Геометриядағы инциденттік қатынастар

Кіріспе

Геометрияда, орын алу қатынасы — "нүкте түзуде жатыр" немесе "түзу жазықтықта орналасқан" сияқты тіркестер қолданылғанда білдірілетін идеяны қамтитын гетерогенді қатынас. Ең негізгі орын алу қатынасы — нүкте, P, және түзу, l, кейде P I l деп белгіленеді. Егер P I l болса, (P, l) жұбы ту деп аталады. Күнделікті тілде орын алуды сипаттау үшін көптеген тіркестер қолданылады (мысалы, түзу нүкте арқылы өтеді, нүкте жазықтықта жатыр және т.б.), бірақ "орын алу" термині артықшылыққа ие, себебі ол басқа терминдерге тән қосымша мағыналарды бермейді және оны симметриялық түрде қолдануға болады. "l1 түзуі l2 түзуін қиып өтеді" сияқты мәлімдемелер де орын алу қатынастары туралы мәлімдемелер болып табылады, бірақ бұл жағдайда бұл "l1 түзуі мен l2 түзуімен орын алатын P нүктесі бар" дегеннің қысқаша түрі. Егер объектінің бір түрін екінші түрінің жиыны ретінде қарастыруға болатын болса (мысалы, жазықтық — нүктелер жиыны), онда орын алу қатынасын кіріктіру ретінде қарастыруға болады. "Кез келген екі түзу жазықтықта қиылысады" сияқты мәлімдемелер орын алудың теоремалары деп аталады. Бұл теорема проективті жазықтықта дұрыс, бірақ Эвклид жазықтығында дұрыс емес, онда түзулер параллель болуы мүмкін. Тарихи тұрғыдан алғанда, проективті геометрия параллельдердің болуынан туындайтын ерекшеліктерсіз орын алу теоремаларын шындыққа айналдыру үшін жасалды. Синтетикалық геометрия тұрғысынан, проективті геометрияны аксиомалар сияқты теоремаларды қолдана отырып құру керек. Бұл жоғары өлшемдерде Десарг теоремасының жалпы жарамдылығына байланысты проективті жазықтықтар үшін ерекше маңызды. Ал аналитикалық тәсіл — сызықтық алгебраға негізделген проективті кеңістікті біртекті координаттарды қолдана отырып анықтау. Орын алу теоремалары векторлық кеңістікке қатысты келесі негізгі нәтижеден туындайды: (шектелген өлшемді) векторлық кеңістіктің U және W ішкі кеңістіктерін қарастыра отырып, олардың қиылысының өлшемі dim U + dim W − dim (U + W) тең. V-ге қатысты проективті кеңістіктің геометриялық өлшемі 'P'(V) dim V − 1 тең екенін және кез келген ішкі кеңістіктің геометриялық өлшемі оң тең екенін ескере отырып, осы жағдайда орын алудың негізгі теоремасы мынадай түрде болуы мүмкін: проективті кеңістіктің L және M сызықтық ішкі кеңістіктері P-де қиылысады, егер dim L + dim M ≥ dim P. Келесі бөлімдер F өрісінде немесе 'P'^(2)F болып табылатын, көбінесе PG(2, F) арқылы белгіленетін проективті жазықтықтармен шектеледі. Алайда бұл есептеулер табиғи түрде жоғары өлшемді проективті кеңістікке кеңейтілуі мүмкін, ал өріс бөлу сақинасымен (немесе қисайған өріс) алмастырылуы мүмкін, егер бұл жағдайда көбейту коммутативті емес екеніне назар аударса.

In geometry, an incidence relation is a heterogeneous relation that captures the idea being expressed when phrases such as "a point lies on a line" or "a line is contained in a plane" are used. The most basic incidence relation is that between a point, P, and a line, l, sometimes denoted P I l. If P I l the pair (P, l) is called a flag. There are many expressions used in common language to describe incidence (for example, a line passes through a point, a point lies in a plane, etc.) but the term "incidence" is preferred because it does not have the additional connotations that these other terms have, and it can be used in a symmetric manner. Statements such as "line l1 intersects line l2" are also statements about incidence relations, but in this case, it is because this is a shorthand way of saying that "there exists a point P that is incident with both line l1 and line l2". When one type of object can be thought of as a set of the other type of object (viz., a plane is a set of points) then an incidence relation may be viewed as containment. Statements such as "any two lines in a plane meet" are called incidence propositions. This particular statement is true in a projective plane, though not true in the Euclidean plane where lines may be parallel. Historically, projective geometry was developed in order to make the propositions of incidence true without exceptions, such as those caused by the existence of parallels. From the point of view of synthetic geometry, projective geometry should be developed using such propositions as axioms. This is most significant for projective planes due to the universal validity of Desargues' theorem in higher dimensions. In contrast, the analytic approach is to define projective space based on linear algebra and utilizing homogeneous co ordinates. The propositions of incidence are derived from the following basic result on vector spaces: given subspaces U and W of a (finite dimensional) vector space V, the dimension of their intersection is dim U + dim W − dim (U + W). Bearing in mind that the geometric dimension of the projective space 'P'(V) associated to V is dim V − 1 and that the geometric dimension of any subspace is positive, the basic proposition of incidence in this setting can take the form: linear subspaces L and M of projective space P meet provided dim L + dim M ≥ dim P.

The following sections are limited to projective planes defined over fields, often denoted by PG(2, F), where F is a field, or 'P'^(2)F. However these computations can be naturally extended to higher dimensional projective spaces, and the field may be replaced by a division ring (or skewfield) provided that one pays attention to the fact that multiplication is not commutative in that case.

Бәсекелестік

Бір нүктеде түйісетін түзулер бірдей нүктеде кесіседі деп айтылады. Бір жазықтықтағы бір нүктеге тиісті барлық түзулер жиынтығы сол нүктеде орталастырылған түзулер шоғыры деп аталады. Екі түзудің қиылысуын есептеу, бір нүктеде орталастырылған түзулердің бүкіл шоғыры сол нүктеде қиылысатын кез келген екі түзу арқылы анықталады екенін көрсетеді. Осыдан, [a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3] үш түзудің бір нүктеде кесуі үшін алгебралық шарт – детерминант,