Плоскость Фано: Геометрия с 7 точками и 7 линиями

Введение

Геометрия с 7 точками и 7 прямыми

В конечной геометрии плоскость Фано (названа в честь Джино Фано) — это конечная проективная плоскость с наименьшим возможным числом точек и прямых: 7 точек и 7 прямых, с 3 точками на каждой прямой и 3 прямыми, проходящими через каждую точку. Эти точки и прямые не могут существовать с такой структурой инцидентностей в евклидовой геометрии, но им можно задать координаты, используя конечное поле с двумя элементами. Стандартное обозначение для этой плоскости, как для элемента семейства проективных пространств, — PG(2, 2). Здесь PG означает «проективная геометрия», первый параметр — геометрическая размерность (это плоскость, размерности 2), а второй параметр — порядок (число точек на прямой минус один). Плоскость Фано является примером конечной инцидентной структуры, поэтому многие из её свойств можно установить, используя комбинаторные методы и другие инструменты, применяемые при изучении инцидентных геометрий. Поскольку это проективное пространство, алгебраические методы также могут быть эффективными инструментами для её изучения.

Однородные координаты

Плоскость Фано может быть построена с помощью линейной алгебры как проективная плоскость над конечным полем с двумя элементами. Аналогичным образом можно построить проективные плоскости над любым другим конечным полем, при этом плоскость Фано является наименьшей. Используя стандартную конструкцию проективных пространств через однородные координаты, семь точек плоскости Фано можно обозначить семью ненулевыми упорядоченными тройками двоичных цифр: 001, 010, 011, 100, 101, 110 и 111. Это можно сделать так, чтобы для любых двух точек p и q третья точка на прямой pq имела метку, сформированную путем сложения меток p и q по модулю 2 поразрядно (например, 010 и 111 дают 101). Иными словами, точки плоскости Фано соответствуют ненулевым точкам конечного векторного пространства размерности 3 над конечным полем порядка 2. Благодаря этой конструкции плоскость Фано считается плоскостью Дезарга, хотя плоскость слишком мала, чтобы содержать невырожденную конфигурацию Дезарга (которая требует 10 точек и 10 прямых). Прямые плоскости Фано также могут быть заданы однородными координатами, опять же используя ненулевые тройки двоичных цифр. В этой системе координат точка инцидентна прямой, если координата точки и координата прямой имеют четное число позиций, в которых у обеих есть ненулевые биты: например, точка 101 принадлежит прямой 111, потому что у них есть ненулевые биты в двух общих позициях. С точки зрения лежащей в основе линейной алгебры, точка принадлежит прямой, если внутреннее произведение векторов, представляющих точку и прямую, равно нулю. Прямые можно классифицировать на три типа. На трех прямых двоичные тройки для точек имеют 0 в фиксированной позиции: прямая 100 (содержащая точки 001, 010 и 011) имеет 0 в первой позиции, и прямые 010 и 001 формируются аналогичным образом. На трех прямых две позиции в двоичных тройках каждой точки имеют одинаковое значение: в прямой 110 (содержащей точки 001, 110 и 111) первая и вторая позиции всегда равны друг другу, и прямые 101 и 011 формируются аналогичным образом. В оставшейся прямой 111 (содержащей точки 011, 101 и 110) каждая двоичная тройка имеет ровно два ненулевых бита.

The Fano plane can be constructed via linear algebra as the projective plane over the finite field with two elements. One can similarly construct projective planes over any other finite field, with the Fano plane being the smallest. Using the standard construction of projective spaces via homogeneous coordinates, the seven points of the Fano plane may be labeled with the seven non zero ordered triples of binary digits 001, 010, 011, 100, 101, 110, and 111. This can be done in such a way that for every two points p and q, the third point on line pq has the label formed by adding the labels of p and q modulo 2 digit by digit (e. g., 010 and 111 resulting in 101). In other words, the points of the Fano plane correspond to the non zero points of the finite vector space of dimension 3 over the finite field of order 2. Due to this construction, the Fano plane is considered to be a Desarguesian plane, even though the plane is too small to contain a non degenerate Desargues configuration (which requires 10 points and 10 lines). The lines of the Fano plane may also be given homogeneous coordinates, again using non zero triples of binary digits. With this system of coordinates, a point is incident to a line if the coordinate for the point and the coordinate for the line have an even number of positions at which they both have nonzero bits: for instance, the point 101 belongs to the line 111, because they have nonzero bits at two common positions. In terms of the underlying linear algebra, a point belongs to a line if the inner product of the vectors representing the point and line is zero. The lines can be classified into three types. On three of the lines the binary triples for the points have the 0 in a constant position: the line 100 (containing the points 001, 010, and 011) has 0 in the first position, and the lines 010 and 001 are formed in the same way. On three of the lines, two of the positions in the binary triples of each point have the same value: in the line 110 (containing the points 001, 110, and 111) the first and second positions are always equal to each other, and the lines 101 and 011 are formed in the same way. In the remaining line 111 (containing the points 011, 101, and 110), each binary triple has exactly two nonzero bits.

