Кіріспе
Векторлық бундельдердегі байланыстарда параллельдік көшіру ұғымын анықтайды. Математикада, әсіресе дифференциалдық геометрияда және өлшеу теориясында, талшықты бундельдегі байланыс – бундельдегі параллельдік көшіру ұғымын анықтайтын құрал; яғни, жақын орналасқан нүктелердегі талшықтарды "қосу" немесе сәйкестендіру тәсілі. Ең көп кездесетін жағдай – векторлық бундельдегі сызықтық байланыс, онда параллельдік көшіру ұғымы сызықтық болуы керек. Сызықтық байланыс, ковариантты туындымен эквивалентті түрде анықталады, ол негізгі көпқырлының жанама бағыттары бойынша бундельдің қималарын дифференциалдайтын оператор, сонда параллель қималардың туындысы нөлге тең болады. Сызықтық байланыстар, кез келген векторлық бундельдерге, псевдо-Риманн көпқырлысының жанама бундельіндегі Леви-Чивита байланысын жалпылайды, бұл векторлық өрістерді дифференциалдаудың стандартты тәсілін ұсынады. Сызықтық емес байланыстар, бұл ұғымды талшықтары міндетті түрде сызықтық емес бундельдерге жалпылайды. Сызықтық байланыстарды Жан-Луи Козульдің құрметіне Козуль байланыстары деп те атайды, ол оларды сипаттау үшін алгебралық негіз берді. Бұл мақалада, векторлық бундельдегі байланысты анықтау үшін, координаттарды ескермейтін, қалыпты математикалық белгілер қолданылады. Дегенмен, басқа белгілер де жиі қолданылады: жалпы салыстырмалылық теориясында, векторлық бундель есептеулері әдетте индекстелген тензорлар арқылы жазылады; өлшеу теориясында, векторлық кеңістік талшықтарының эндоморфизмдеріне басымдық беріледі. Әр түрлі белгілер эквивалентті, бұл туралы метрикалық байланыстар туралы мақалада талқыланған (ондағы ескертулер барлық векторлық бундельдерге қолданылады).
connections on vector bundles
In mathematics, and especially differential geometry and gauge theory, a connection on a fiber bundle is a device that defines a notion of parallel transport on the bundle; that is, a way to "connect" or identify fibers over nearby points. The most common case is that of a linear connection on a vector bundle, for which the notion of parallel transport must be linear. A linear connection is equivalently specified by a covariant derivative, an operator that differentiates sections of the bundle along tangent directions in the base manifold, in such a way that parallel sections have derivative zero. Linear connections generalize, to arbitrary vector bundles, the Levi Civita connection on the tangent bundle of a pseudo Riemannian manifold, which gives a standard way to differentiate vector fields. Nonlinear connections generalize this concept to bundles whose fibers are not necessarily linear. Linear connections are also called Koszul connections after Jean Louis Koszul, who gave an algebraic framework for describing them
This article defines the connection on a vector bundle using a common mathematical notation which de emphasizes coordinates. However, other notations are also regularly used: in general relativity, vector bundle computations are usually written using indexed tensors; in gauge theory, the endomorphisms of the vector space fibers are emphasized. The different notations are equivalent, as discussed in the article on metric connections (the comments made there apply to all vector bundles).
Индукциялық қосылыстар
Берілген векторлық шоққа қатысты, оның көптеген байланысты шоқтарын құруға болады, мысалы, қос векторлық шоқ, тензорлық дәрежелер, симметриялық және антисимметриялық тензорлық дәрежелер, және тікелей қосындылар. Шоқтың байланысы осы байланысты шоқтардың кез келгенінде байланысты тудырады. Байланысты шоқтардағы байланыстар арасында өтудің қарапайымдылығы негізгі шоқтардың байланыстары теориясымен әлдеқайда жақсы түсіндіріледі, бірақ біз мұнда негізгі туындаған байланыстардың кейбірін ұсынамыз.
Кез келген байланысты бундель
Рангы бар векторлық шоқ және кез келген сызықтық топқа бейнелеу болғанда, байланысты векторлық шоқта индукцияланған байланыс пайда болады. Бұл теорияны ең айқын түрінде негізгі шоқтың кадрлық шоғындағы негізгі байланысқа өту арқылы және негізгі шоқтар теориясын қолдану арқылы түсіндіруге болады. Жоғарыдағы мысалдардың әрқайсысын осы құрылымның ерекше жағдайлары ретінде қарастыруға болады: қосарлы шоқ кері транспозиция (немесе кері серіктес) бейнелеуіне, тензорлық көбейтінді тензорлық көбейтінді бейнелеуіне, тікелей қосынды тікелей қосынды бейнелеуіне және т.б. сәйкес келеді.
Қосылымдар жиынтығының туыстық қасиеттері
Кез келген манифольд үстіндегі векторлық бумбл байланысқа ие, оны бірлікке бөлу арқылы дәлелдеуге болады. Дегенмен, байланыстар бірегей емес. Егер және екі байланыс болса, олардың айырмасы сызықтық оператор болады. Яғни,
for all smooth functions on and all smooth sections of It follows that the difference can be uniquely identified with a one form on with values in the endomorphism bundle :
Conversely, if is a connection on and is a one form on with values in , then is a connection on
In other words, the space of connections on is an affine space for This affine space is commonly denoted .
