Фано жазықтығы: 7 нүкте және 7 түзу

Кіріспе

7 нүкте және 7 сызықты геометрияда, Фано жазықтығы (Джино Фаноның атымен аталады) – нүктелер мен сызықтардың ең аз санына ие шекті проективті жазықтық: 7 нүкте және 7 сызық, әр сызықта 3 нүкте және әр нүктеден 3 сызық өтеді. Бұл нүктелер мен сызықтар Евклид геометриясында осылай орналаса алмайды, бірақ оларға екі элементі бар шекті өріс арқылы координаттар берілуі мүмкін. Бұл жазықтықтың стандартты белгісі проективті кеңістіктер отбасының бір мүшесі ретінде PG(2, 2) болып табылады. Мұнда PG – «проективті геометрияны» білдіреді, алғашқы параметр – геометриялық өлшем (бұл жазықтық, 2 өлшемді), екінші параметр – рет (бір сызықтағы нүктелер саны минус бір). Фано жазықтығы – шекті инциденттік құрылымның мысалы, сондықтан оның көптеген қасиеттерін комбинаторлық әдістер мен инциденттік геометрияны зерттеуде қолданылатын басқа да құралдар арқылы анықтауға болады. Ол проективті кеңістік болғандықтан, алгебралық әдістер де оны зерттеуде тиімді құралдар болып табылады.

Біртекті координаттар

Фано жазықтығын сызықтық алгебра арқылы екі элементі бар шекті өріс үстіндегі проекциялық жазықтық ретінде құрастыруға болады. Осыған ұқсас, кез келген басқа шекті өріс үстінде проективті жазықтықтар құрастыруға болады, Фано жазықтығы ең кішісі болып табылады. Проективті кеңістіктердің стандартты құрылысын гомогенді координаттар арқылы пайдаланып, Фано жазықтығының жеті нүктесін 001, 010, 011, 100, 101, 110 және 111 екілік цифрлардың нөлден тыс реттелген жеті үштігімен белгілеуге болады. Бұл әр екі нүкте p және q үшін, pq турасындағы үшінші нүкте p және q нүктелерінің таңбаларын 2-ге дейін цифрларын қосу арқылы қалыптастырылған таңбаға ие болады (мысалы, 010 және 111 қосылғанда 101 шығады). Басқаша айтқанда, Фано жазықтығының нүктелері 2-реттік шекті өріс бойынша 3-өлшемді шекті векторлық кеңістіктің нөлден басқа нүктелеріне сәйкес келеді. Осы құрылыстың арқасында Фано жазықтығы Десаргес жазықтығы деп есептеледі, тіпті жазықтық дегенеративті емес Десаргес конфигурациясын (оған 10 нүкте мен 10 сызық қажет) қамту үшін тым кішкентай болса да. Фано жазықтығының сызықтарына да нөлдік емес үштік екілік цифрларды пайдалана отырып, біртекті координаттар берілуі мүмкін. Бұл координаттар жүйесінде, нүкте сызыққа тиісті болады, егер нүкте мен сызық координаталарында нөлден басқа биттердің саны жұп болса: мысалы, 101 нүктесі 111 сызығына тиісті, өйткені олардың екі ортақ орнында нөлден басқа биттер бар. Негізгі сызықтық алгебра тұрғысынан, нүкте сызыққа тиісті, егер нүкте мен сызықты бейнелейтін векторлардың ішкі көбейтіндісі нөлге тең болса. Сызықтарды үш түрге бөлуге болады. Үш сызықта нүктелер үшін екілік үштіктердің біреуі тұрақты орында 0 болады: 100 сызығында (001, 010 және 011 нүктелерін қамтиды) бірінші орында 0 болады, ал 010 және 001 сызықтары осылай қалыптасады. Үш сызықта әр нүктедегі екілік үштіктердің екі орны бірдей мәнге ие: 110 сызығында (001, 110 және 111 нүктелерін қамтиды) бірінші және екінші орындар әрқашан бір-біріне тең, ал 101 және 011 сызықтары осылай қалыптасады. Қалған 111 сызығында (011, 101 және 110 нүктелерін қамтиды) әр екілік үштік дәл екі нөлден басқа битке ие.