Теоретическая конструкция групп

В качестве альтернативы, 7 точек плоскости соответствуют 7 неединичным элементам группы 1 = (Z₂ )³ = Z₂ × Z₂ × Z₂. Линии плоскости соответствуют подгруппам порядка 4, изоморфным Z₂ × Z₂. Автоморфизмами группы (Z₂ )³ является группа GL(3, 2), которая также является группой плоскости Фано и имеет порядок 168.

График Леви

Как и любая структура инцидентности, граф Леви плоскости Фано является двудольным графом, вершины одной доли представляют точки, а вершины другой – линии, при этом две вершины соединены, если соответствующая точка и линия инцидентны. Этот конкретный граф является связным кубическим графом (правильным графом степени 3), имеет длину окружности 6 и каждая доля содержит 7 вершин. Это граф Хивуда, единственная 6-клетка.

Коллинеации

Коллинеация, автоморфизм или симметрия плоскости Фано — это перестановка 7 точек, сохраняющая коллинеарность: то есть, она переводит коллинеарные точки (лежащие на одной прямой) в коллинеарные точки. По Основной теореме проективной геометрии, полная группа коллинеаций (или группа автоморфизмов, или группа симметрий) является проективной линейной группой PGL(3, 2).

Это хорошо известная группа порядка 168 = 2³·3·7, следующая неабелева простая группа после A₅ порядка 60 (по размеру). Как группа перестановок, действующая на 7 точках плоскости, группа коллинеаций является дважды транзитивной, что означает, что любая упорядоченная пара точек может быть отображена хотя бы одной коллинеацией в любую другую упорядоченную пару точек. (См. ниже.) Коллинеации также можно рассматривать как автоморфизмы, сохраняющие раскраску графа Хейвуда (см. рисунок). F₈ является расширением поля F₂ степени три, поэтому точки плоскости Фано можно отождествить с группой симметрий, где PGL(3, 2) = Aut(P²F₂). Аналогично, PSL(2, 7) = Aut(P¹F₇). Существует связь между лежащими в основе объектами P²F₂ и P¹F₇, называемая отображением «Детская игра с ниткой». Окрасьте семь прямых плоскости Фано в цвета ROYGBIV, поместите пальцы в двумерное проективное пространство в трехмерном окружении и растяните пальцы, как в детской игре «Детская игра с ниткой». Вы получите полный граф на семи вершинах с семью цветными треугольниками (проективными прямыми). Отсутствующая единица F₈ будет находиться в центре семиугольника внутри. Теперь обозначьте эту точку как ∞ и переместите её обратно в начало координат. Можно записать биекцию между F₈ и множеством точек. Пусть x∞ = 0 и отобразим наклон k в x∞ + xk ∈ F₈ ≅ F₂[x] / (x³ + x + 1), где xk обозначает вершины K₇ с раскраской ребер, отмечая, что F является циклической группой порядка 7. Симметрии P¹F₇ — это преобразования Мёбиуса, а основными преобразованиями являются отражения (порядка 2, k ↦ −1/k), сдвиги (порядка 7, k ↦ k + 1) и удвоение (порядка 3, так как 2³ = 1, k ↦ 2k). Соответствующие симметрии на плоскости Фано соответственно меняют местами вершины, вращают граф и вращают треугольники.

Двойственность

Биекция между множеством точек и множеством прямых, сохраняющая инцидентность, называется двойственностью, а двойственность второго порядка — полярностью. Двойственности можно рассматривать в контексте графа Хейвуда как автоморфизмы, меняющие цвета. Пример полярности дан отражением относительно вертикальной прямой, делящей пополам представление графа Хейвуда, приведенное справа. Существование этой полярности показывает, что фанова плоскость самодвойственна. Это также является непосредственным следствием симметрии между точками и прямыми в определении отношения инцидентности в терминах однородных координат, как подробно описано в предыдущем разделе.

