Введение
Матричная группа
В математике конгруэнтная подгруппа матричной группы с целочисленными элементами — это подгруппа, определяемая условиями сравнения по модулю на элементах. Очень простым примером является подгруппа обратимых матриц 2 × 2 с целочисленными элементами и определителем 1, в которой элементы вне главной диагонали чётные. В более общем случае понятие конгруэнтной подгруппы может быть определено для арифметических подгрупп алгебраических групп, то есть для тех, для которых существует понятие «целочисленной структуры» и можно определить редукции по модулю целого числа. Существование конгруэнтных подгрупп в арифметической группе обеспечивает наличие у неё множества подгрупп и, в частности, показывает, что группа является остаточно конечной. Важным вопросом, касающимся алгебраической структуры арифметических групп, является проблема конгруэнтных подгрупп, которая спрашивает, являются ли все подгруппы конечного индекса по существу конгруэнтными подгруппами. Конгруэнтные подгруппы матриц 2 × 2 являются фундаментальными объектами в классической теории модулярных форм; современная теория автоморфных форм аналогичным образом использует конгруэнтные подгруппы в более общих арифметических группах.
In mathematics, a congruence subgroup of a matrix group with integer entries is a subgroup defined by congruence conditions on the entries. A very simple example is the subgroup of invertible 2 × 2 integer matrices of determinant 1 in which the off diagonal entries are even. More generally, the notion of congruence subgroup can be defined for arithmetic subgroups of algebraic groups; that is, those for which we have a notion of 'integral structure' and can define reduction maps modulo an integer. The existence of congruence subgroups in an arithmetic group provides it with a wealth of subgroups, in particular it shows that the group is residually finite. An important question regarding the algebraic structure of arithmetic groups is the congruence subgroup problem, which asks whether all subgroups of finite index are essentially congruence subgroups. Congruence subgroups of 2 × 2 matrices are fundamental objects in the classical theory of modular forms; the modern theory of automorphic forms makes a similar use of congruence subgroups in more general arithmetic groups.
Подгруппы соответствия модульной группы
Наиболее простой и интересный случай для изучения подгрупп конгруэнтности — это модульная группа $\mathrm{SL}_2(\mathbb{Z})$.
Основные подгруппы конгруэнтности
Если *n* – целое число, то существует гомоморфизм, индуцированный редукцией по модулю *n*: ℤ → ℤ/*n*ℤ. Главная конгруэнтная подгруппа уровня *n* в ℤ – это ядро гомоморфизма π<sub>*n*</sub>, и обычно обозначается Γ(*n*). Явно она описывается следующим образом:
This definition immediately implies that is a normal subgroup of finite index in 1= \Gamma The strong approximation theorem (in this case an easy consequence of the Chinese remainder theorem) implies that is surjective, so that the quotient is isomorphic to 1= \mathrm{SL} 2(\Z/n\Z) Computing the order of this finite group yields the following formula for the index:
where the product is taken over all prime numbers dividing 1= n
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
Это определение сразу же подразумевает, что Γ(*n*) является нормальной подгруппой конечного индекса в ℤ. Теорема о сильной аппроксимации (в данном случае – простое следствие китайской теоремы об остатках) подразумевает, что π<sub>*n*</sub> сюръективен, так что факторгруппа изоморфна SL<sub>2</sub>(ℤ/*n*ℤ). Вычисление порядка этой конечной группы дает следующую формулу для индекса:
This definition immediately implies that is a normal subgroup of finite index in 1= \Gamma The strong approximation theorem (in this case an easy consequence of the Chinese remainder theorem) implies that is surjective, so that the quotient is isomorphic to 1= \mathrm{SL} 2(\Z/n\Z) Computing the order of this finite group yields the following formula for the index:
where the product is taken over all prime numbers dividing 1= n
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
где произведение берется по всем простым числам, делящим *n*.