The Fano plane can be constructed via linear algebra as the projective plane over the finite field with two elements. One can similarly construct projective planes over any other finite field, with the Fano plane being the smallest. Using the standard construction of projective spaces via homogeneous coordinates, the seven points of the Fano plane may be labeled with the seven non zero ordered triples of binary digits 001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111. This can be done in such a way that for every two points p and q, the third point on line pq has the label formed by adding the labels of p and q modulo 2 digit by digit (e. g., 010 and 111 resulting in 101). In other words, the points of the Fano plane correspond to the non zero points of the finite vector space of dimension 3 over the finite field of order 2. Due to this construction, the Fano plane is considered to be a Desarguesian plane, even though the plane is too small to contain a non degenerate Desargues configuration (which requires 10 points and 10 lines). The lines of the Fano plane may also be given homogeneous coordinates, again using non zero triples of binary digits. With this system of coordinates, a point is incident to a line if the coordinate for the point and the coordinate for the line have an even number of positions at which they both have nonzero bits: for instance, the point 101 belongs to the line 111, because they have nonzero bits at two common positions. In terms of the underlying linear algebra, a point belongs to a line if the inner product of the vectors representing the point and line is zero. The lines can be classified into three types. On three of the lines the binary triples for the points have the 0 in a constant position: the line 100 (containing the points 001, 010, and 011) has 0 in the first position, and the lines 010 and 001 are formed in the same way. On three of the lines, two of the positions in the binary triples of each point have the same value: in the line 110 (containing the points 001, 110, and 111) the first and second positions are always equal to each other, and the lines 101 and 011 are formed in the same way. In the remaining line 111 (containing the points 011, 101, and 110), each binary triple has exactly two nonzero bits.

Топтық теориялық құрылым

Сонымен қатар, жазықтықтың 7 нүктесі 1=(Z2)³ = Z2 × Z2 × Z2 тобының 7 бірліктен өзгеше элементіне сәйкес келеді. Жазықтықтағы түзулер 4-реттік кіші топтарға сәйкес келеді, олар Z2 × Z2-ге изоморфты. (Z2)³ тобының GL(3, 2) автоморфизм тобы Фано жазықтығының автоморфизм тобы болып табылады және 168 реттікке ие.

Леви графигі

Кез келген түсу құрылымы сияқты, Фано жазықтығының Леви графигі екібөлікті график болып табылады, бір бөлігінің төбелері нүктелерді, екінші бөлігі сызықтарды көрсетеді, сәйкес нүкте мен сызық түсуі болса, екі төбелері қосылады. Бұл график - байланысты, 3 дәрежелі кубтық график (3 дәрежелі реттелген), шеңбері 6-ға тең және әр бөлігінде 7 төбе бар. Бұл Heawood графигі, бірегей 6 қосқыш.

Құрастыру

Фано жазықтығының коллинеациясы, автоморфизмі немесе симметриясы — коллинеарлықты сақтайтын 7 нүктенің пермутациясы: яғни, ол бір түзуде жатқан коллинеарлық нүктелерді коллинеарлық нүктелерге бейнелейді. Проективті геометрияның негізгі теоремасы бойынша, толық коллинеациялық топ (немесе автоморфизм тобы немесе симметрия тобы) — проективті сызықтық топ PGL(3, 2).