Полные квадранглы и подплоскости Фано

В любой проективной плоскости множество из четырех точек, никакие три из которых не коллинеарны, и шесть прямых, соединяющих пары этих точек, образуют конфигурацию, известную как полный квадрангл. Прямые называются сторонами, а пары сторон, не пересекающиеся в одной из четырех точек, называются противоположными сторонами. Точки, в которых пересекаются противоположные стороны, называются диагональными точками, и их три. Если эта конфигурация лежит в проективной плоскости, а три диагональные точки коллинеарны, то семь точек и семь прямых расширенной конфигурации образуют подплоскость проективной плоскости, изоморфную плоскости Фано, и называются подплоскостью Фано. Известный результат, полученный Эндрю М. Глисоном, утверждает, что если каждый полный квадрангл в конечной проективной плоскости расширяется до подплоскости Фано (то есть имеет коллинеарные диагональные точки), то эта плоскость является дезаргезианской. Глисон назвал любую проективную плоскость, удовлетворяющую этому условию, плоскостью Фано, что создало некоторую путаницу с современной терминологией. Чтобы усугубить путаницу, аксиома Фано утверждает, что диагональные точки полного квадрангла никогда не коллинеарны, условие, выполняющееся в евклидовой и вещественной проективной плоскостях. Таким образом, то, что Глисон назвал плоскостями Фано, не удовлетворяет аксиоме Фано.

Конфигурации

Плоскость Фано содержит следующие числа конфигураций точек и линий различных типов. Для каждого типа конфигурации число копий конфигурации, умноженное на число симметрий плоскости, сохраняющих конфигурацию неизменной, равно 168, размеру всей группы коллинеаций, при условии, что каждая копия может быть отображена на любую другую (см. теорему об стабилизаторе орбиты). Поскольку плоскость Фано самодвойственна, эти конфигурации встречаются в двойственных парах, и можно показать, что число коллинеаций, фиксирующих конфигурацию, равно числу коллинеаций, фиксирующих ее двойственную конфигурацию. Существует 7 точек, каждая из которых фиксируется 24 симметриями, и, дуально, 7 линий, каждая из которых фиксируется 24 симметриями. Число симметрий следует из 2-транзитивности коллинеационной группы, что означает транзитивное действие группы на точках. Существует 42 упорядоченных пар точек, и каждая из них может быть отображена симметрией на любую другую упорядоченную пару. Для любой упорядоченной пары существует 4 симметрии, фиксирующих ее. Соответственно, существует 21 неупорядоченная пара точек, каждая из которых может быть отображена симметрией на любую другую неупорядоченную пару. Для любой неупорядоченной пары существует 8 симметрий, фиксирующих ее. Существует 21 флаг, состоящий из линии и точки на этой линии. Каждый флаг соответствует неупорядоченной паре двух других точек на той же прямой. Для каждого флага существует 8 различных симметрий, сохраняющих его. Существует 7 способов выбора четырехугольника из четырех (неупорядоченных) точек, при этом никакие три из них не коллинеарны. Эти четыре точки образуют дополнение к прямой, которая является диагональю четырехугольника, и коллинеация фиксирует четырехугольник тогда и только тогда, когда она фиксирует диагональ. Таким образом, существует 24 симметрии, фиксирующих любой такой четырехугольник. Двойственная конфигурация — это четырехугольник, состоящий из четырех линий, никакие три из которых не пересекаются в одной точке, и их шести точек пересечения; это дополнение к точке в плоскости Фано. Существует 35 троек точек, семь из которых коллинеарны, оставляя 28 неколлинеарных троек, или треугольников. Конфигурация, состоящая из трех точек треугольника и трех линий, соединяющих пары этих точек, представлена 6-циклом в графе Хейвуда. Автоморфизм, сохраняющий раскраску графа Хейвуда и фиксирующий каждую вершину 6-цикла, должен быть тождественным автоморфизмом. Существует 84 способа задать треугольник вместе с одной выделенной точкой на этом треугольнике и двумя симметриями, фиксирующими эту конфигурацию. Двойственная треугольная конфигурация также является треугольником. Существует 28 способов выбрать точку и линию, которые не инцидентны друг другу (антифлаг), и шесть способов переставить плоскость Фано, сохраняя при этом антифлаг фиксированным. Для каждой пары точка-линия (p, l), не являющихся инцидентными, три точки, отличные от p и не лежащие на l, образуют треугольник, и для каждого треугольника существует единственный способ сгруппировать оставшиеся четыре точки в антифлаг. Существует 28 способов задать шестиугольник, в котором никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой, и шесть симметрий, фиксирующих любой такой шестиугольник. Существует 84 способа задать пятиугольник, в котором никакие три последовательные вершины не лежат на одной прямой, и две симметрии, фиксирующие любой пятиугольник. Плоскость Фано является примером (n3)-конфигурации, то есть множества из n точек и n линий, с тремя точками на каждой линии и тремя линиями, проходящими через каждую точку. Плоскость Фано, (73)-конфигурация, уникальна и является наименьшей конфигурацией такого типа. Согласно теореме Штайница, конфигурации этого типа могут быть реализованы в евклидовой плоскости, имеющей не более одной криволинейной линии (все остальные линии лежат на евклидовых прямых).

