Кіріспе
Жинақ теориясының тұжырымдамасы
Жинақ теориясының математикалық саласында үлкен кардиналдық қасиет – трансфинитті кардиналдық сандардың белгілі бір түрі болып табылады. Мұндай қасиеттері бар кардиналдар, аты айтып тұрғандай, көбінесе өте "үлкен" болады (мысалы, α=ωα шартын қанағаттандыратын ең кішкентай α-дан үлкен). Мұндай кардиналдардың бар екені туралы мәлімдеме жинақ теориясының ең көп қолданылатын аксиоматизациясында, атап айтқанда ZFC-де дәлелдене алмайды, ал мұндай мәлімдемелер ZFC-ден асып түсетін "көптікті" өлшеудің тәсілі ретінде қарастырылуы мүмкін, яғни белгілі бір қажетті нәтижелерді дәлелдеу үшін қаншалықты қосымша болжамдар қабылдау қажет. Басқаша айтқанда, Дана Скотттың сөздерімен айтқанда, оларды "көбірек нәрсе алғыңыз келсе, көбірек болжам жасауыңыз керек" деген фактіні сандық бағалау ретінде қарастыруға болады. ZFC-ден ғана дәлелденетін нәтижелерді гипотезасыз жазуға болады, бірақ егер дәлелдеу басқаша болжамдарды қажет етсе (мысалы, үлкен кардиналдардың болуы), оларды міндетті түрде көрсету керек деген жалпы келісім бар. Бұл жай ғана тілдік конвенция ма, әлде одан да көп нәрсе ме деген мәселе әртүрлі философиялық мектептер арасында дау тудырады (төмендегі Мотивациялар мен эпистемиялық мәртебе бөлімін қараңыз). Үлкен кардиналдық қасиеттің белгілі бір түрін көрсететін аксиома, яғни белгілі бір кардиналдың (немесе олардың көптігінің) бар екенін білдіреді. Көптеген жинақ теориясымен айналысатын ғалымдар қазіргі уақытта қарастырылып жатқан үлкен кардинал аксиомалары ZFC-ге қайшы емес деп санайды. Бұл аксиомалар ZFC-нің дәйектілігін білдіретіндей жеткілікті күшті. Бұл, Гёделдің екінші толық еместік теоремасы бойынша, олардың ZFC-мен дәйектілігі ZFC-де дәлелденбейтінін білдіреді (ZFC дәйекті екендігін болжай отырып). Үлкен кардиналдық қасиеттің нақты анықтамасы туралы жалпы келісім жоқ, бірақ көптеген адамдар үлкен кардиналдық қасиеттер тізіміндегілердің үлкен кардиналдық қасиеттер екендігіне келіседі.
In the mathematical field of set theory, a large cardinal property is a certain kind of property of transfinite cardinal numbers. Cardinals with such properties are, as the name suggests, generally very "large" (for example, bigger than the least α such that α=ωα). The proposition that such cardinals exist cannot be proved in the most common axiomatization of set theory, namely ZFC, and such propositions can be viewed as ways of measuring how "much", beyond ZFC, one needs to assume to be able to prove certain desired results. In other words, they can be seen, in Dana Scott's phrase, as quantifying the fact "that if you want more you have to assume more". There is a rough convention that results provable from ZFC alone may be stated without hypotheses, but that if the proof requires other assumptions (such as the existence of large cardinals), these should be stated. Whether this is simply a linguistic convention, or something more, is a controversial point among distinct philosophical schools (see Motivations and epistemic status below). A is an axiom stating that there exists a cardinal (or perhaps many of them) with some specified large cardinal property. Most working set theorists believe that the large cardinal axioms that are currently being considered are consistent with ZFC. These axioms are strong enough to imply the consistency of ZFC. This has the consequence (via Gödel's second incompleteness theorem) that their consistency with ZFC cannot be proven in ZFC (assuming ZFC is consistent). There is no generally agreed precise definition of what a large cardinal property is, though essentially everyone agrees that those in the list of large cardinal properties are large cardinal properties.
Ішінара анықтама
Кардинал сандардың қасиетінің үлкен кардинал қасиеті болуы үшін қажетті шарт – мұндай кардиналдың бар екені ZF-пен қайшы емес екені белгілі болмауы және мұндай кардинал Κ санауға келмейтін бастапқы ординал болуы керек, онда L<sub>K</sub> ZFC-нің моделі болады. Егер ZFC тұрақты болса, онда ZFC мұндай үлкен кардиналдардың бар екенін білдірмейді.
Мотивация және эпистемиялық мәртебе
Үлкен кардиналдар фон Нейманның V ғаламының контекстінде түсіндіріледі, ол берілген жиынның барлық кіші жиындарын біріктіретін қуат жиыны операциясын трансфинитті қайталау арқылы құрылады. Әдетте, үлкен кардинал аксиомалары сәтсіз болатын модельдерді аксиомалар орындалатын модельдердің ішкі модельдері ретінде табиғи түрде қарастыруға болады. Мысалы, егер қол жетімсіз кардинал болса, онда бірінші осындай кардиналдың биіктігінде "ғаламды кесу" қол жетімсіз кардинал жоқ ғаламды береді. Немесе өлшенетін кардинал болса, онда толық емес, анықталатын қуат жиыны операциясын қайталау Гёдельдің құрастырылатын ғаламын, L-ді береді, ол "өлшенетін кардинал бар" деген тұжырымды қанағаттандырмайды (ол өлшенетін кардиналды ординал ретінде қамтиса да). Осылайша, көптеген жиын теориялықтары ұстанатын белгілі бір көзқарас бойынша (әсіресе Кабала дәстүрінен шабыт алғандар), үлкен кардинал аксиомалары "біз қарастыруға тиіс барлық жиындарды қарастырамыз" дейді, ал олардың жоққа шығарылуы "шектеулі" болып табылады және біз тек олардың кейбіреулерін ғана қарастырамыз дейді. Сонымен қатар, үлкен кардинал аксиомаларының салдары табиғи үлгілерге түседі (Мэддидің "Аксиомаларға сену, II" еңбегін қараңыз). Осы себептерге байланысты, мұндай жиын теориялықтары үлкен кардинал аксиомаларын ZFC кеңейтімдерінің арасында ерекше мәртебеге ие деп санайды, бұл аз түсінікті мотивациясы бар аксиомалармен (мысалы, Мартин аксиомасы) немесе олар интуитивті түрде ықтимал емес деп санайтын аксиомалармен (мысалы, V = L) бөлісілмейді. Бұл топтағы белсенді реалистер қарапайым түрде үлкен кардинал аксиомаларының дұрыс екенін айтады. Бұл көзқарас жиын теориялықтарының арасында бірауыздылықты құрамайды. Кейбір формалистер стандартты жиын теориясының ZFC салдарының зерттелуі деп мәлімдейді, және олар басқа жүйелердің салдарының зерттелуіне қағидаттық қарсылық білдірмесе де, үлкен кардиналдарды ерекше мәртебеге бөліп көрсетуге себеп таппайды. Онтологиялық максимализмнің дұрыс мотивация екенін жоққа шығаратын және тіпті үлкен кардинал аксиомаларының жалған екенін есептейтін реалистер де бар. Соңында, үлкен кардинал аксиомаларының жоққа шығарылуы шектеулі екенін жоққа шығаратындар бар, мысалы, L-де өлшенетін кардинал бар деп сенетін L-де транзитивті жиын моделі болуы мүмкін, тіпті L-нің өзі бұл тұжырымды қанағаттандырмаса да.