This definition immediately implies that is a normal subgroup of finite index in 1= \Gamma The strong approximation theorem (in this case an easy consequence of the Chinese remainder theorem) implies that is surjective, so that the quotient is isomorphic to 1= \mathrm{SL} 2(\Z/n\Z) Computing the order of this finite group yields the following formula for the index:
where the product is taken over all prime numbers dividing 1= n
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
Если *n* = 1, то ограничение π<sub>*n*</sub> на любую конечную подгруппу ℤ инъективно. Это влечет за собой следующий результат:
This definition immediately implies that is a normal subgroup of finite index in 1= \Gamma The strong approximation theorem (in this case an easy consequence of the Chinese remainder theorem) implies that is surjective, so that the quotient is isomorphic to 1= \mathrm{SL} 2(\Z/n\Z) Computing the order of this finite group yields the following formula for the index:
where the product is taken over all prime numbers dividing 1= n
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
Если *n* > 1, то главные конгруэнтные подгруппы Γ(*n*) не содержат элементов конечного порядка (т.е. свободны от кручения). Группа ℤ содержит Γ(*n*) и не свободна от кручения. С другой стороны, её образ в SL<sub>2</sub>(ℤ/*n*ℤ) свободен от кручения, а факторгиперболической плоскости по этой подгруппе является сферой с тремя куспидами.
This definition immediately implies that is a normal subgroup of finite index in 1= \Gamma The strong approximation theorem (in this case an easy consequence of the Chinese remainder theorem) implies that is surjective, so that the quotient is isomorphic to 1= \mathrm{SL} 2(\Z/n\Z) Computing the order of this finite group yields the following formula for the index:
where the product is taken over all prime numbers dividing 1= n
If then the restriction of to any finite subgroup of is injective. This implies the following result:
If then the principal congruence subgroups are torsion free. The group contains and is not torsion free. On the other hand, its image in is torsion free, and the quotient of the hyperbolic plane by this subgroup is a sphere with three cusps.
Нормализаторы подгрупп конгруентности Хекке
Нормализатор в был исследован; одним из результатов 1970-х годов, полученным Жан-Пьером Серром, Эндрю Оггом и Джоном Г. Томпсоном, является то, что соответствующая модульная кривая (поверхность Римана, получаемая как фактор-пространство гиперболической плоскости по отношению к 1 = Γ₀(p)⁺) имеет род ноль (то есть модульная кривая является сферой Римана) тогда и только тогда, когда 1 = p равно 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 или 71. Когда Огг позже узнал о группе монстров, он заметил, что это как раз простые множители порядка группы монстров (1= M), и опубликовал статью, предлагая бутылку виски Jack Daniel's тому, кто сможет объяснить этот факт. Это стало отправной точкой для теории «монстрозного лунного света», объясняющей глубокие связи между теорией модулярных функций и группой монстров.
Арифметические группы
Понятие арифметической группы является обширным обобщением, основанным на фундаментальном примере SL_d(ℤ). В общем случае, для определения требуется полупростая алгебраическая группа, определенная над ℚ, и верное представление ρ, также определенное над ℚ, из G в GL_d. Тогда арифметической группой в G является любая группа Γ, имеющая конечный индекс в стабилизаторе подрешетки конечного индекса в ℤ^d.
Подгруппы конгруэнтности
Пусть Γ — арифметическая группа: для простоты лучше предположить, что Γ ⊂ GL(n, ℤ). Как и в случае с существующими, существуют редукционные морфизмы πₙ: Γ → GL(d, ℤ/nℤ). Основной конгруэнтной подгруппой Γ можно назвать ядро отображения (которое априори может зависеть от представления ρ), а конгруэнтной подгруппой Γ — любую подгруппу, содержащую основную конгруэнтную подгруппу (понятие, не зависящее от представления). Это подгруппы конечного индекса, соответствующие подгруппам конечных групп πₙ(Γ), и уровень определен.
