Общее положение в алгебраической геометрии

Введение

Понятие в алгебраической геометрии

В алгебраической геометрии и вычислительной геометрии, общее положение — это понятие общности для множества точек или других геометрических объектов. Оно означает типичную ситуацию, в отличие от более специальных или случайных случаев, которые возможны и называются особым положением. Точное значение этого понятия различается в зависимости от контекста. Например, как правило, две прямые на плоскости пересекаются в единственной точке (они не параллельны и не совпадают). Также говорят, что "две точки в общем положении пересекаются в точке", что формализуется понятием общей точки. Аналогично, три точки в общем положении на плоскости не лежат на одной прямой; если три точки коллинеарны (и тем более, если две из них совпадают), то это вырожденный случай. Это понятие важно в математике и её приложениях, поскольку вырожденные случаи могут требовать особого рассмотрения; например, при формулировании общих теорем или при их точной формулировке, а также при написании компьютерных программ (см. общую сложность).

Общее линейное положение

Набор точек в d-мерном аффинном пространстве (d-мерное евклидово пространство является распространенным примером) находится в общем линейном положении (или просто в общем положении), если никакие k точек из них не лежат в (k − 2)-мерной плоскости для 2 ≤ k ≤ d + 1. Эти условия содержат значительную избыточность, поскольку, если условие выполняется для некоторого значения k₀, то оно также должно выполняться для всех k с 2 ≤ k ≤ k₀. Таким образом, для того чтобы множество, содержащее по меньшей мере d + 1 точку в d-мерном аффинном пространстве, находилось в общем положении, достаточно, чтобы никакая гиперплоскость не содержала более d точек, то есть точки не удовлетворяют никаким линейным соотношениям, кроме необходимых. Множество, состоящее из не более d + 1 точки в общем линейном положении, также называется аффинно независимым (это аффинный аналог линейной независимости векторов, или, точнее, максимального ранга), а d + 1 точек в общем линейном положении в аффинном d-пространстве образуют аффинный базис. Подробнее см. в статье об аффинном преобразовании. Аналогично, n векторов в n-мерном векторном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда точки, которые они определяют в проективном пространстве (размерности n − 1), находятся в общем линейном положении. Если набор точек не находится в общем линейном положении, он называется вырожденным случаем или вырожденной конфигурацией, что означает, что точки удовлетворяют линейному соотношению, которое не всегда должно выполняться. Важным применением является то, что в плоскости пять точек определяют коническое сечение, при условии, что точки находятся в общем линейном положении (никакие три из них не лежат на одной прямой).

Более общие

Это определение можно обобщить еще дальше: можно говорить о точках в общем положении относительно фиксированного класса алгебраических соотношений (например, конических сечений). В алгебраической геометрии этот вид условий часто встречается, поскольку точки должны накладывать независимые ограничения на кривые, проходящие через них. Например, пять точек определяют конику, но в общем случае шесть точек не лежат на конике, поэтому для нахождения в общем положении относительно коник требуется, чтобы на конике не лежало шесть точек. Общее положение сохраняется при бирегулярных отображениях — если образы точек удовлетворяют некоторому соотношению, то при бирегулярном отображении это соотношение можно перенести на исходные точки. Важно отметить, что отображение Веронезе является бирегулярным; поскольку точки под отображением Веронезе соответствуют вычислению многочлена степени d в этой точке, это формализует представление о том, что точки в общем положении накладывают независимые линейные ограничения на многообразия, проходящие через них. Основное условие для общего положения состоит в том, что точки не должны лежать на подмногообразиях степени, меньшей необходимой; на плоскости две точки не должны совпадать, три точки не должны лежать на одной прямой, шесть точек не должны лежать на конике, десять точек не должны лежать на кубике, и так далее для многообразий более высокой степени. Однако этого недостаточно. Хотя девять точек определяют кубику, существуют конфигурации из девяти точек, которые являются особыми относительно кубик, а именно — пересечение двух кубик. Пересечение двух кубик состоит из точек (по теореме Безу), и оно является особым, поскольку девять точек в общем положении содержатся в единственной кубике, в то время как если они содержатся в двух кубиках, то на самом деле они содержатся в пучке (1-параметрической линейной системе) кубик, уравнения которых являются проективными линейными комбинациями уравнений двух кубик. Таким образом, такие наборы точек накладывают на кубики, содержащие их, на одно ограничение меньше, чем ожидалось, и, следовательно, удовлетворяют дополнительному условию, а именно теореме Кейли — Бакараха, согласно которой любая кубика, содержащая восемь точек, обязательно содержит и девятую. Аналогичные утверждения справедливы для многообразий более высокой степени. Для точек на плоскости или на алгебраической кривой понятие общего положения становится алгебраически точным благодаря понятию регулярного делителя, и измеряется исчезновением высших групп когомологий пучка, связанного с линейным расслоением (формально — инвертируемым пучком). Как показывает терминология, это значительно сложнее, чем интуитивно понятная геометрическая картина, подобно тому, как формальное определение числа пересечений требует развитой алгебры. Это определение обобщается на более высокие размерности для гиперповерхностей (подмногообразий коразмерности 1), а не для множеств точек, и регулярные делители противопоставляются сверхдостаточным делителям, как обсуждается в теореме Римана — Роха для поверхностей. Следует отметить, что не все точки в общем положении проективно эквивалентны, что является гораздо более сильным условием; например, любые k различных точек на прямой находятся в общем положении, но проективные преобразования лишь 3-транзитивны, при этом инвариантом четырех точек является двойное отношение.

