Жалпы жағдай – алгебралық геометриядағы нүктелер жиынының ерекше емеуін білдіретін маңызды ұғым. Геометриялық объектілердің қалыпты жағдайы, SEO сөздері.
Ағылшыншамен салыстырыңыз: абзацты басыңыз — түпнұсқа терезеде ашылады. Абзац астындағы EN түймесі оны мәтін ішінде көрсетеді.
Мазмұны
Кіріспе
Алгебралық геометриядағы ұғым
Concept in algebraic geometry
Алгебралық геометрия және есептеу геометриясында жалпы позиция – нүктелер жиынтығы немесе басқа геометриялық объектілер үшін жалпылықтың өлшемі. Бұл, мүмкін болатын ерекше немесе кездейсоқ жағдайларға қарағанда, қалыпты жағдайды білдіреді, мұндай жағдайлар ерекше позиция деп аталады. Оның нақты мағынасы әртүрлі контексттерде өзгеше болуы мүмкін. Мысалы, көбінесе, жазықтықтағы екі түзу бір нүктеде қиылысады (олар параллель немесе бір-бірімен сәйкес келмейді). Сондай-ақ, "екі жалпы түзу нүктеде қиылысады" делінеді, бұл жалпы нүкте ұғымы арқылы формальды түрде бекітіледі. Сол сияқты, жазықтықтағы үш жалпы нүкте бір түзу бойында жатпайды; егер үш нүкте бір түзу бойында жатса (тіпті екеуі бірдей болса), онда бұл дегенеративті жағдай болып саналады. Бұл ұғым математикада және оның қолданбаларында маңызды, себебі дегенеративті жағдайларға ерекше қарау қажет болуы мүмкін; мысалы, жалпы теоремаларды тұжырымдағанда немесе олардың нақты тұжырымдамаларын бергенде, сондай-ақ компьютерлік бағдарламалар жазғанда (жалпы күрделілік туралы қараңыз).
In algebraic geometry and computational geometry, general position is a notion of genericity for a set of points, or other geometric objects. It means the general case situation, as opposed to some more special or coincidental cases that are possible, which is referred to as special position. Its precise meaning differs in different settings. For example, generically, two lines in the plane intersect in a single point (they are not parallel or coincident). One also says "two generic lines intersect in a point", which is formalized by the notion of a generic point. Similarly, three generic points in the plane are not collinear; if three points are collinear (even stronger, if two coincide), this is a degenerate case. This notion is important in mathematics and its applications, because degenerate cases may require an exceptional treatment; for example, when stating general theorems or giving precise statements thereof, and when writing computer programs (see generic complexity).
Жалпы сызықтық орналасуы
d өлшемді аффиндік кеңістіктегі (d өлшемді Евклид кеңістігі – әдеттегі мысал) нүктелер жиыны жалпы сызықтық жағдайда (немесе просто жалпы жағдайда) болады, егер олардың k саны 1=k = 2, 3, ..., d + 1 үшін (k - 2) өлшемді жазықтықта жатпаса. Бұл шарттарда маңызды артықшылық бар, себебі егер шарт k0 үшін дұрыс болса, онда ол 2 ≤ k ≤ k0 аралығындағы барлық k үшін де дұрыс болуы керек. Осылайша, d өлшемді аффиндік кеңістікте кем дегенде d + 1 нүктесі бар жиынтық жалпы жағдайда болуы үшін, ешбір гипержазықтықта d нүктеден артық болмауы жеткілікті – яғни, нүктелер қажеттіліктен артық сызықтық қатынастарды қанағаттандырмауы керек. Жалпы сызықтық жағдайдағы ең көп d + 1 нүктеден тұратын жиынтық аффиндік тәуелсіз деп аталады (бұл векторлардың сызықтық тәуелсіздігінің аффиндік аналогы, немесе дәлірек айтқанда, максималды ранг), ал аффиндік d кеңістігіндегі жалпы сызықтық жағдайдағы d + 1 нүкте аффиндік негіз болып табылады. Толық ақпарат алу үшін аффиндік түрлендіру қараңыз. Сол сияқты, n өлшемді векторлық кеңістіктегі n вектор сызықтық тәуелсіз болады, егер және тек қана егер олар проективтік кеңістікте (n - 1 өлшемді) анықтайтын нүктелер жалпы сызықтық жағдайда болса. Егер нүктелер жиыны жалпы сызықтық жағдайда болмаса, ол дегенеративті жағдай немесе дегенеративті конфигурация деп аталады, бұл олардың міндетті түрде орындалмауы мүмкін сызықтық қатынасты қанағаттандыратынын білдіреді. Маңызды қолданысы – жазықтықта бес нүкте кониканы анықтайды, егер бұл нүктелер жалпы сызықтық жағдайда болса (үш нүкте бір түзуде жатпаса).
