Кіріспе

Математикалық құрылымнан тармақтану

Геометрияда тармақтану – бұл «ағаштарға бөліну», мысалы, комплекс сандар үшін квадрат түбір функциясының екі тармағы бар, олар белгісімен ерекшеленеді. Бұл термин кері перспективадан да (тармақтардың бірігуі) қолданылады, мысалы, жабын картасы кеңістіктің бір нүктесінде дегенерацияға ұшырағанда, карталаудың талшықтарының құлауымен.

Күрделі талдауда

Кешенді талдауда негізгі модель күрделі жазықтықтағы z → zn бейнелеуі, z = 0 нүктесіне жақын қарастырылуы мүмкін. Бұл Риман беттері теориясындағы n реттік тармақталудың стандартты жергілікті бейнесі болып табылады. Мысалы, бұл Риман-Хурвиц формуласында бейнелеулердің родқа (genus) тигізетін әсерін сипаттауда кездеседі.

Алгебралық топологияда

Қаптама картада Эйлер-Понкаре сипаттамасы парақтар санына көбейтілуі керек; демек, тармақталуды одан азайту арқылы анықтауға болады. z → zn бейнелеуі оны жергілікті үлгі ретінде көрсетеді: егер 0-ді естен шығарсақ, мысалы, 0 < |z| < 1 болса, гомотопия тұрғысынан қарағанда, шеңбер n-ші дәрежелі бейнелеу арқылы өзіне бейнеленеді (Эйлер-Понкаре сипаттамасы 0), бірақ бүкіл диск үшін Эйлер-Понкаре сипаттамасы 1-ге тең, ал n – 1 – «жоғалған» нүктелер, себебі n парақ z = 0 нүктесінде бірігеді. Геометриялық тұрғыдан алғанда, тармақталу – бұл екінші кодименсияда болатын құбылыс (мысалы, түйін теориясы және монодромия); нақты кодименсия екі болғандықтан, ол күрделі кодименсия бірге тең келеді, сондықтан жергілікті күрделі мысал жоғары өлшемді күрделі көптүрліліктер үшін үлгі болып табылады. Күрделі талдауда, парақтар бір айнымалыдағы сызық бойымен немесе жалпы жағдайда бір кодименсиялы кеңістікте жай ғана бүктеле алмайды. Тармақталу жиыны (базадағы тармақталу локусы, жоғарыдағы екі реттік нүктелер жиыны) қоршаған көптүрліліктен екі нақты өлшеммен кем болады, сондықтан ол оны жергілікті түрде екі «жаққа» бөлмейді – тармақталу локусын айналып өтетін жолдар болады, дәл осы мысалдағыдай. Алгебралық геометрияда, кез келген өріс бойынша, аналогия бойынша, бұл алгебралық кодименсияда да орын алады.

Рационалдық сандардың алгебралық кеңейтулерінде

Алгебралық сандар теориясында тармақтану — кеңейтудегі жай идеалдың, бірнеше қайталанумен жай идеалдарға жіктелуі. Яғни, алгебралық сан өрісінің бүтін сандар сақинасын және оның жай идеалын қарастырайық. Өріс кеңейтуі үшін біз бүтін сандар сақинасын (яғни, сақинаның интегралды жабылуын) және оның идеалын қарастырамыз. Бұл идеал жай болуы мүмкін немесе болмауы мүмкін, бірақ шекті жағдайда, ол жай идеалдарға жіктеледі:

мұнда — сақинаның әртүрлі жай идеалдары. Егер кейбір үшін болса, онда жай идеал тармақталады; әйтпесе, тармақталмайды. Басқаша айтқанда, егер тармақталу индексі кемінде біреуден артық болса, онда тармақталады. Тармақталу, нөлдік емес нильпотент элементтері бар екендігімен де сипатталады: ол шекті өрістердің көбейтіндісі емес. Риман беттерімен байланысты осы құбылысты Рихард Дедекинд пен Генрих М. Вебер 19 ғасырда көрсеткен. Тармақталу салыстырмалы дискриминант арқылы және салыстырмалы айырма арқылы кодталады. Біріншісі — сақинаның идеалы, және егер және тек егер сақинаны бөлетін қандай да бір идеал тармақталса, ғана оған бөлінеді. Екіншісі — сақинаның идеалы, және ол жай идеалға тек қана тармақталғанда бөлінеді. Егер тармақталу индекстерінің барлығы қалдық сипаттамасына жай болса, онда тармақталу жай, әйтпесе — жабайы. Бұл шарт Галуа модульдері теориясында маңызды. Дедекинд домендерінің шекті жай кеңейтуі жай болады, егер және тек егер із суръективті болса.

Жергілікті салаларда

Сандық өрістердегі тармақтануды егжей-тегжейлі талдау p-адық сандардың кеңейтулерін пайдалану арқылы жүргізілуі мүмкін, себебі бұл жергілікті мәселе. Осы жағдайда Галуа кеңейтулері үшін тармақтанудың сандық өлшемі анықталады, негізінен Галуа тобының метрикаға қатысты өріс элементтерін қаншалықты жылжытатыны сұрақтары арқылы. Тармақтану топтарының тізбегі анықталады, олар (басқа нәрселермен қатар) жабайы (жайылмаған) тармақтануды нақтылайды. Бұл геометриялық аналогтан асып түседі.

Алгебрада

Бағалау теориясында бағалаудың тармақтану теориясы бір өріс K-нің бағалауын, K-нің кеңейтім өрісіне кеңейтуді зерттейді. Бұл алгебралық сандар теориясы, жергілікті өрістер және Дедекинд домендеріндегі ұғымдарды жалпылайды.

Алгебралық геометрияда

Алгебралық геометрияда да бұтақталмаған морфизмнің сәйкес ұғымы бар. Ол эталь морфизмдерін анықтауға қызмет етеді. болсын – схемалардың морфизмі. Квазикогерентті шоқтардың тірегі – морфизмнің бұтақтану локусы деп аталады, ал бұтақтану локусының бейнесі – бұтақтану локусы деп аталады. Егер біз оны формальды түрде бұтақталмаған деп айтсақ және егер ол жергілікті шекті түрде берілген болса, онда оны бұтақталмаған деп айтамыз (қ. ).