Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Схема X-тің KX рационалдық функцияларының шоғы классикалық алгебралық геометриядағы алгебралық сан алуандығының функциялар өрісі ұғымын схемалар теориясына жалпылау болып табылады. Алгебралық сан алуандықтар жағдайында, мұндай шоқ әрбір ашық жиынға U сол жиынның барлық рационалдық функцияларының сақинасын сәйкес қояды; яғни, KX(U) – U жиынындағы тұрақты функциялардың бөлшектерінің жиынтығы. Атауына қарамастан, KX жалпы X схемасы үшін әрқашан өріс бола бермейді.
The sheaf of rational functions KX of a scheme X is the generalization to scheme theory of the notion of function field of an algebraic variety in classical algebraic geometry. In the case of algebraic varieties, such a sheaf associates to each open set U the ring of all rational functions on that open set; in other words, KX(U) is the set of fractions of regular functions on U. Despite its name, KX does not always give a field for a general scheme X.
Қарапайым жағдайлар
Ең қарапайым жағдайларда KX анықтамасы түзу. Егер X — (толықтырылмайтын) аффиндік алгебралық алуантүрлілік болса, ал U — X-тың ашық ішкі жиыны болса, онда KX(U) U-дағы реттелген функциялар сақинасының бөлшек өрісі болады. X аффиндік болғандықтан, U-дағы реттелген функциялар сақинасы X-тың жаһандық қималарының локализациясы болады, демек KX — X-тың жаһандық қималарының бөлшек өрісін мәні ретінде беретін тұрақты шоғыр болады. Егер X интегралдық болса, бірақ аффиндік болмаса, онда кез келген бос емес аффиндік ашық жиын X-та тығыз болады. Бұл тұрақты функцияға U-дан тыс жерде қызықты әрекет етуге жеткілікті орын жоқ дегенді білдіреді, сондықтан U-дағы рационалдық функциялардың мінез-құлқы X-тағы рационалдық функциялардың мінез-құлқына әсер етуі керек. Шындығында, кез келген аффиндік ашық жиынның реттелген функциялар сақиналарының бөлшек өрістері бірдей болады, сондықтан кез келген U үшін KX(U) X-тың кез келген ашық аффиндік ішкі жиынындағы кез келген реттелген функциялар сақинасының ортақ бөлшек өрісі деп анықталады. Балама ретінде, осы жағдайда функциялық өріс жалпы нүктенің жергілікті сақинасы ретінде анықталуы мүмкін.
In the simplest cases, the definition of KX is straightforward. If X is an (irreducible) affine algebraic variety, and if U is an open subset of X, then KX(U) will be the fraction field of the ring of regular functions on U. Because X is affine, the ring of regular functions on U will be a localization of the global sections of X, and consequently KX will be the constant sheaf whose value is the fraction field of the global sections of X. If X is integral but not affine, then any non empty affine open set will be dense in X. This means there is not enough room for a regular function to do anything interesting outside of U, and consequently the behavior of the rational functions on U should determine the behavior of the rational functions on X. In fact, the fraction fields of the rings of regular functions on any affine open set will be the same, so we define, for any U, KX(U) to be the common fraction field of any ring of regular functions on any open affine subset of X. Alternatively, one can define the function field in this case to be the local ring of the generic point.
Басқа мәселелер
KX анықталғаннан кейін, X-тің тек қана KX-қа тәуелді қасиеттерін зерттеу мүмкін болады. Бұл бирационалды геометрияның пәні. Егер X – k өрісі үстіндегі алгебралық сан болса, онда әрбір U ашық жиыны үшін k өрісінің KX(U) кеңейтімі болады. U-дың өлшемі осы кеңейтімнің трансценденттік дәрежесіне тең болады. k өрісінің барлық шекті трансценденттік дәрежелі кеңейтімдері кейбір санның рационалды функциялар өрісіне сәйкес келеді. Атап айтқанда, егер C алгебралық қисық болса, яғни өлшемі 1-ге тең болса, онда C-дегі кез келген екі тұрақты емес функция F және G үшін P(F, G) = 0 полиномдық теңдеу орындалады.
Once KX is defined, it is possible to study properties of X which depend only on KX. This is the subject of birational geometry. If X is an algebraic variety over a field k, then over each open set U we have a field extension KX(U) of k. The dimension of U will be equal to the transcendence degree of this field extension. All finite transcendence degree field extensions of k correspond to the rational function field of some variety. In the particular case of an algebraic curve C, that is, dimension 1, it follows that any two non constant functions F and G on C satisfy a polynomial equation P(F,G) = 0.