Кіріспе
Матрицалық топ
Математикада, бүтін сандармен жазылған матрицалық топтың конгруэнттік кіші тобы – жазбаларға қатысты конгруэнттік шарттармен анықталатын кіші топ. Өте қарапайым мысал – детерминанты 1-ге тең 2 × 2 бүтін сандық матрицалардың кері кіші тобы, онда диагональдан тыс жазбалар жұп сан. Көбірек жалпылағанда, конгруэнттік кіші топ ұғымын алгебралық топтардың арифметикалық кіші топтары үшін де анықтауға болады; яғни, егер "бүтін құрылым" ұғымы болса және оны бүтін санның модулі бойынша редукциялау карталарын анықтау мүмкін болса. Арифметикалық топта конгруэнттік кіші топтардың болуы оған көптеген кіші топтарды сыйлайды, әсіресе, бұл топтың қалдық шекті екенін көрсетеді. Арифметикалық топтардың алгебралық құрылымына қатысты маңызды мәселе – конгруэнттік кіші топ мәселесі, ол шекті индекске ие барлық кіші топтар негізінен конгруэнттік кіші топтар болып табыса ма деген сұрақ қояды. 2 × 2 матрицалардың конгруэнттік кіші топтары модульдік формалардың классикалық теориясындағы маңызды объектілер болып табылады; автоморфтық формалардың қазіргі заманғы теориясы да конгруэнттік кіші топтарды жалпы арифметикалық топтарда ұқсас қолданады.
In mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example is the subgroup of invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1 in which the off diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer. The existence of congruence subgroups in an arithmetic group provides it with a wealth of subgroups, in particular it shows that the group is residually finite. An important question regarding the algebraic structure of arithmetic groups is the congruence subgroup problem, which asks whether all subgroups of finite index are essentially congruence subgroups. Congruence subgroups of 2 × 2 matrices are fundamental objects in the classical theory of modular forms; the modern theory of automorphic forms makes a similar use of congruence subgroups in more general arithmetic groups.
Модульдік топтың конгруэнттік кіші топтары
Конгруэнттік кіші топтарды зерттеуге болатын ең қарапайым және қызықты жағдай – модульдік топ, яғни 1= \mathrm{SL} 2(\Z) .
Негізгі конгруэнттік кіші топтар
Егер n – бүтін сан болса, онда n-модульдік азайту морфизмімен шақырылған \Z \to \Z / n\Z гомоморфизмі бар. \Gamma(n) деп белгіленетін n-деңгейлі негізгі конгруэнттік кіші топ – \pi_n гомоморфизмінің ядросы. Бұл анықтама дереу мынаны көрсетеді: \Gamma(n) – шекті индекске ие қалыпты кіші топ. Қытайлық қалдық теоремасының оңай салдары болып табылатын күшті жуықтау теоремасы, \Gamma(n) гомоморфизмінің сюръективті екенін көрсетеді, сондықтан оның бөлігі \mathrm{SL}_2(\Z/n\Z) изоморфты. Осы шекті топтың ретін есептеу келесі индекс формуласын береді:
мүшелері n-ді бөлетін барлық жай сандар бойынша алынған көбейтінді.
Егер n=1 болса, онда \Z-ның кез келген шекті кіші тобына шектеу инъективті болады. Бұл келесі нәтижеге әкеледі: егер n>1 болса, онда негізгі конгруэнттік кіші топтар бұрмасыз. \Gamma(n) тобы торсияға ие және бұрмасыз емес. Екінші жағынан, оның \mathrm{SL}_2(\Z/n\Z) бейнесі бұрмасыз, ал гиперболалық жазықтықтың осы кіші топқа қатысты бөлігі үш ұшы бар сфера болып табылады.
