Введение

Разветвление математической структуры

В геометрии разветвление означает «разветвление», как, например, функция квадратного корня для комплексных чисел может рассматриваться как имеющая две ветви, различающиеся знаком. Этот термин также используется и с обратной точки зрения (ветви, сходящиеся вместе), например, когда покрывающее отображение вырождается в точке пространства, что приводит к коллапсу волокон этого отображения.

В сложном анализе

В комплексном анализе в качестве базовой модели можно рассматривать отображение z → zn в комплексной плоскости в окрестности z = 0. Это стандартная локальная картина в теории поверхностей Римана, описывающая разветвление порядка n. Она возникает, например, в формуле Римана — Гурвица при рассмотрении влияния отображений на род.

В алгебраической топологии

На карте покрытия характеристика Эйлера — Пуанкаре должна умножаться на число листов; следовательно, разветвление можно обнаружить по некоторому уменьшению этого значения. Отображение z → zn демонстрирует это как локальную картину: если исключить 0, рассматривая, например, 0 < |z| < 1, то с точки зрения гомотопии мы имеем окружность, отображаемую на себя n-й степенью (характеристика Эйлера — Пуанкаре равна 0), но для всего диска характеристика Эйлера — Пуанкаре равна 1, а n – 1 — это «потерянные» точки, поскольку n листов сходятся в точке z = 0. В геометрических терминах разветвление — это явление, происходящее в кодименсии два (как в теории узлов и монодромии); поскольку реальная кодименсия два соответствует комплексной кодименсии один, локальный комплексный пример задает образец для комплексно-многомерных многообразий более высокой размерности. В комплексном анализе листы не могут просто складываться вдоль линии (одной переменной) или подпространства кодименсии один в общем случае. Множество разветвлений (локус ветвления на базе, множество двойных точек сверху) будет на два реальных измерения меньше, чем окружающее многообразие, и поэтому не будет разделять его на две «стороны» локально — будут существовать пути, огибающие локус ветвления, как в приведенном примере. В алгебраической геометрии над любым полем, по аналогии, это также происходит в алгебраической кодименсии один.

В алгебраических расширениях рациональных чисел

Рамификация в алгебраической теории чисел означает разложение простого идеала в расширении на повторяющиеся простые идеальные множители. А именно, пусть — кольцо целых чисел алгебраического числового поля , а — простой идеал в . Для расширения поля мы можем рассмотреть кольцо целых чисел (которое является интегральным замыканием в ), и идеал в этом кольце. Этот идеал может быть простым или не простым, но для конечного он имеет разложение на простые идеалы:

где — различные простые идеалы в . Тогда говорят, что разветвляется в , если для некоторого ; в противном случае он неразветвлён. Другими словами, разветвляется в , если индекс разветвления больше единицы для некоторого . Эквивалентное условие состоит в том, что содержит ненулевой нильпотентный элемент: он не является произведением конечных полей. Аналогия со случаем римановых поверхностей была отмечена Ричардом Дедекиндом и Генрихом М. Вебером ещё в девятнадцатом веке. Рамификация кодируется в относительным дискриминантом, а в — относительным дифференциалом. Первый является идеалом в и делится на тогда и только тогда, когда некоторый идеал в , делящий , разветвляется. Второй является идеалом в и делится на простой идеал в тогда и только тогда, когда разветвляется. Рамификация называется прирученной, если все индексы разветвления взаимно просты с характеристикой поля вычетов , в противном случае она называется дикой. Это условие важно в теории модулей Галуа. Конечное, генерически этальное расширение областей Дедекинда является прирученным тогда и только тогда, когда след является сюръективным.

В местных областях

Более детальный анализ разветвления в числовых полях можно провести, используя расширения p-адических чисел, поскольку это локальный вопрос. В этом случае для расширений Галуа определяется количественная мера разветвления, по сути, путем выяснения, насколько далеко группа Галуа перемещает элементы поля относительно метрики. Определяется последовательность групп разветвления, конкретизирующая (в частности) дикое (неприрученное) разветвление. Это выходит за рамки геометрического аналога.

В алгебре

В теории оценок теория разветвления изучает множество расширений оценки поля K на расширение этого поля. Это обобщает понятия из алгебраической теории чисел, теории локальных полей и областей Дедекинда.

В алгебраической геометрии

Существует также соответствующее понятие неразветвлённого морфизма в алгебраической геометрии. Оно используется для определения этальных морфизмов. Пусть φ — морфизм схем. Поддержка квазикогерентного пучка называется локусом разветвления морфизма φ, а образ локуса разветвления, φ(Ram(φ)), называется локусом ветвления. Если мы говорим, что φ формально неразветвлён, и если φ также локально конечно представим, то мы говорим, что φ неразветвлён (см.).