The Fano plane contains the following numbers of configurations of points and lines of different types. For each type of configuration, the number of copies of configuration multiplied by the number of symmetries of the plane that keep the configuration unchanged is equal to 168, the size of the entire collineation group, provided each copy can be mapped to any other copy (see Orbit stabiliser theorem). Since the Fano plane is self dual, these configurations come in dual pairs and it can be shown that the number of collineations fixing a configuration equals the number of collineations that fix its dual configuration. There are 7 points with 24 symmetries fixing any point and dually, there are 7 lines with 24 symmetries fixing any line. The number of symmetries follows from the 2 transitivity of the collineation group, which implies the group acts transitively on the points. There are 42 ordered pairs of points, and each may be mapped by a symmetry onto any other ordered pair. For any ordered pair there are 4 symmetries fixing it. Correspondingly, there are 21 unordered pairs of points, each of which may be mapped by a symmetry onto any other unordered pair. For any unordered pair there are 8 symmetries fixing it. There are 21 flags consisting of a line and a point on that line. Each flag corresponds to the unordered pair of the other two points on the same line. For each flag, 8 different symmetries keep it fixed. There are 7 ways of selecting a quadrangle of four (unordered) points no three of which are collinear. These four points form the complement of a line, which is the diagonal line of the quadrangle and a collineation fixes the quadrangle if and only if it fixes the diagonal line. Thus, there are 24 symmetries that fix any such quadrangle. The dual configuration is a quadrilateral consisting of four lines no three of which meet at a point and their six points of intersection, it is the complement of a point in the Fano plane. There are 1= = 35 triples of points, seven of which are collinear triples, leaving 28 non collinear triples or triangles. The configuration consisting of the three points of a triangle and the three lines joining pairs of these points is represented by a 6 cycle in the Heawood graph. A color preserving automorphism of the Heawood graph that fixes each vertex of a 6 cycle must be the identity automorphism. There are 84 ways of specifying a triangle together with one distinguished point on that triangle and two symmetries fixing this configuration. The dual of the triangle configuration is also a triangle. There are 28 ways of selecting a point and a line that are not incident to each other (an anti flag), and six ways of permuting the Fano plane while keeping an anti flag fixed. For every non incident point line pair (p, l), the three points that are unequal to p and that do not belong to l form a triangle, and for every triangle there is a unique way of grouping the remaining four points into an anti flag. There are 28 ways of specifying a hexagon in which no three consecutive vertices lie on a line, and six symmetries fixing any such hexagon. There are 84 ways of specifying a pentagon in which no three consecutive vertices lie on a line, and two symmetries fixing any pentagon. The Fano plane is an example of an (n3) configuration, that is, a set of n points and n lines with three points on each line and three lines through each point. The Fano plane, a (73) configuration, is unique and is the smallest such configuration. According to a theorem by Steinitz configurations of this type can be realized in the Euclidean plane having at most one curved line (all other lines lying on Euclidean lines).

Теория конструкции блоков

Плоскость Фано является небольшой симметричной блок-схемой, в частности, схемой 2(7, 3, 1). Точками схемы являются точки плоскости, а блоками схемы – линии плоскости. Таким образом, она является ценным примером в (блоковой) теории проектирования. При нумерации точек 0, 1, 2, …, 6, линии (как множества точек) являются трансляциями (7, 3, 1) планарного разностного множества, заданного в группе Z / 7Z. Следовательно, ей можно придать структуру квазигруппы. Эта квазигруппа совпадает с мультипликативной структурой, определенной единичными октонионами e1, e2, …, e7 (исключая 1), если не учитывать знаки произведений октонионов.

Теория матроидов

Матроид F7 формируется путем взятия точек плоскости Фано в качестве базового множества, а трехэлементных некомпланарных подмножеств – в качестве базисов. Плоскость Фано является одним из важных примеров в теории структуры матроидов. Исключение плоскости Фано в качестве матроидного минора необходимо для характеризации нескольких важных классов матроидов, таких как регулярные, графические и кографические. Если разделить одну линию на три двуточечные линии, то получится "не-фановская конфигурация", которую можно вложить в вещественную плоскость. Это еще один важный пример в теории матроидов, поскольку для справедливости многих теорем необходимо ее исключать.

ПГ ((3, 2)

Плоскость Фано может быть расширена в третьем измерении, чтобы образовать трехмерное проективное пространство, обозначаемое PG(3, 2). Оно имеет 15 точек, 35 прямых и 15 плоскостей и является наименьшим трехмерным проективным пространством. Каждая точка содержится в 7 прямых и 7 плоскостях. Каждая прямая содержится в 3 плоскостях и содержит 3 точки. Каждая плоскость содержит 7 точек и 7 прямых. Каждая плоскость изоморфна плоскости Фано. Каждая пара различных плоскостей пересекается по прямой. Прямая и плоскость, не содержащая эту прямую, пересекаются ровно в одной точке.