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
Хекке конгруенттік кіші топтарды нормализациялау
in нормализаторлары зерттелді; Жан-Пьер Серре, Эндрю Огг және Джон Г. Томпсонның 1970-жылдардағы бір нәтижесі бойынша, сәйкес модульдік қисық (гиперболалық жазықтықтың 1= \Gamma 0(p)^+ бойынша бөлуден алынған Риман беті) 1=p болғанда және тек сонда ғана нөл текті болады (яғни модульдік қисық Риман сферасы болады), егер 1=p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59, немесе 71-ге тең болса. Огг кейіннен монстр тобы туралы естігенде, осы сандардың 1=M мөлшерінің жай көбейткіштері екенін байқады және осы фактіні түсіндіре алатын әркімге Джек Дэниелс вискисінің бөтелкесін сыйлап беретін мақала жазды. Бұл монстрлық айшық теориясының бастауы болды, ол модульдік функциялар теориясы мен монстр тобы арасындағы терең байланыстарды түсіндіреді.
Арифметикалық топтар
Арифметикалық топ ұғымы 1= \mathrm{SL} d(\Z) негізгі мысалына негізделген кең жалпылау болып табылады. Әдетте, анықтама беру үшін, \Q үстінен анықталған жартылай қарапайым алгебралық топ және \GL d-ға \Q үстінен анықталған адал өкілдік 1= \rho қажет. Онда арифметикалық топ – бұл \Z^d-ның шекті индекс қосалқы торларының тұрақтандырғышында шекті индекске ие кез келген топ.
Конгруэнттік кіші топтар
Арифметикалық топ болсын: қарапайымдылық үшін 1= \Gamma \subset \mathrm{GL} n(\Z) деп есептегеніміз жөн. \mathrm{GL} n(\Z) жағдайындағыдай, 1= \pi n: \Gamma \to \mathrm{GL} d(\Z/n\Z) редукциялық морфизмдері бар. Біз \Gamma-ның негізгі конгруэнттік кіші тобын (априори \rho өрнегіне тәуелді болуы мүмкін) ядросы ретінде анықтай аламыз, ал конгруэнттік кіші тобын – негізгі конгруэнттік кіші топты қамтитын кез келген кіші топ ретінде анықтай аламыз (бұл ұғым өрнектен тәуелді емес). Олар – \pi n(\Gamma) шекті топтарының кіші топтарына сәйкес келетін шекті индекс кіші топтары, және деңгей анықталады.
Мүліктік (τ)
Берілген арифметикалық топтағы конгруэнттік кіші топтар отбасы Любоцкий-Зиммердің (τ) қасиетіне ие болады. Бұл олардың Шрайер косеті графиктерінің отбасының Чигер тұрақтысы (1=Γ үшін белгілі бір генерациялық жиынға қатысты) нөлден біркелкі шектеулі екенін білдіреді, яғни олар кеңейтілген графтар отбасы. Бұған қоса, бейнелеу теориялық тұрғыдан қарастырылғанда: егер Γ, G Lie тобындағы тор болса, онда (τ) қасиеті, G-нің тривиалды емес унитарлық бейнелеулері, G-нің унитарлық дуалындағы Fell топологиясында тривиалды бейнелеуден шектеулі арақашықтықта орналасқан кеңістіктерде кездесуімен эквивалентті. (τ) қасиеті – Кажданның (T) қасиетінің әлсіреуі болып табылады, ол барлық шекті индекс кіші топтар отбасының (τ) қасиетіне ие екенін білдіреді.
S-арифметикалық топтарда
Егер топ болса және жақсы нөмірлердің шекті жиыны болса, тобының арифметикалық субтобы 1= \Z орнына қолданылатын арифметикалық субтоп ретінде анықталады. Негізгі мысал 1= \operatorname{SL} d(\Z [1/p 1,\ldots, 1/p r]) болып табылады. алгебралық топтағы арифметикалық топ болсын 1= \mathbf G \subset \operatorname{GL} d. Егер жақсы нөмірде бөлінбейтін бүтін сан болса, онда барлық жақсы нөмірлер модуль бойынша инверттендіріледі және осыдан 1= \pi n: \Gamma S \to \mathrm{GL} d(\Z/n\Z) морфизмі бар екені шығады. Осылайша, 1= \Gamma S тобында, деңгейі барлық жақсы нөмірлерге өзара жай болатын конгруенциялық субтоптарды анықтау мүмкін.
