Введение
Точка подмножества S, вокруг которой нет других точек S.
In mathematics, a point x is called an isolated point of a subset S (in a topological space X) if x is an element of S and there exists a neighborhood of x that does not contain any other points of S. This is equivalent to saying that the singleton {x} is an open set in the topological space S (considered as a subspace of X). Another equivalent formulation is: an element x of S is an isolated point of S if and only if it is not a limit point of S.
If the space X is a metric space, for example a Euclidean space, then an element x of S is an isolated point of S if there exists an open ball around x that contains only finitely many elements of S.
A point set that is made up only of isolated points is called a discrete set or discrete point set (see also discrete space).
В математике точка x называется изолированной точкой подмножества S (в топологическом пространстве X), если x является элементом S и существует окрестность x, не содержащая других точек S. Это эквивалентно тому, что одноэлементное множество {x} является открытым множеством в топологическом пространстве S, рассматриваемом как подпространство X. Другая эквивалентная формулировка: элемент x из S является изолированной точкой S тогда и только тогда, когда он не является предельной точкой S.
In mathematics, a point x is called an isolated point of a subset S (in a topological space X) if x is an element of S and there exists a neighborhood of x that does not contain any other points of S. This is equivalent to saying that the singleton {x} is an open set in the topological space S (considered as a subspace of X). Another equivalent formulation is: an element x of S is an isolated point of S if and only if it is not a limit point of S.
If the space X is a metric space, for example a Euclidean space, then an element x of S is an isolated point of S if there exists an open ball around x that contains only finitely many elements of S.
A point set that is made up only of isolated points is called a discrete set or discrete point set (see also discrete space).
Если пространство X является метрическим пространством, например, евклидовым пространством, то элемент x из S является изолированной точкой S, если существует открытый шар вокруг x, содержащий только конечное число элементов S.
In mathematics, a point x is called an isolated point of a subset S (in a topological space X) if x is an element of S and there exists a neighborhood of x that does not contain any other points of S. This is equivalent to saying that the singleton {x} is an open set in the topological space S (considered as a subspace of X). Another equivalent formulation is: an element x of S is an isolated point of S if and only if it is not a limit point of S.
If the space X is a metric space, for example a Euclidean space, then an element x of S is an isolated point of S if there exists an open ball around x that contains only finitely many elements of S.
A point set that is made up only of isolated points is called a discrete set or discrete point set (see also discrete space).
Множество, состоящее только из изолированных точек, называется дискретным множеством или дискретным набором точек (см. также дискретное пространство).
In mathematics, a point x is called an isolated point of a subset S (in a topological space X) if x is an element of S and there exists a neighborhood of x that does not contain any other points of S. This is equivalent to saying that the singleton {x} is an open set in the topological space S (considered as a subspace of X). Another equivalent formulation is: an element x of S is an isolated point of S if and only if it is not a limit point of S.
If the space X is a metric space, for example a Euclidean space, then an element x of S is an isolated point of S if there exists an open ball around x that contains only finitely many elements of S.
A point set that is made up only of isolated points is called a discrete set or discrete point set (see also discrete space).
Связанные понятия
Любое дискретное подмножество S евклидова пространства должно быть счетным, поскольку изоляция каждой из его точек, вместе с тем фактом, что рациональные числа плотны в действительных числах, означает, что точки S могут быть инъективно отображены на множество точек с рациональными координатами, которых существует лишь счетное количество. Однако не каждое счетное множество является дискретным, и рациональные числа в обычной евклидовой метрике служат каноническим примером. Множество, не имеющее изолированных точек, называется плотным в себе (каждая окрестность точки содержит другие точки этого множества). Замкнутое множество, не имеющее изолированных точек, называется совершенным множеством (оно содержит все свои предельные точки и не содержит изолированных точек). Количество изолированных точек является топологическим инвариантом, то есть, если два топологических пространства X и Y гомеоморфны, то количество изолированных точек в каждом из них одинаково.
Стандартные примеры
Топологические пространства в следующих трех примерах рассматриваются как подпространства вещественной прямой со стандартной топологией. Для множества точка 0 является изолированной точкой. Для множества каждая из точек \tfrac 1 k является изолированной точкой, но 0 не является изолированной точкой, поскольку в S есть другие точки, сколь угодно близкие к 0. Множество натуральных чисел является дискретным множеством. В топологическом пространстве с топологией элемент a является изолированной точкой, хотя он принадлежит замыканию (и, следовательно, в некотором смысле "близок" к a). Такая ситуация невозможна в пространстве Хаусдорфа. Лемма Морса утверждает, что невырожденные критические точки определенных функций являются изолированными.