Сравнивайте с английским: нажмите на абзац — оригинал откроется в окне. Кнопка EN под абзацем показывает его прямо в тексте.
Содержание
Введение
Пучок рациональных функций KX схемы X является обобщением понятия поля функций алгебраического многообразия из классической алгебраической геометрии на язык теории схем. В случае алгебраических многообразий, этот пучок сопоставляет каждому открытому множеству U кольцо всех рациональных функций на этом открытом множестве; иными словами, KX(U) — это множество частных от деления регулярных функций на U. Несмотря на название, KX не всегда определяет поле для общей схемы X.
The sheaf of rational functions KX of a scheme X is the generalization to scheme theory of the notion of function field of an algebraic variety in classical algebraic geometry. In the case of algebraic varieties, such a sheaf associates to each open set U the ring of all rational functions on that open set; in other words, KX(U) is the set of fractions of regular functions on U. Despite its name, KX does not always give a field for a general scheme X.
Простые случаи
В простейших случаях определение KX прямолинейно. Если X является (неприводимым) аффинным алгебраическим многообразием, а U – открытым подмножеством X, то KX(U) будет полем дробей кольца регулярных функций на U. Поскольку X аффинно, кольцо регулярных функций на U будет локализацией глобальных сечений X, и, следовательно, KX будет постоянным пучком, значение которого является полем дробей глобальных сечений X. Если X является интегральным, но не аффинным, то любое непустое аффинное открытое множество будет плотным в X. Это означает, что для регулярной функции недостаточно места, чтобы проявлять какую-либо активность вне U, и, следовательно, поведение рациональных функций на U должно определять поведение рациональных функций на X. На самом деле, поля дробей колец регулярных функций на любом аффинном открытом множестве будут одинаковыми, поэтому мы определяем, что для любого U, KX(U) является общим полем дробей любого кольца регулярных функций на любом открытом аффинном подмножестве X. Альтернативно, можно определить поле функций в этом случае как локальное кольцо общей точки.
In the simplest cases, the definition of KX is straightforward. If X is an (irreducible) affine algebraic variety, and if U is an open subset of X, then KX(U) will be the fraction field of the ring of regular functions on U. Because X is affine, the ring of regular functions on U will be a localization of the global sections of X, and consequently KX will be the constant sheaf whose value is the fraction field of the global sections of X. If X is integral but not affine, then any non empty affine open set will be dense in X. This means there is not enough room for a regular function to do anything interesting outside of U, and consequently the behavior of the rational functions on U should determine the behavior of the rational functions on X. In fact, the fraction fields of the rings of regular functions on any affine open set will be the same, so we define, for any U, KX(U) to be the common fraction field of any ring of regular functions on any open affine subset of X. Alternatively, one can define the function field in this case to be the local ring of the generic point.
Другие вопросы
После определения KX можно изучать свойства X, которые зависят только от KX. Это область изучения бирациональной геометрии. Если X — алгебраическое многообразие над полем k, то над каждым открытым множеством U существует расширение поля KX(U) поля k. Размерность U равна степени трансцендентности этого расширения поля. Любое конечное расширение поля k с конечной степенью трансцендентности соответствует полем рациональных функций некоторого многообразия. В частности, для алгебраической кривой C, то есть размерности 1, следует, что любые две неконстантные функции F и G на C удовлетворяют полиномиальному уравнению P(F, G) = 0.
Once KX is defined, it is possible to study properties of X which depend only on KX. This is the subject of birational geometry. If X is an algebraic variety over a field k, then over each open set U we have a field extension KX(U) of k. The dimension of U will be equal to the transcendence degree of this field extension. All finite transcendence degree field extensions of k correspond to the rational function field of some variety. In the particular case of an algebraic curve C, that is, dimension 1, it follows that any two non constant functions F and G on C satisfy a polynomial equation P(F,G) = 0.