Кіріспе
S жиынтығының басқа нүктелері жоқ S жиынтығының ішкі жиынының нүктесі. Математикада, егер x нүктесі S жиынтығының мүшесі болса және x нүктесінің маңында S жиынтығының басқа нүктелері жоқ болса, онда x нүктесі S жиынтығының оқшауланған нүктесі деп аталады (X топологиялық кеңістігінде). Бұл, {x} бір элементті жиынтығы S топологиялық кеңістігінде ашық жиынтық (X кеңістігінің ішкі кеңістігі ретінде қарастырылса) дегенмен тең. Тағы бір эквивалентті формулировка: S жиынтығының x мүшесі, егер ол S жиынтығының шекті нүктесі болмаса, онда ғана S жиынтығының оқшауланған нүктесі болады. Егер X кеңістігі метрикалық кеңістік болса, мысалы, Евклид кеңістігі болса, онда S жиынтығының x мүшесі, егер x нүктесінің маңында S жиынтығының тек шекті саны ғана мүшелері бар ашық шар болса, S жиынтығының оқшауланған нүктесі болады. Оқшауланған нүктелерден ғана құралған нүкте жиынтығы дискретті жиынтық немесе дискретті нүкте жиынтығы деп аталады (дискретті кеңістікке де қараңыз).
In mathematics, a point x is called an isolated point of a subset S (in a topological space X) if x is an element of S and there exists a neighborhood of x that does not contain any other points of S. This is equivalent to saying that the singleton {x} is an open set in the topological space S (considered as a subspace of X). Another equivalent formulation is: an element x of S is an isolated point of S if and only if it is not a limit point of S.
If the space X is a metric space, for example a Euclidean space, then an element x of S is an isolated point of S if there exists an open ball around x that contains only finitely many elements of S.
A point set that is made up only of isolated points is called a discrete set or discrete point set (see also discrete space).
Қарым-қатынас ұғымдары
Евклид кеңістігінің кез келген дискретті S ішкі жиыны санаулы болуы керек, себебі оның әрбір нүктесінің жекеленуі және рационал сандар нақты сандарда тығыз орналасқандығы, S жиынының нүктелерін рационал координаталары бар нүктелер жиынына инъективті бейнелеуге мүмкіндік береді, ал мұндай нүктелердің саны санаулы ғана. Дегенмен, санаулы барлық жиын дискретті емес, және дәстүрлі Евклид метрикасы бойынша рационал сандар осының канондық мысалы болып табылады. Жекеленген нүктесі жоқ жиын өзінде тығыз деп аталады (әр нүктенің маңында жиынның басқа нүктелері болады). Жекеленген нүктесі жоқ жабық жиын толық жиын деп аталады (ол өзінің барлық лимит нүктелерін қамтиды және жекеленген нүктелері жоқ). Жекеленген нүктелердің саны – топологиялық инвариант, яғни егер X және Y екі топологиялық кеңістік гомеоморфты болса, онда олардың әрқайсысындағы жекеленген нүктелердің саны тең болады.
Стандартты мысалдар
Төмендегі үш мысалдағы топологиялық кеңістіктер стандартты топологиямен нақты түзудің кіші кеңістіктері ретінде қарастырылады. Жиын үшін 0 нүктесі оқшауланған нүкте болып табылады. Жинақ үшін \tfrac 1 k нүктелерінің әрқайсысы оқшауланған нүкте, бірақ 0 оқшауланған нүкте емес, себебі S жиынында 0-ге қалағанша жақын басқа да нүктелер бар. Натурал сандар жиыны дискретті жиын болып табылады. \tau топологиясымен топологиялық кеңістікте a элементі оқшауланған нүкте болып табылады, тіпті a-ның жабылуына кірсе де (яғни, белгілі бір мағынада, a-ға "жақын" болса да). Мұндай жағдай Хаусдорф кеңістігінде мүмкін емес. Морзе леммасы белгілі бір функциялардың дегенерацияланбаған сындық нүктелері оқшауланған екенін көрсетеді.