Let be an arithmetic group in an algebraic group 1= \mathbf G \subset \operatorname{GL} d If is an integer not divisible by any prime in 1= S , then all primes are invertible modulo and it follows that there is a morphism 1= \pi n: \Gamma S \to \mathrm{GL} d(\Z/n\Z) Thus it is possible to define congruence subgroups in 1= \Gamma S , whose level is always coprime to all primes in 1= S .
SL2 ((Z) -дегі шекті индексті кіші топтар
Конгруэнттік кіші топтар шекті индекс кіші топтар болып табылады: олар 1= \Гамма-дағы барлық шекті индекс кіші топтарды құрай ма деп сұрауымыз табиғи. Жауап – нақты "жоқ". Бұл факт Феликс Клейнге бұрыннан мәлім болған, және конгруэнттік емес шекті индекс кіші топтарды көрсетуге көптеген жолдар бар. Мысалы: 1= \Gamma / \Gamma' бөлігінің композициялық тізбегіндегі жай топ, мұндағы қалыпты конгруэнттік кіші топ, Ли типінің жай тобы (немесе циклдік) болуы керек, шын мәнінде 1 = p үшін топтардың бірі. Бірақ әрбір үшін, алмасушы топқа изоморфты шекті индекс кіші топтары бар (мысалы, екі генераторы бар кез келген топқа, әсіресе барлық алмасушы топтарға проекцияланады, және осы морфизмдердің ядролары мысал келтіреді). Осылайша, бұл топтар конгруэнттік болмауы керек. 1= \Gamma(2) \to \Z; жеткілікті үлкен үшін, ядросы конгруэнттік болмауы керек (мұны көрудің бір жолы – Шрайер графигінің Чигер тұрақтысы 0-ге жақындасады; сонымен қатар, бұрынғы тармақ рухында қарапайым алгебралық дәлел бар). 1= \log c N = O \left( (\log N)^2 / \log \log N \right) индекстің конгруэнттік кіші топтарының саны орындалады. Екінші жағынан, 1= N \log N = O(\log a N) индекстің шекті индекс кіші топтарының саны орындалады, сондықтан шекті индекстің көпшілігі конгруэнттік емес болуы керек.
The simple group in the composition series of a quotient 1= \Gamma / \Gamma' , where is a normal congruence subgroup, must be a simple group of Lie type (or cyclic), in fact one of the groups for a prime 1= p But for every there are finite index subgroups such that is isomorphic to the alternating group (for example surjects on any group with two generators, in particular on all alternating groups, and the kernels of these morphisms give an example). These groups thus must be non congruence. There is a surjection 1= \Gamma(2) \to \Z ; for large enough the kernel of must be non congruence (one way to see this is that the Cheeger constant of the Schreier graph goes to 0; there is also a simple algebraic proof in the spirit of the previous item). The number of congruence subgroups in of index satisfies 1= \log c N = O \left( (\log N)^2 / \log \log N \right) On the other hand, the number of finite index subgroups of index in satisfies 1= N \log N = O(\log a N) , so most subgroups of finite index must be non congruence.
Теріс шешімдер
Серр болжамы 1-рангтағы Ли тобындағы тордың конгруэнттік кіші топтық қасиетке ие болмау керектігін айтады. Мұндай топтардың үш отбасысы бар: 1= \mathrm{SO}(d, 1), d \geqslant 2 ортогональды топтар, унитарлық топтар және топтар (Гамильтон кватерниондары арқылы берілген сесквилинейрлік форманың изометриялық топтары), сондай-ақ ерекше топ (қараңыз қарапайым Ли топтарының тізімі). Конгруэнттік кіші топтар мәселесінің қазіргі жағдайы мынадай: 1= d ≠ 7 болған барлық топтар үшін теріс шешімге ие екені белгілі (болжамды растайды). Дәлелдеуде 2-мысал сияқты аргумент қолданылады. 2 және 3 өлшемдерде және кейбір жоғары өлшемді торларда 1 және 3 аргументтері де қолданылады. Бұл көптеген торлар үшін белгілі, бірақ барлығы емес (2-аргументтің жалпылануын пайдалана отырып). Қалған барлық жағдайларда мәселе толыққанды ашық күйде қалады.
