Введение

Абстрактные математические отношения

В теории категорий, ветви абстрактной математики, эквивалентность категорий — это отношение между двумя категориями, устанавливающее, что эти категории «по существу одинаковы». Существует множество примеров категорических эквивалентностей из различных областей математики. Установление эквивалентности предполагает демонстрацию существенных сходств между рассматриваемыми математическими структурами. В некоторых случаях эти структуры могут казаться несвязанными на поверхностном или интуитивном уровне, что делает это понятие весьма мощным: оно создает возможность «переводить» теоремы между различными типами математических структур, зная, что основной смысл этих теорем сохраняется при таком переводе. Если категория эквивалентна противоположной (или двойственной) к другой категории, то говорят о двойственности категорий и утверждают, что две категории дуально эквивалентны. Эквивалентность категорий состоит из функтора между рассматриваемыми категориями, который должен иметь «обратный» функтор. Однако, в отличие от ситуации, распространенной для изоморфизмов в алгебраическом контексте, композиция функтора и его «обратного» не обязательно является тождественным отображением. Вместо этого достаточно, чтобы каждый объект был естественным образом изоморфен своему образу при этой композиции. Таким образом, функторы можно описать как «обратные с точностью до изоморфизма». Действительно, существует понятие изоморфизма категорий, где требуется строгая форма обратного функтора, но это гораздо менее полезно на практике, чем понятие эквивалентности.

Определение

Формально, для двух категорий C и D, эквивалентность категорий состоит из функтора F: C → D, функтора G: D → C и двух естественных изоморфизмов ε: FG → 1D и η: 1C → GF. Здесь FG: D → D и GF: C → C обозначают соответствующие композиции функторов F и G, а 1C: C → C и 1D: D → D обозначают тождественные функторы на C и D, отображающие каждый объект и морфизм в себя. Если F и G являются контравариантными функторами, то говорят о двойственности категорий. Часто не указывают все вышеперечисленные данные. Например, мы говорим, что категории C и D эквивалентны (соответственно, дуально эквивалентны), если между ними существует эквивалентность (соответственно, дуальность). Более того, мы говорим, что F "является" эквивалентностью категорий, если существует обратный функтор G и естественные изоморфизмы, как указано выше. Однако следует отметить, что знания о F обычно недостаточно для восстановления G и естественных изоморфизмов: может существовать множество вариантов (см. пример ниже).

Примеры

Рассмотрим категорию, имеющую один объект и один морфизм, и категорию с двумя объектами и четырьмя морфизмами: два тождественных морфизма и два изоморфизма и . Категории и эквивалентны; мы можем (например) сопоставить объект из в , а оба объекта из сопоставить с и все морфизмы – с . Напротив, категория с одним объектом и одним морфизмом не эквивалентна категории с двумя объектами и только двумя тождественными морфизмами. Два объекта в не изоморфны, поскольку между ними нет морфизмов. Таким образом, любой функтор из в не будет существенно сюръективным. Рассмотрим категорию с одним объектом и двумя морфизмами. Пусть будет тождественным морфизмом на , а . Очевидно, эквивалентна самой себе, что можно показать, взяв вместо требуемых естественных изоморфизмов между функтором и самим собой. Однако также верно, что дает естественный изоморфизм из в себя. Следовательно, учитывая информацию о том, что тождественные функторы образуют эквивалентность категорий, в этом примере все еще можно выбирать между двумя естественными изоморфизмами для каждого направления. Категория множеств и частичных функций эквивалентна, но не изоморфна категории указанных множеств и сохраняющих указания отображений. Рассмотрим категорию конечномерных вещественных векторных пространств и категорию всех вещественных матриц (последняя категория объясняется в статье об аддитивных категориях). Тогда и эквивалентны: Функтор, который отображает объект из в векторное пространство , а матрицы из в соответствующие линейные преобразования, является полным, верным и существенно сюръективным. Одной из центральных тем алгебраической геометрии является двойственность категории аффинных схем и категории коммутативных колец. Функтор сопоставляет каждому коммутативному кольцу его спектр, схему, заданную простыми идеалами кольца. Его сопряженный сопоставляет каждой аффинной схеме ее кольцо глобальных сечений. В функциональном анализе категория коммутативных C*-алгебр с единицей контравариантно эквивалентна категории компактных хаусдорфовых пространств. При этой двойственности каждому компактному хаусдорфову пространству сопоставляется алгебра непрерывных комплекснозначных функций на , а каждой коммутативной C*-алгебре – пространство ее максимальных идеалов. Это представление Гельфанда. В теории решеток существует ряд двойственностей, основанных на теоремах о представлении, которые связывают определенные классы решеток с классами топологических пространств. Вероятно, наиболее известной теоремой такого рода является теорема о представлении Стоуна для булевых алгебр, которая является частным случаем в рамках общей схемы двойственности Стоуна. Каждая булева алгебра отображается в конкретную топологию на множестве ультрафильтров. И наоборот, для любой топологии клопенные (т.е. замкнутые и открытые) подмножества дают булеву алгебру. Получается двойственность между категорией булевых алгебр (с их гомоморфизмами) и пространствами Стоуна (с непрерывными отображениями). Другим примером двойственности Стоуна является теорема о представлении Биркгофа, утверждающая двойственность между конечными частично упорядоченными множествами и конечными дистрибутивными решетками. В бесструктурной топологии категория пространственных локалей эквивалентна двойственному к категории трезвых пространств. Для двух колец R и S категория произведений R Mod×S Mod эквивалентна (R×S) Mod. Любая категория эквивалентна своему скелету.