A set of points in a d dimensional affine space (d dimensional Euclidean space is a common example) is in general linear position (or just general position) if no k of them lie in a (k − 2) dimensional flat for 1=k = 2, 3, , d + 1. These conditions contain considerable redundancy since, if the condition holds for some value k0 then it also must hold for all k with 2 ≤ k ≤ k0. Thus, for a set containing at least d + 1 points in d dimensional affine space to be in general position, it suffices that no hyperplane contains more than d points – i. e. the points do not satisfy any more linear relations than they must. A set of at most d + 1 points in general linear position is also said to be affinely independent (this is the affine analog of linear independence of vectors, or more precisely of maximal rank), and d + 1 points in general linear position in affine d space are an affine basis. See affine transformation for more. Similarly, n vectors in an n dimensional vector space are linearly independent if and only if the points they define in projective space (of dimension n − 1) are in general linear position. If a set of points is not in general linear position, it is called a degenerate case or degenerate configuration, which implies that they satisfy a linear relation that need not always hold. A fundamental application is that, in the plane, five points determine a conic, as long as the points are in general linear position (no three are collinear).
Жалпы алғанда
Бұл анықтаманы одан әрі жалпылауға болады: алгебралық қатынастардың (мысалы, коникалық қисықтардың) белгіленген класына қатысты жалпы орналасудағы нүктелер туралы айтуға болады. Алгебралық геометрияда мұндай жағдай жиі кездеседі, себебі нүктелер олар арқылы өтетін қисықтарға тәуелсіз шарттар қоюы керек. Мысалы, бес нүкте кониканы анықтайды, бірақ жалпы жағдайда алты нүкте коникада жатпайды, сондықтан коникаларға қатысты жалпы орналасуда болу үшін коникада алты нүкте болмауы керек. Жалпы орналасуы бирегулярлық түрлендірулер астында сақталады – егер кескін нүктелері бір қатынасты қанағаттандырса, онда бирегулярлық түрлендіруде бұл қатынас бастапқы нүктелерге кері қайтарылуы мүмкін. Маңыздысы, Веронез түрлендіруі бирегулярлы болып табылады; Веронез түрлендіруі астындағы нүктелер сол нүктеде d дәрежелі көпмүшені есептеуге сәйкес келеді, бұл жалпы орналасудағы нүктелер олар арқылы өтетін сорттарға тәуелсіз сызықтық шарттар қояды деген ұғымды ресмилендіреді. Жалпы орналасудың негізгі шарты – нүктелер қажеттіден төмен дәрежедегі субварианттарға түспеуі керек; жазықтықта екі нүкте бірдей болмауы керек, үш нүкте бір түзуге түспеуі керек, алты нүкте коникаға түспеуі керек, он нүкте кубикаға түспеуі керек, және осыған ұқсас жоғары дәрежелерде де. Дегенмен, бұл жеткіліксіз. Тоғыз нүкте кубиканы анықтаса, кубикаларға қатысты тоғыз нүктенің ерекше конфигурациялары бар, атап айтқанда екі кубиканың қиылысы. Екі кубиканың қиылысы, Безу теоремасы бойынша, нүктелерден тұрады, және ерекше болып табылады, себебі жалпы орналасудағы тоғыз нүкте бірегей кубикада орналасады, ал егер олар екі кубикада орналасса, олар шын мәнінде бір параметрлі сызықтық жүйедегі (қарындаш) кубикаларда орналасады, олардың теңдеулері екі кубиканың теңдеулерінің проективті сызықтық комбинациялары болып табылады. Осылайша, мұндай нүктелер жиынтығы оларды қамтитын кубикаларға күткеннен бір шартты аз қояды және сәйкесінше қосымша шектеуді қанағаттандырады, атап айтқанда Кейли-Бахарах теоремасы, онда сегіз нүктесі бар кез келген кубика міндетті түрде тоғызыншы нүктені қамтиды. Осыған ұқсас мәлімдемелер жоғары дәрежелерде де қолданылады. Жазықтықтағы немесе алгебралық қисықтағы нүктелер үшін жалпы орналасу ұғымы тұрақты бөлгіш ұғымы арқылы алгебралық түрде дәлделеді және байланысты сызық бунделінің жоғары кохомологиялық топтарының жоғалуымен өлшенеді (формальды түрде, керіленетін бундель). Терминология көрсеткендей, бұл интуитивті геометриялық суреттен әлдеқайда техникалық, қиылысу санының формальды анықтамасы күрделі алгебраны қалай қажет ететіндігіне ұқсас. Бұл анықтама жоғары өлшемдерде гипербеттерге (кодименсиясы 1-ге тең субварианттарға) жалпыланады, нүктелер жиынтығына емес, ал тұрақты бөлгіштер супербай бөлгіштермен салыстырылады, бұл Риман-Рох теоремасында талқыланғандай. Ескеріңіз, жалпы орналасудағы барлық нүктелер проективті түрде эквивалентті емес, бұл әлдеқайда күшті шарт; мысалы, тура сызықтағы кез келген k ерекше нүкте жалпы орналасуда болады, бірақ проективті түрлендірулер тек 3 транзитивті, ал 4 нүктенің инварианты қиылысу қатынасы болып табылады.
