Свойства больших кардиналов в теории множеств

Введение

Концепция теории множеств
В математической области теории множеств, большое кардинальное свойство — это определенный вид свойства трансфинитных кардинальных чисел. Кардиналы, обладающие такими свойствами, как следует из названия, обычно очень "велики" (например, больше наименьшего α, для которого α = ωα). Утверждение о существовании таких кардиналов нельзя доказать в наиболее распространенной аксиоматизации теории множеств, а именно ZFC, и такие утверждения можно рассматривать как способы измерения того, насколько "сильнее", чем ZFC, необходимо постулировать, чтобы доказать определенные желаемые результаты. Иными словами, их можно рассматривать, по выражению Даны Скотт, как количественное выражение факта "если вы хотите больше, вы должны постулировать больше". Существует общепринятое правило, что результаты, доказуемые только из ZFC, могут быть сформулированы без предположений, но если доказательство требует дополнительных допущений (таких как существование больших кардиналов), они должны быть явно указаны. Является ли это просто лингвистической конвенцией или чем-то более существенным — предмет споров среди различных философских школ (см. раздел "Мотивации и эпистемический статус" ниже). Аксиома большого кардинала — это аксиома, утверждающая существование кардинала (или, возможно, множества кардиналов), обладающего определенным большим кардинальным свойством. Большинство специалистов по теории множеств полагают, что большие кардинальные аксиомы, которые в настоящее время рассматриваются, согласуются с ZFC. Эти аксиомы достаточно сильны, чтобы доказать непротиворечивость ZFC. Это влечет за собой (в силу второй теоремы о неполноте Гёделя), что их непротиворечивость с ZFC нельзя доказать в ZFC (при условии, что ZFC непротиворечива). Не существует общепринятого точного определения большого кардинального свойства, хотя практически все согласны с тем, что свойства, входящие в список больших кардинальных свойств, действительно являются большими кардинальными свойствами.

Частичное определение

Необходимым условием для того, чтобы свойство кардинальных чисел являлось свойством больших кардиналов, является то, что существование такого кардинала не известно как противоречащее ZF и что такой кардинал κ был бы неисчислимым начальным ординалом, для которого Lκ является моделью ZFC. Если ZFC последовательна, то ZFC не доказывает существование каких-либо таких больших кардиналов.

Мотивация и эпистемический статус

Большие кардиналы рассматриваются в контексте вселенной фон Неймана V, которая строится посредством трансфинитной итерации операции взятия множества степеней, собирающей все подмножества данного множества. Как правило, модели, в которых большие кардинальные аксиомы не выполняются, можно рассматривать как подмодели тех, в которых эти аксиомы выполняются, в некотором естественном смысле. Например, если существует недоступный кардинал, то "отсечение вселенной" на высоте первого такого кардинала дает вселенную, в которой недоступных кардиналов нет. Или, если существует измеримый кардинал, то итерация операции взятия определимого множества степеней, а не полной операции, приводит к конструктивной вселенной Гёделя L, которая не удовлетворяет утверждению "существует измеримый кардинал" (хотя и содержит измеримый кардинал как ординал). Таким образом, с точки зрения, разделяемой многими теоретиками множеств (особенно теми, кто вдохновлен традицией Кабала), большие кардинальные аксиомы "утверждают", что мы рассматриваем все множества, которые "должны" рассматривать, в то время как их отрицания являются "ограничивающими" и говорят о том, что мы рассматриваем лишь некоторые из этих множеств. Кроме того, следствия больших кардинальных аксиом представляются выстроенными в естественные закономерности (см. Maddy, "Believing the Axioms, II"). По этим причинам теоретики множеств склонны считать большие кардинальные аксиомы обладающими предпочтительным статусом среди расширений ZFC, статусом, не разделяемым аксиомами с менее ясной мотивацией (такими как аксиома Мартина) или другими, которые они считают интуитивно маловероятными (такими как V = L). Сторонники реализма в этой группе просто утверждают, что большие кардинальные аксиомы истинны. Эта точка зрения отнюдь не является универсальной среди теоретиков множеств. Некоторые формалисты утверждают, что теория множеств по определению является исследованием следствий ZFC, и хотя они могут не возражать принципиально против изучения следствий других систем, они не видят оснований выделять большие кардиналы как предпочтительные. Есть также реалисты, которые отрицают, что онтологический максимализм является надлежащей мотивацией, и даже полагают, что большие кардинальные аксиомы ложны. И, наконец, есть те, кто отрицает, что отрицания больших кардинальных аксиом являются ограничивающими, указывая на то, что (например) может существовать транзитивная модель множества в L, которая верит в существование измеримого кардинала, даже если сама L не удовлетворяет этому утверждению.

Large cardinals are understood in the context of the von Neumann universe V, which is built up by transfinitely iterating the powerset operation, which collects together all subsets of a given set. Typically, models in which large cardinal axioms fail can be seen in some natural way as submodels of those in which the axioms hold. For example, if there is an inaccessible cardinal, then "cutting the universe off" at the height of the first such cardinal yields a universe in which there is no inaccessible cardinal. Or if there is a measurable cardinal, then iterating the definable powerset operation rather than the full one yields Gödel's constructible universe, L, which does not satisfy the statement "there is a measurable cardinal" (even though it contains the measurable cardinal as an ordinal). Thus, from a certain point of view held by many set theorists (especially those inspired by the tradition of the Cabal), large cardinal axioms "say" that we are considering all the sets we're "supposed" to be considering, whereas their negations are "restrictive" and say that we're considering only some of those sets. Moreover the consequences of large cardinal axioms seem to fall into natural patterns (see Maddy, "Believing the Axioms, II"). For these reasons, such set theorists tend to consider large cardinal axioms to have a preferred status among extensions of ZFC, one not shared by axioms of less clear motivation (such as Martin's axiom) or others that they consider intuitively unlikely (such as V = L). The hardcore realists in this group would state, more simply, that large cardinal axioms are true. This point of view is by no means universal among set theorists. Some formalists would assert that standard set theory is by definition the study of the consequences of ZFC, and while they might not be opposed in principle to studying the consequences of other systems, they see no reason to single out large cardinals as preferred. There are also realists who deny that ontological maximalism is a proper motivation, and even believe that large cardinal axioms are false. And finally, there are some who deny that the negations of large cardinal axioms are restrictive, pointing out that (for example) there can be a transitive set model in L that believes there exists a measurable cardinal, even though L itself does not satisfy that proposition.