This definition can be generalized further: one may speak of points in general position with respect to a fixed class of algebraic relations (e. g. conic sections). In algebraic geometry this kind of condition is frequently encountered, in that points should impose independent conditions on curves passing through them. For example, five points determine a conic, but in general six points do not lie on a conic, so being in general position with respect to conics requires that no six points lie on a conic. General position is preserved under biregular maps – if image points satisfy a relation, then under a biregular map this relation may be pulled back to the original points. Significantly, the Veronese map is biregular; as points under the Veronese map corresponds to evaluating a degree d polynomial at that point, this formalizes the notion that points in general position impose independent linear conditions on varieties passing through them. The basic condition for general position is that points do not fall on subvarieties of lower degree than necessary; in the plane two points should not be coincident, three points should not fall on a line, six points should not fall on a conic, ten points should not fall on a cubic, and likewise for higher degree. This is not sufficient, however. While nine points determine a cubic, there are configurations of nine points that are special with respect to cubics, namely the intersection of two cubics. The intersection of two cubics, which is points (by Bézout's theorem), is special in that nine points in general position are contained in a unique cubic, while if they are contained in two cubics they in fact are contained in a pencil (1 parameter linear system) of cubics, whose equations are the projective linear combinations of the equations for the two cubics. Thus such sets of points impose one fewer condition on cubics containing them than expected, and accordingly satisfy an additional constraint, namely the Cayley–Bacharach theorem that any cubic that contains eight of the points necessarily contains the ninth. Analogous statements hold for higher degree. For points in the plane or on an algebraic curve, the notion of general position is made algebraically precise by the notion of a regular divisor, and is measured by the vanishing of the higher sheaf cohomology groups of the associated line bundle (formally, invertible sheaf). As the terminology reflects, this is significantly more technical than the intuitive geometric picture, similar to how a formal definition of intersection number requires sophisticated algebra. This definition generalizes in higher dimensions to hypersurfaces (codimension 1 subvarieties), rather than to sets of points, and regular divisors are contrasted with superabundant divisors, as discussed in the Riemann–Roch theorem for surfaces. Note that not all points in general position are projectively equivalent, which is a much stronger condition; for example, any k distinct points in the line are in general position, but projective transformations are only 3 transitive, with the invariant of 4 points being the cross ratio.

Различные геометрии

Различные геометрии допускают различные представления о геометрических ограничениях. Например, понятие окружности имеет смысл в евклидовой геометрии, но не в аффинной линейной или проективной геометрии, где окружности нельзя отличить от эллипсов, поскольку окружность можно деформировать в эллипс. Аналогично, парабола — это понятие в аффинной геометрии, но не в проективной геометрии, где парабола является лишь одним из видов конического сечения. Проективная геометрия является преобладающей в алгебраической геометрии, в то время как аффинная геометрия находит значительное, но гораздо менее широкое применение. Таким образом, в евклидовой геометрии три неколлинеарные точки определяют окружность (как описанную окружность треугольника, который они задают), но четыре точки в общем случае не определяют окружность (это возможно только для точек, лежащих на одной окружности), поэтому понятие "общего положения относительно окружностей", а именно "не существует четырех точек, лежащих на одной окружности", имеет смысл. В проективной геометрии, напротив, окружности не отличаются от конических сечений, и пять точек определяют коническое сечение, поэтому понятия "общего положения относительно окружностей" в проективной геометрии не существует.

Другие контексты

В теории пересечений, как в алгебраической геометрии, так и в геометрической топологии, используется аналогичное понятие поперечности: подмногообразия в общем случае пересекаются поперечно, то есть с кратностью 1, а не касательно или другими пересечениями более высокого порядка.

Общее положение для треугольников Делоне в плоскости

При обсуждении диаграмм Вороного и триангуляции Делоне на плоскости, множество точек на плоскости называется находящимся в общем положении, если никакие четыре из них не лежат на одной окружности и никакие три из них не являются коллинеарными. Стандартное преобразование подъема, связывающее триангуляцию Делоне с нижней половиной выпуклой оболочки (то есть, присваивающее каждой точке p дополнительную координату, равную |p|²), демонстрирует связь с планарным представлением: четыре точки лежат на окружности или три из них коллинеарны тогда и только тогда, когда их поднятые аналоги не находятся в общем линейном положении.

Абстрактно: конфигурационные пространства

В очень абстрактном смысле, общее положение — это обсуждение общих свойств пространства конфигураций; в этом контексте под этим подразумеваются свойства, которые выполняются для типичной точки пространства конфигураций, или, эквивалентно, на открытом множестве Зариски. Это понятие совпадает с понятием «типичный» в теории меры, что означает почти всюду на пространстве конфигураций, или, эквивалентно, что точки, выбранные случайным образом, почти наверняка (с вероятностью 1) окажутся в общем положении.