taking in place of the required natural isomorphisms between the functor and itself. However, it is also true that yields a natural isomorphism from to itself. Hence, given the information that the identity functors form an equivalence of categories, in this example one still can choose between two natural isomorphisms for each direction. The category of sets and partial functions is equivalent to but not isomorphic with the category of pointed sets and point preserving maps. Consider the category of finite dimensional real vector spaces, and the category of all real matrices (the latter category is explained in the article on additive categories). Then and are equivalent: The functor which maps the object of to the vector space and the matrices in to the corresponding linear maps is full, faithful and essentially surjective. One of the central themes of algebraic geometry is the duality of the category of affine schemes and the category of commutative rings. The functor associates to every commutative ring its spectrum, the scheme defined by the prime ideals of the ring. Its adjoint associates to every affine scheme its ring of global sections. In functional analysis the category of commutative C* algebras with identity is contravariantly equivalent to the category of compact Hausdorff spaces. Under this duality, every compact Hausdorff space is associated with the algebra of continuous complex valued functions on , and every commutative C* algebra is associated with the space of its maximal ideals. This is the Gelfand representation. In lattice theory, there are a number of dualities, based on representation theorems that connect certain classes of lattices to classes of topological spaces. Probably the most well known theorem of this kind is Stone's representation theorem for Boolean algebras, which is a special instance within the general scheme of Stone duality. Each Boolean algebra is mapped to a specific topology on the set of ultrafilters of Conversely, for any topology the clopen (i. e. closed and open) subsets yield a Boolean algebra. One obtains a duality between the category of Boolean algebras (with their homomorphisms) and Stone spaces (with continuous mappings). Another case of Stone duality is Birkhoff's representation theorem stating a duality between finite partial orders and finite distributive lattices. In pointless topology the category of spatial locales is known to be equivalent to the dual of the category of sober spaces. For two rings R and S, the product category R Mod×S Mod is equivalent to (R×S) Mod. Any category is equivalent to its skeleton.