Бұл 168 = 2³·3·7 реттік жақсы белгілі топ, 60 реттік A₅ тобынан кейінгі екінші абельдік емес қарапайым топ (мөлшері бойынша реттелген). Ұшақтың 7 нүктесіне әсер ететін пермутациялық топ ретінде коллинеациялық топ қос транзитивті, яғни кез келген реттелген екі нүктені кем дегенде бір коллинеация арқылы кез келген басқа реттелген екі нүктеге бейнелеуге болады. (Төменде қараңыз.) Коллинеацияларды Хевуд графигінің түс сақтайтын автоморфизмдері ретінде де қарастыруға болады (суретті қараңыз). F₈ — F₂ өрісінің үшінші дәрежелі кеңейтімі, сондықтан Фано жазықтығының нүктелерін симметрия тобымен сәйкестендіруге болады: PGL(3, 2) = Aut(P²F₂). Сол сияқты, PSL(2, 7) = Aut(P¹F₇). P²F₂ және P¹F₇ арасында «Мысық ойнауы» (Cat's Cradle) деп аталатын байланыс бар. Фано жазықтығының жеті түзуін ROYGBIV түстерімен бояп, саусақтарыңызды үш өлшемді кеңістіктегі екі өлшемді проективті кеңістікке енгізіп, балалардың ойыны сияқты саусақтарыңызды созыңыз. Сіз жеті түсті үшбұрышпен (проективті түзулермен) жеті түсті төбелері бар толық граф аласыз. F₈ өрісінің жоғалған нүктесі ішкі жетібұрыштың ортасында болады. Енді осы нүктеге ∞ белгісін қойып, оны бастапқы нүктеге кері жылжытыңыз. Біз F₈ өрісіне бірліктей сәйкестік жаза аламыз. 1 = x∞ = 0 деп қойып, еңістікті k → x∞ + xk ∈ F₈ ≅ F₂[x] / (x³ + x + 1) деп бейнелейміз, мұнда xₖ K₇ графигінің төбелерін шеттерімен бояу үшін қолданылады, F — 7 реттік циклдік топ екенін ескере отырып. P¹F₇ симметриялары — Мёбиус түрлендірулері, ал негізгі түрлендірулер — көрістірулер (2 реттілік, k → −1/k), жылжулар (7 реттілік, k → k + 1) және екі еселеу (3 реттілік, өйткені 2³ = 1, k → 2k). Фано жазықтығындағы сәйкес симметриялар — төбелерді ауыстыру, графикті айналдыру және үшбұрыштарды айналдыру.

Екілік

Нүктелер жинағы мен түзулер жинағы арасындағы орындылықты сақтайтын өзара теңдік дуальділік деп аталады, ал екінші ретті дуальділік – полярлық деп аталады. Дуальділіктерді Хьювуд графигінің контекстінде түстерді ауыстыратын автоморфизмдер ретінде қарастыруға болады. Полярлықтың мысалы – оң жақта көрсетілген Хьювуд графигінің өкілдігін екіге бөлетін тік түзуге қарағандағы көрініс. Бұл полярлықтың болуы Фано жазықтығының өзіне-өзі дуальды екенін көрсетеді. Бұл сондай-ақ біртекті координаттар арқылы анықталған орындылық қатынасындағы нүктелер мен түзулер арасындағы симметрияның тікелей салдары болып табылады, бұл туралы бұрынғы бір бөлімде толығырақ айтылған.