It is known to have a negative solution (confirming the conjecture) for all groups with 1= d \neq 7 The proof uses the same argument as 2. in the case of : in the general case it is much harder to construct a surjection to 1= \Z , the proof is not at all uniform for all cases and fails for some lattices in dimension 7 due to the phenomenon of triality. In dimensions 2 and 3 and for some lattices in higher dimensions argument 1 and 3 also apply. It is known for many lattices in , but not all (again using a generalisation of argument 2). It is completely open in all remaining cases.
Конгруэнттік топтар және адельдік топтар
Адель сақинасы 1= \Q-ның барлық толықтыруларының шектелген көбейтіндісі болып табылады, яғни,
көбейтінді барлық жай сандар жиыны бойынша алынады, мұндағы p-адик сандар өрісі, ал элемент шектелген көбейтіндіге тек қана егер барлық 1= p үшін p-адик бүтін сандардың ішкі сақинасына жатса ғана жатады. Кез келген алгебралық топ аделикалық алгебралық топтың үстінде жақсы анықталған. Ол канондық топологиямен жабдырылуы мүмкін, және егер сызықтық алгебралық топ болса, онда ол 1= \mathbb A^m кіші жиыны ретіндегі топология болады. Шектеулі адельдер – барлық архимедтік емес толықтырулардың (барлық p-адик өрістердің) шектелген көбейтіндісі. Егер арифметикалық топ болса, онда оның конгруэнттік кіші топтары келесі қасиет арқылы сипатталады: конгруэнттік кіші топ болады, егер және тек егер оның жабылуы компактты ашық кіші топ болса (компакттылық автоматты түрде) және 1= H = \Gamma \cap \overline H. Жалпы алғанда, тобы 1= \Gamma-дағы конгруэнттік жабылуына тең, ал тобындағы конгруэнттік топологиясы – 1= \mathbf G(\mathbb A f) кіші тобы ретінде туындаған топология, атап айтқанда, конгруэнттік толықтыруы – бұл топтағы оның жабылуы. Бұл ескертулер 1= S арифметикалық кіші топтары үшін де жарамды, шектеулі адельдер сақинасын 1= S-қа жатпайтын барлық жай сандардың шектелген көбейтіндісімен алмастыру арқылы. Көбірек жалпылап айтқанда, кіші топтың конгруэнттік кіші топ болу мағынасын нақты арифметикалық кіші топқа тікелей сілтеме жасамастан, оның конгруэнттік жабылуына тең болуын талап ету арқылы анықтауға болады: 1= \overline \Gamma \cap \mathbf G(\Q). Осылайша, барлық конгруэнттік кіші топтарды бірден зерттеуге болады, дискретті кіші топты қарастыру арқылы: 1= \mathbf G(\Q) \subset \mathbf G(\mathbb A). Бұл автоморфтық формалар теориясында ерекше ыңғайлы: мысалы, Артур–Сельберг із формуласының барлық қазіргі заманғы қарастырылымдары осы адельдік ортада жүзеге асырылады.
More generally one can define what it means for a subgroup to be a congruence subgroup without explicit reference to a fixed arithmetic subgroup, by asking that it be equal to its congruence closure 1= \overline \Gamma \cap \mathbf G(\Q) Thus it becomes possible to study all congruence subgroups at once by looking at the discrete subgroup 1= \mathbf G(\Q) \subset \mathbf G(\mathbb A) This is especially convenient in the theory of automorphic forms: for example all modern treatments of the Arthur–Selberg trace formula are done in this adélic setting.