Введение

В геометрии отношение инцидентности — это гетерогенное отношение, которое отражает смысл, передаваемый фразами, такими как «точка лежит на прямой» или «прямая содержится в плоскости». Наиболее базовым отношением инцидентности является отношение между точкой P и прямой l, иногда обозначаемое как P I l. Если P I l, то пара (P, l) называется флагом. В обычном языке существует множество выражений для описания инцидентности (например, прямая проходит через точку, точка лежит в плоскости и т. д.), но термин «инцидентность» предпочтительнее, поскольку он не имеет дополнительных коннотаций, присущих другим терминам, и может использоваться симметрично. Утверждения типа «прямая l1 пересекает прямую l2» также являются утверждениями об отношениях инцидентности, но в этом случае это лишь сокращенный способ сказать, что «существует точка P, инцидентная как прямой l1, так и прямой l2». Когда один тип объекта можно рассматривать как множество другого типа объекта (например, плоскость — это множество точек), то отношение инцидентности можно рассматривать как включение. Утверждения типа «любые две прямые в плоскости пересекаются» называются предложениями об инцидентности. Это утверждение верно в проективной плоскости, но не верно в евклидовой плоскости, где прямые могут быть параллельны. Исторически, проективная геометрия была разработана для того, чтобы сделать предложения об инцидентности истинными без исключений, вызванных, например, существованием параллельных прямых. С точки зрения синтетической геометрии, проективная геометрия должна разрабатываться с использованием таких предложений в качестве аксиом. Это особенно важно для проективных плоскостей из-за универсальной справедливости теоремы Дезарга в более высоких размерностях. В отличие от этого, аналитический подход заключается в определении проективного пространства на основе линейной алгебры и использовании однородных координат. Предложения об инцидентности выводятся из следующего базового результата о векторных пространствах: для данных подпространств U и W (конечной размерности) векторного пространства V размерность их пересечения равна dim U + dim W − dim (U + W). Учитывая, что геометрическая размерность проективного пространства P(V), связанного с V, равна dim V − 1, и что геометрическая размерность любого подпространства положительна, базовое предложение об инцидентности в этом контексте может быть сформулировано следующим образом: линейные подпространства L и M проективного пространства P пересекаются, если dim L + dim M ≥ dim P. Следующие разделы посвящены проективным плоскостям, определенным над полями, часто обозначаемым PG(2, F), где F — поле, или P²(F). Однако эти вычисления можно естественным образом расширить на проективные пространства более высоких размерностей, и поле можно заменить кольцом деления (или скошенным полем) при условии учета того, что умножение в этом случае некоммутативно.

- Да.

Пусть V — трехмерное векторное пространство, определенное над полем F. Проективная плоскость P(V) = PG(2, F) состоит из одномерных векторных подпространств V, называемых точками, и двухмерных векторных подпространств V, называемых прямыми. Инцидентность точки и прямой определяется включением одномерного подпространства в двухмерное подпространство. Зафиксируем базис для V, чтобы можно было описывать его векторы как координатные тройки (относительно этого базиса). Одномерное векторное подпространство состоит из ненулевого вектора и всех его скалярных кратных. Ненулевые скалярные кратные, записанные в виде координатных троек, являются однородными координатами данной точки, называемыми координатами точки. Относительно этого базиса, пространство решений однородного линейного уравнения является двумерным подпространством V, и, следовательно, прямой в P(V). Эта прямая может быть обозначена координатами прямой [a, b, c], которые также являются однородными координатами, поскольку ненулевые скалярные кратные задают ту же самую прямую. Также широко используются другие обозначения. Координаты точек могут быть записаны в виде столбцов (x, y, z)ᵀ, с двоеточиями (x : y : z) или с индексом (x, y, z)ₚ. Соответственно, координаты прямых могут быть записаны в виде строк (a, b, c), с квадратными скобками [a : b : c] или с индексом (a, b, c)ₗ. Возможны и другие варианты записи.

Конкуренция

Линии, пересекающиеся в одной точке, называются пересекающимися в одной точке (или конкурентными). Множество всех прямых в плоскости, проходящих через одну и ту же точку, называется пучком прямых с центром в этой точке. Вычисление точки пересечения двух прямых показывает, что весь пучок прямых с центром в точке определяется любыми двумя прямыми, пересекающимися в этой точке. Следовательно, алгебраическим условием для того, чтобы три прямые, [a1, b1, c1], [a2, b2, c2], [a3, b3, c3], пересекались в одной точке, является то, что их определитель,