Толық төртбұрыштар мен Фаноның шағын жазықтықтары

Кез келген проекциялық жазықтықта үш нүктесі бір түзудің бойында жатпайтын төрт нүктеден тұратын жиын және осы нүктелердің жұптарын қосатын алты түзу – толық төртбұрыш деп аталады. Бұл түзулер қабырғалар деп аталады, ал төрт нүктеде қиылыспайтын қабырғалар жұбы қарама-қарсы қабырғалар деп аталады. Қарама-қарсы қабырғалардың қиылысқан нүктелері диагональ нүктелері деп аталады, және олардың саны үш. Егер бұл конфигурация проекциялық жазықтықта жатса және үш диагональ нүктесі бір түзудің бойында болса, онда кеңейтілген конфигурацияның жеті нүктесі мен жеті түзуі проекциялық жазықтықтың Фано жазықтығына изоморфты болатын және Фано жазықтығы деп аталатын кіші жазықтықты құрайды. Эндрю М. Глисонның мәлімдеуі бойынша, егер шекті проекциялық жазықтықтағы әрбір толық төртбұрыш Фано кіші жазықтығына дейін толықтырылса (яғни, диагональдық нүктелері колинеар болса), онда бұл жазықтық Дезарг жазықтығы болады. Глисон осы шартты қанағаттандыратын кез келген проекциялық жазықтықты Фано жазықтығы деп атады, бұл қазіргі терминологияда шатасу тудырды. Шатасуды күшейту үшін Фано аксиомасы толық төртбұрыштың диагональ нүктелері ешқашан бір түзудің бойында жатпайды дейді, бұл Евклидтік және нақты проекциялық жазықтықта орындалатын шарт. Осылайша, Глисон Фано жазықтығы деп атаған жазықтықтар Фано аксиомасын қанағаттандырмайды.

Конфигурациялар

Фано жазықтығында әртүрлі нүктелер мен сызықтардың конфигурацияларының келесі саны бар. Конфигурацияның әрбір түрі үшін конфигурацияның көшірмелерінің саны, конфигурацияны өзгертпей ұстайтын жазықтықтың симметрияларының санына көбейтіледі, ол 168-ге тең, бұл бүкіл коллинеациялық топтың мөлшері, егер әрбір көшірме кез келген басқа көшірмеге сәйкестендірілуі мүмкін болса (орбиталық тұрақтандыру теоремасын қараңыз). Фано жазықтығы өзіндік дуал болғандықтан, бұл конфигурациялар дуал жұптарда болады және конфигурацияны бекітетін коллинеациялардың саны оның дуалдық конфигурациясын бекітетін коллинеациялардың санына тең екенін көрсетуге болады. Кез келген нүктеге 24 симметриясы бар 7 нүкте және кез келген түзуді бекітетін 24 симметриясы бар 7 түзу бар. Симметриялар саны коллинеация тобының 2 транзитивтілігінен туындайды, бұл топ нүктелерге транзитивті әсер етеді дегенді білдіреді. 42 реттелген нүктелер жұбы бар және олардың әрқайсысы кез келген басқа реттелген жұпқа симметрия арқылы картаға түсірілуі мүмкін. Кез келген реттелген жұп үшін оны бекітетін 4 симметрия бар. Осыған сәйкес 21 ретсіз нүктелер жұбы бар, олардың әрқайсысы кез келген басқа ретсіз жұпқа симметрия арқылы картаға түсірілуі мүмкін. Кез келген ретсіз жұп үшін оны бекітетін 8 симметрия бар. Бұл жерде 21 жалау бар, олар бір сызықтан және сол сызықтағы нүктеден тұрады. Әрбір жалауша бір түзудегі басқа екі нүктелердің ретсіз жұптарына сәйкес келеді. Әр тудың 8 түрлі симметриясы оны тұрақты ұстайды. Төрт (реті жоқ) нүктеден тұратын төртбұрышты таңдаудың 7 әдісі бар, олардың үшеуі бірдей сызықты емес. Бұл төрт нүкте төртбұрыштың диагональ сызығы болып табылатын түзудің толықтырғышын құрайды және егер ол төртбұрышты тек және тек диагональ сызығын бекітсе ғана бекітеді. Осылайша, кез келген төртбұрышты бекітетін 24 симметрия бар. Дуаль конфигурация - бұл төрт түзуден тұратын төртбұрышты, оның үшеуі бір нүктеде кездеспейді және олардың алты қиылысу нүктесі, ол Фано жазықтығындағы нүктесінің толықтырғышы болып табылады. 35 үшбұрышты нүктелер бар, олардың жетісі коллинейлік үшбұрыштар, ал 28 коллинейлік емес үшбұрыштар немесе үшбұрыштар қалды. Үшбұрыштың үш нүктесінен және осы нүктелердің жұптарын біріктіретін үш түзуден тұратын конфигурация Хьювуд графигінде 6 циклмен бейнеленеді. 6 циклінің әрбір нүктесін бекітетін Хьювуд графигінің түстерді сақтау автоморфизмі сәйкестік автоморфизмі болуы керек. Үшбұрышты белгілеудің 84 жолы бар, сонымен бірге бұл үшбұрышта бір ерекше нүкте және осы конфигурацияны бекітетін екі симметрия бар. Үшбұрышты конфигурацияның дуалы да үшбұрышты. Бір-біріне сәйкес келмейтін нүкте мен сызықты таңдаудың 28 әдісі бар (анти-жалау), және Фано жазықтығын тұрақты ұстай отырып, оны ауыстырудың алты әдісі бар. Әрбір қиылыспайтын нүктелік түзу жұп үшін (p, l), p-ге тең емес және l-ге жатпайтын үш нүкте үшбұрыш құрайды, ал әрбір үшбұрыш үшін қалған төрт нүктеді анти-жалауға топтастырудың бірегей тәсілі бар. Бір сызықта үш қатарлы ұшы жоқ алтыбұрышты белгілеудің 28 әдісі бар және осындай алтыбұрышты бекітудің алты симметриясы бар. Бір жолда үш қатарлы ұштары жоқ бесбұрышты белгілеудің 84 жолы бар және кез келген бесбұрышты бекітетін екі симметрия бар. Фано жазықтығы (n3) конфигурациясының мысалы, яғни n нүктелер мен n сызықтар жиынтығы, әр сызықта үш нүкте және әр нүкте арқылы үш сызық. Фану жазықтығы (73) конфигурациясы бірегей және ең кішкентай конфигурация болып табылады. Штайниц теоремасы бойынша, осы типті конфигурациялар Евклид жазықтығында ең көп дегенде бір қисық сызықты (Евклид сызықтарында жатқан барлық басқа сызықтар) жүзеге асыруға болады.