Собственность (τ)
Семья подгрупп конгруэнтности в данной арифметической группе всегда обладает свойством (τ) Любоцкого–Зиммера. Это означает, что постоянная Чигера семейства их графиков косета Шрайера (относительно фиксированного образующего множества для Γ) равномерно ограничена снизу, иными словами, они представляют собой семейство расширяющих графов. Существует также интерпретация в терминах теории представлений: если Γ – решетка в группе Ли G, то свойство (τ) эквивалентно тому, что нетривиальные унитарные представления G, возникающие в пространствах L²(G/Γ), ограничены снизу относительно тривиального представления (в топологии Фелла на унитарном дуале G). Свойство (τ) является ослаблением свойства Каждана (T), которое влечет за собой, что семейство всех подгрупп конечного индекса обладает свойством (τ).
В S-арифметических группах
Если Γ – группа, а S – конечное множество простых чисел, то арифметическая подгруппа Γ определяется как арифметическая подгруппа, но с использованием S вместо ℤ. Основной пример: SLd(ℤ[1/p1, …, 1/pr]). Пусть ΓS – арифметическая группа в алгебраической группе G ⊂ GLd. Если n – целое число, не делящееся ни на одно простое число из S, то все простые числа из S обратимы по модулю n, и из этого следует, что существует морфизм πn: ΓS → GLd(ℤ/nℤ). Таким образом, можно определить подгруппы конгруэнций в ΓS, уровень которых всегда взаимно прост со всеми простыми числами из S.
Let be an arithmetic group in an algebraic group 1= \mathbf G \subset \operatorname{GL} d If is an integer not divisible by any prime in 1= S , then all primes are invertible modulo and it follows that there is a morphism 1= \pi n: \Gamma S \to \mathrm{GL} d(\Z/n\Z) Thus it is possible to define congruence subgroups in 1= \Gamma S , whose level is always coprime to all primes in 1= S .
Подгруппы с конечным индексом в SL2 ((Z))
Подгруппы конгруэнции в являются подгруппами конечного индекса: естественно спросить, исчерпывают ли они все подгруппы конечного индекса в 1= \Gamma. Ответ – однозначное "нет". Этот факт был уже известен Феликсу Кляйну, и существует множество способов продемонстрировать существование бесконечно многих не-конгруэнтных подгрупп конечного индекса. Например: простая группа в ряде композиции факторгруппы 1= \Gamma / \Gamma', где – нормальная подгруппа конгруэнции, должна быть простой группой типа Ли (или циклической), фактически одной из групп для простого числа 1= p. Но для каждого существуют подгруппы конечного индекса, такие, что изоморфна чередующейся группе (например, является эпиморфизмом на любую группу с двумя образующими, в частности, на все чередующиеся группы, и ядра этих эпиморфизмов дают пример). Следовательно, эти группы не могут быть конгруэнтными. Существует эпиморфизм 1= \Gamma(2) \to \Z; для достаточно больших ядро этого эпиморфизма должно быть не-конгруэнтным (один из способов увидеть это – то, что постоянная Чигера графа Шрайера стремится к 0; также существует простое алгебраическое доказательство в духе предыдущего замечания). Количество подгрупп конгруэнции в индекса удовлетворяет 1= \log c N = O \left( (\log N)^2 / \log \log N \right). С другой стороны, количество подгрупп конечного индекса индекса в удовлетворяет 1= N \log N = O(\log a N), поэтому большинство подгрупп конечного индекса должны быть не-конгруэнтными.
The simple group in the composition series of a quotient 1= \Gamma / \Gamma' , where is a normal congruence subgroup, must be a simple group of Lie type (or cyclic), in fact one of the groups for a prime 1= p But for every there are finite index subgroups such that is isomorphic to the alternating group (for example surjects on any group with two generators, in particular on all alternating groups, and the kernels of these morphisms give an example). These groups thus must be non congruence. There is a surjection 1= \Gamma(2) \to \Z ; for large enough the kernel of must be non congruence (one way to see this is that the Cheeger constant of the Schreier graph goes to 0; there is also a simple algebraic proof in the spirit of the previous item). The number of congruence subgroups in of index satisfies 1= \log c N = O \left( (\log N)^2 / \log \log N \right) On the other hand, the number of finite index subgroups of index in satisfies 1= N \log N = O(\log a N) , so most subgroups of finite index must be non congruence.