This definition can be generalized further: one may speak of points in general position with respect to a fixed class of algebraic relations (e. g. conic sections). In algebraic geometry this kind of condition is frequently encountered, in that points should impose independent conditions on curves passing through them. For example, five points determine a conic, but in general six points do not lie on a conic, so being in general position with respect to conics requires that no six points lie on a conic. General position is preserved under biregular maps – if image points satisfy a relation, then under a biregular map this relation may be pulled back to the original points. Significantly, the Veronese map is biregular; as points under the Veronese map corresponds to evaluating a degree d polynomial at that point, this formalizes the notion that points in general position impose independent linear conditions on varieties passing through them. The basic condition for general position is that points do not fall on subvarieties of lower degree than necessary; in the plane two points should not be coincident, three points should not fall on a line, six points should not fall on a conic, ten points should not fall on a cubic, and likewise for higher degree. This is not sufficient, however. While nine points determine a cubic, there are configurations of nine points that are special with respect to cubics, namely the intersection of two cubics. The intersection of two cubics, which is points (by Bézout's theorem), is special in that nine points in general position are contained in a unique cubic, while if they are contained in two cubics they in fact are contained in a pencil (1 parameter linear system) of cubics, whose equations are the projective linear combinations of the equations for the two cubics. Thus such sets of points impose one fewer condition on cubics containing them than expected, and accordingly satisfy an additional constraint, namely the Cayley–Bacharach theorem that any cubic that contains eight of the points necessarily contains the ninth. Analogous statements hold for higher degree. For points in the plane or on an algebraic curve, the notion of general position is made algebraically precise by the notion of a regular divisor, and is measured by the vanishing of the higher sheaf cohomology groups of the associated line bundle (formally, invertible sheaf). As the terminology reflects, this is significantly more technical than the intuitive geometric picture, similar to how a formal definition of intersection number requires sophisticated algebra. This definition generalizes in higher dimensions to hypersurfaces (codimension 1 subvarieties), rather than to sets of points, and regular divisors are contrasted with superabundant divisors, as discussed in the Riemann–Roch theorem for surfaces. Note that not all points in general position are projectively equivalent, which is a much stronger condition; for example, any k distinct points in the line are in general position, but projective transformations are only 3 transitive, with the invariant of 4 points being the cross ratio.
Түрлі геометриялар
Әр түрлі геометриялар геометриялық шектеулердің әртүрлі түсініктерін қалыптастыруға мүмкіндік береді. Мысалы, шеңбер – Эвклид геометриясында мағыналы ұғым, бірақ аффиндік түзулі геометрияда немесе проективті геометрияда емес, онда шеңберлерді эллипстен ажырату мүмкін емес, себебі шеңберді эллипс түріне сығуға болады. Сол сияқты, парабола аффиндік геометриядағы ұғым, бірақ проективті геометрияда емес, онда парабола кониканың бір түрі ғана. Алгебралық геометрияда ең көп қолданылатыны – проективті геометрия, ал аффиндік геометрия маңызды болғанымен, одан әлдеқайда аз қолданылады. Демек, Эвклид геометриясында үш бір түзу сызықта жатпайтын нүкте шеңберді анықтайды (олар құрайтын үшбұрыштың сырттай шеңбері ретінде), бірақ әдеттегі төрт нүкте анықтамайды (олар тек циклдік төртбұрыштар үшін ғана анықтайды), сондықтан "шеңберлерге қатысты жалпы жағдай" ұғымы, атап айтқанда "төрт нүкте бір шеңберде жатпауы" ұғымы мағыналы. Ал проективті геометрияда керісінше, шеңберлер коникалардан ерекшеленбейді, ал бес нүкте кониканы анықтайды, сондықтан "шеңберлерге қатысты жалпы позиция" деген проективті ұғым жоқ.