The Fano plane contains the following numbers of configurations of points and lines of different types. For each type of configuration, the number of copies of configuration multiplied by the number of symmetries of the plane that keep the configuration unchanged is equal to 168, the size of the entire collineation group, provided each copy can be mapped to any other copy (see Orbit stabiliser theorem). Since the Fano plane is self dual, these configurations come in dual pairs and it can be shown that the number of collineations fixing a configuration equals the number of collineations that fix its dual configuration. There are 7 points with 24 symmetries fixing any point and dually, there are 7 lines with 24 symmetries fixing any line. The number of symmetries follows from the 2 transitivity of the collineation group, which implies the group acts transitively on the points. There are 42 ordered pairs of points, and each may be mapped by a symmetry onto any other ordered pair. For any ordered pair there are 4 symmetries fixing it. Correspondingly, there are 21 unordered pairs of points, each of which may be mapped by a symmetry onto any other unordered pair. For any unordered pair there are 8 symmetries fixing it. There are 21 flags consisting of a line and a point on that line. Each flag corresponds to the unordered pair of the other two points on the same line. For each flag, 8 different symmetries keep it fixed. There are 7 ways of selecting a quadrangle of four (unordered) points no three of which are collinear. These four points form the complement of a line, which is the diagonal line of the quadrangle and a collineation fixes the quadrangle if and only if it fixes the diagonal line. Thus, there are 24 symmetries that fix any such quadrangle. The dual configuration is a quadrilateral consisting of four lines no three of which meet at a point and their six points of intersection, it is the complement of a point in the Fano plane. There are 1= = 35 triples of points, seven of which are collinear triples, leaving 28 non collinear triples or triangles. The configuration consisting of the three points of a triangle and the three lines joining pairs of these points is represented by a 6 cycle in the Heawood graph. A color preserving automorphism of the Heawood graph that fixes each vertex of a 6 cycle must be the identity automorphism. There are 84 ways of specifying a triangle together with one distinguished point on that triangle and two symmetries fixing this configuration. The dual of the triangle configuration is also a triangle. There are 28 ways of selecting a point and a line that are not incident to each other (an anti flag), and six ways of permuting the Fano plane while keeping an anti flag fixed. For every non incident point line pair (p, l), the three points that are unequal to p and that do not belong to l form a triangle, and for every triangle there is a unique way of grouping the remaining four points into an anti flag. There are 28 ways of specifying a hexagon in which no three consecutive vertices lie on a line, and six symmetries fixing any such hexagon. There are 84 ways of specifying a pentagon in which no three consecutive vertices lie on a line, and two symmetries fixing any pentagon. The Fano plane is an example of an (n3) configuration, that is, a set of n points and n lines with three points on each line and three lines through each point. The Fano plane, a (73) configuration, is unique and is the smallest such configuration. According to a theorem by Steinitz configurations of this type can be realized in the Euclidean plane having at most one curved line (all other lines lying on Euclidean lines).