Отрицательные решения
Предположение Серра утверждает, что решетка в группе Ли ранга один не должна обладать свойством подгруппы конгруэнтности. Существует три семейства таких групп: ортогональные группы 1= \mathrm{SO}(d, 1), d \geqslant 2, унитарные группы и группы (изометрические группы сесквилинейной формы над кватернионами Гамильтона), а также исключительная группа (см. Список простых групп Ли). Текущий статус проблемы о подгруппах конгруэнтности следующий: известно, что она имеет отрицательное решение (подтверждающее предположение) для всех групп с 1= d \neq 7. Доказательство использует тот же аргумент, что и 2, в случае : в общем случае гораздо сложнее построить сюръекцию на 1= \Z, доказательство не является единообразным для всех случаев и не работает для некоторых решеток в размерности 7 из-за феномена триальности. В размерностях 2 и 3, а также для некоторых решеток в более высоких размерностях, применимы аргументы 1 и 3. Известно для многих решеток в , но не для всех (опять же, используя обобщение аргумента 2). Во всех остальных случаях проблема остается открытой.
It is known to have a negative solution (confirming the conjecture) for all groups with 1= d \neq 7 The proof uses the same argument as 2. in the case of : in the general case it is much harder to construct a surjection to 1= \Z , the proof is not at all uniform for all cases and fails for some lattices in dimension 7 due to the phenomenon of triality. In dimensions 2 and 3 and for some lattices in higher dimensions argument 1 and 3 also apply. It is known for many lattices in , but not all (again using a generalisation of argument 2). It is completely open in all remaining cases.
Конгруэнтные группы и группы аделе
Кольцо аделей является ограниченным произведением всех полных по отношению к различным оценкам расширений поля рациональных чисел 1= \Q, то есть
где произведение берется по множеству всех простых чисел, – поле p-адических чисел, и элемент принадлежит ограниченному произведению тогда и только тогда, когда для почти всех простых чисел 1= p , он принадлежит подкольцу p-адических целых чисел. Для любой алгебраической группы над полем рациональных чисел, аделическая алгебраическая группа хорошо определена. Она может быть снабжена канонической топологией, которая, в случае, когда является линейной алгебраической группой, совпадает с топологией как подмножества 1= \mathbb A^m. Конечные аделы являются ограниченным произведением всех неархимедовых расширений (всех p-адических полей). Если – арифметическая группа, то ее конгруэнтные подгруппы характеризуются следующим свойством: является конгруэнтной подгруппой тогда и только тогда, когда ее замыкание является компактной открытой подгруппой (компактность обеспечивается автоматически) и 1= H = \Gamma \cap \overline H. В общем случае группа равна конгруэнтной оболочке в 1= \Gamma, а топология конгруэнтности на является индуцированной топологией как подгруппы 1= \mathbf G(\mathbb A f), в частности, конгруэнтное завершение является ее замыканием в этой группе. Эти замечания также справедливы для 1= S-арифметических подгрупп, заменяя кольцо конечных аделей ограниченным произведением по всем простым числам, не входящим в 1= S. Более общо, можно определить, что значит для подгруппы быть конгруэнтной подгруппой без явной ссылки на фиксированную арифметическую подгруппу, требуя, чтобы она совпадала со своей конгруэнтной оболочкой 1= \overline \Gamma \cap \mathbf G(\Q). Таким образом, становится возможным изучать все конгруэнтные подгруппы одновременно, рассматривая дискретную подгруппу 1= \mathbf G(\Q) \subset \mathbf G(\mathbb A). Это особенно удобно в теории автоморфных форм: например, все современные изложения формулы следа Артура — Сельберга проводятся в этом аделическом контексте.
More generally one can define what it means for a subgroup to be a congruence subgroup without explicit reference to a fixed arithmetic subgroup, by asking that it be equal to its congruence closure 1= \overline \Gamma \cap \mathbf G(\Q) Thus it becomes possible to study all congruence subgroups at once by looking at the discrete subgroup 1= \mathbf G(\Q) \subset \mathbf G(\mathbb A) This is especially convenient in the theory of automorphic forms: for example all modern treatments of the Arthur–Selberg trace formula are done in this adélic setting.