Different geometries allow different notions of geometric constraints. For example, a circle is a concept that makes sense in Euclidean geometry, but not in affine linear geometry or projective geometry, where circles cannot be distinguished from ellipses, since one may squeeze a circle to an ellipse. Similarly, a parabola is a concept in affine geometry but not in projective geometry, where a parabola is simply a kind of conic. The geometry that is overwhelmingly used in algebraic geometry is projective geometry, with affine geometry finding significant but far less use. Thus, in Euclidean geometry three non collinear points determine a circle (as the circumcircle of the triangle they define), but four points in general do not (they do so only for cyclic quadrilaterals), so the notion of "general position with respect to circles", namely "no four points lie on a circle" makes sense. In projective geometry, by contrast, circles are not distinct from conics, and five points determine a conic, so there is no projective notion of "general position with respect to circles".
Басқа контексттер
Кесілу теориясында, алгебралық геометрияда да, геометриялық топологияда да трансверсалдылықтың ұқсас ұғымы қолданылады: әдеттегі субварианттар көлденең қиылысады, яғни көптігі 1-ге тең, жанаспай немесе жоғары ретті қиылыстарға ие болмайды.
In intersection theory, both in algebraic geometry and in geometric topology, the analogous notion of transversality is used: subvarieties in general intersect transversally, meaning with multiplicity 1, rather than being tangent or other, higher order intersections.
Ұшақтағы Делоне үшбұрыштарының жалпы орны
Voronoi кескіндері мен Delaunay үшбұрыштарын жазықтықта талқылағанда, жазықтықтағы нүктелер жиынтығы егер олардың төртеуі бір шеңберде жатпаса және үшеуі бір түзуде болмаса, жалпы орналасқан деп есептеледі. Delaunay үшбұрышын дөңгелек қабықшаның төменгі жартысына байланыстыратын стандартты көтеру түрлендіруі (яғни, әрбір нүкте p-ге |p|2-ға тең қосымша координата беру) жазықтық көрінісімен байланысты екенін көрсетеді: Төрт нүкте бір шеңберде жатады немесе олардың үшеуі коллинеар болады, дәл сол кезде олардың көтерілген нүсқалары жалпы сызықтық жағдайда болмайды.
When discussing Voronoi tessellations and Delaunay triangulations in the plane, a set of points in the plane is said to be in general position only if no four of them lie on the same circle and no three of them are collinear. The usual lifting transform that relates the Delaunay triangulation to the bottom half of a convex hull (i. e., giving each point p an extra coordinate equal to |p|2) shows the connection to the planar view: Four points lie on a circle or three of them are collinear exactly when their lifted counterparts are not in general linear position.
Қысқаша айтқанда: конфигурациялық кеңістіктер
Абстрактілі тұрғыдан алғанда, жалпы позиция – конфигурациялық кеңістіктің типтік қасиеттерін талқылау болып табылады; мұндағы типтік қасиеттер дегеніміз – конфигурациялық кеңістіктің типтік нүктесінде немесе, эквивалентті түрде, Зариски ашық жиынында орындалатын қасиеттер. Бұл ұғым шамамендік теориядағы типтік ұғыммен сәйкес келеді, яғни конфигурациялық кеңістіктің дерлік барлық жерінде немесе, эквивалентті түрде, кездейсоқ таңдалған нүктелердің дерлік сөзсіз (1-ге жуық ықтималдықпен) жалпы позицияда болатынын білдіреді.
In very abstract terms, general position is a discussion of generic properties of a configuration space; in this context one means properties that hold on the generic point of a configuration space, or equivalently on a Zariski open set. This notion coincides with the measure theoretic notion of generic, meaning almost everywhere on the configuration space, or equivalently that points chosen at random will almost surely (with probability 1) be in general position.