Блоктық жобалау теориясы

Фано жазықтығы – кішкентай симметриялық блок дизайны, нақтырақ айтқанда 2 (7, 3, 1) дизайны. Дизайнның нүктелері – жазықтықтың нүктелері, ал дизайнның блоктары – жазықтықтың түзулері. Сондықтан ол (блок) дизайн теориясындағы құнды мысал болып табылады. 0, 1, 2, …, 6 деп белгіленген нүктелерге сәйкес түзулер (нүктелер жиыны ретінде) Z / 7Z тобында берілген (7, 3, 1) жазықтық айырмашылық жиынының жылжулары болып табылады. Осыған байланысты, оған квазитоп құрылымын беруге болады. Бұл квазитоп, егер октоний көбейтулерінің таңбалары ескерілмесе, 1-ді ескермей, e1, e2, …, e7 бірлік октонийлерімен анықталған көбейту құрылымымен сәйкес келеді.

Матроидтар теориясы

Fano matroid F7 Fano жазықтығының нүктелерін негізгі жиын ретінде және үш элементтен тұратын бір түзуде жатпайтын жиынтықтарды база ретінде қабылдау арқылы құрастырылады. Фано жазықтығы – матроидтардың құрылымдық теориясындағы маңызды мысалдардың бірі. Матроидтың кішігірім бөлігі ретінде Фано жазықтығын есепке алмау, реттелген, графикалық және кографикалық сияқты матроидтардың бірнеше маңызды кластарын сипаттау үшін қажет. Егер бір түзуді үш екі нүктелі түзуге бөлсеңіз, "Фано емес конфигурация" пайда болады, оны нақты жазықтыққа ендіруге болады. Бұл матроидтар теориясындағы тағы бір маңызды мысал, себебі көптеген теоремалардың дұрыс болуы үшін оны жою қажет.

PG ((3, 2)

Фано жазықтығын үшінші өлшемде кеңейту арқылы PG(3, 2) деп белгіленетін үш өлшемді проективті кеңістік құруға болады. Онда 15 нүкте, 35 түзу және 15 жазықтық бар, және ол ең кішкентай үш өлшемді проективті кеңістік болып табылады. Оның мынадай қасиеттері де бар:
Әрбір нүкте 7 түзуде және 7 жазықтықта жатады. Әрбір түзу 3 жазықтықта жатады және 3 нүктеден тұрады. Әрбір жазықтықта 7 нүкте және 7 түзу бар. Әрбір жазықтық Фано жазықтығымен изоморфты. Кез келген екі әртүрлі жазықтық бір түзу бойымен қиылысады. Түзуді қамтымайтын жазықтық пен түзу дәл бір нүктеде қиылысады.