барлық тегіс функциялар үшін және барлық тегіс қималары үшін айырмашылық эндоморфизмдер бумбылындағы мәндермен бір форма ретінде анықталады:
for all smooth functions on and all smooth sections of It follows that the difference can be uniquely identified with a one form on with values in the endomorphism bundle :
Conversely, if is a connection on and is a one form on with values in , then is a connection on
In other words, the space of connections on is an affine space for This affine space is commonly denoted .
Керісінше, егер манифольд үстіндегі байланыс болса және эндоморфизмдер бумбылындағы мәндері бар бір форма болса, онда - манифольд үстіндегі байланыс болады.
for all smooth functions on and all smooth sections of It follows that the difference can be uniquely identified with a one form on with values in the endomorphism bundle :
Conversely, if is a connection on and is a one form on with values in , then is a connection on
In other words, the space of connections on is an affine space for This affine space is commonly denoted .
Басқаша айтқанда, манифольд үстіндегі байланыстар кеңістігі – бұл аффиндік кеңістік. Бұл аффиндік кеңістік әдетте белгісімен таңбаланады.
for all smooth functions on and all smooth sections of It follows that the difference can be uniquely identified with a one form on with values in the endomorphism bundle :
Conversely, if is a connection on and is a one form on with values in , then is a connection on
In other words, the space of connections on is an affine space for This affine space is commonly denoted .
Негізгі және Ehresmann байланыстарымен байланыс
Қатардағы векторлық бумбұлт және оның фрейм бумбұлты болсын. Содан кейін (басты) байланыс on бумбұлтында қосылысты тудырады. Біріншісі, бумбұлттың қималары оң эквивариантты карталармен бір-бірге сәйкес екенін ескеріңіз (Бұл over-дің кері тартылысын қарастыру арқылы көрінеді, ол тривиальды бумбұлтқа изоморфты). on бумбұлтының берілген қимасына сәйкес келетін эквивариантты картасын келтіріңіз. Содан кейін on бумбұлтындағы ковариантты туындысы on-ның горизонтальді көтерілісімен беріледі (еске түсірейік, горизонтальді көтерілу on бумбұлтындағы байланыс арқылы анықталады). Керісінше, on бумбұлтындағы байланыс on бумбұлтындағы байланысты анықтайды және бұл екі құрылым өзара кері. on бумбұлтындағы қосылыс сонымен қатар сызықтық Эресманн қосылысымен анықталады. Бұл басты қосылысты құрудың бір әдісін ұсынады. #Индуцирленген қосылыстарда талқыланған индуцирленген қосылыстар, жоғарыда қолданылған стандартты өкілдіктен басқа өкілдіктерді пайдалана отырып, фрейм бумбұлтына байланысты басқа бумбұлттардағы қосылыстар ретінде құрастырылуы мүмкін. Мысалы, егер on бумбұлтындағы стандартты өкілдікті білдірсе, онда on өкілдігіне байланысты бумбұлт тікелей қосынды бумбұлты болып табылады, ал индуцирленген қосылыс жоғарыда сипатталғандай дәл осылай болады.
where is the horizontal lift of from to (Recall that the horizontal lift is determined by the connection on .) Conversely, a connection on determines a connection on , and these two constructions are mutually inverse. A connection on is also determined equivalently by a linear Ehresmann connection on This provides one method to construct the associated principal connection. The induced connections discussed in #Induced connections can be constructed as connections on other associated bundles to the frame bundle of , using representations other than the standard representation used above. For example if denotes the standard representation of on , then the associated bundle to the representation of on is the direct sum bundle , and the induced connection is precisely that which was described above.
Параллель тасымалдау және голономия
Векторлық бундельдегі байланыс қисық бойында параллель көшіру ұғымын анықтайды. Егер қисығындағы болса, қимасы параллель деп аталады, егер
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
барлық үшін. Балама ретінде, арқылы векторлық бундельінің кері тартылуын қарастыруға болады. Бұл үстіндегі векторлық бундель, үстіндегі талшығы бар. -дегі байланыс -ге кері тартылып, -дегі байланысқа айналады. қимасы параллель болады, егер және ғана егер.
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Егер -ден -ға дейінгі жол болса, параллель қималарды анықтайтын жоғарыдағы теңдеу бірінші ретті қалыпты дифференциалдық теңдеу болып табылады (жоғарыда көрсетілген жергілікті өрнекке қараңыз) және сондықтан әр мүмкін бастапқы шарт үшін бірегей шешімі бар. Яғни, -дегі әр вектор үшін -дегі бірегей параллель қима бар. Параллель көшіру картасын былай анықтаймыз:
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
. -ның сызықтық изоморфизм екенін, керісі -ден -ға дейінгі кері жолмен осы процедураны орындау арқылы алынатынын көрсетуге болады.
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Параллель көшіруді нүктесіндегі байланыстың голономия тобын анықтау үшін пайдалануға болады. Бұл -нің нүктесіндегі циклдардан алынған параллель көшіру карталарынан тұратын ішкі тобы:
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Байланыстың голономия тобы байланыстың қисықтығымен тығыз байланысты.
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Байланысты оның параллель көшіру операторлары арқылы былай қалпына келтіруге болады. Егер векторлық өріс және қима болса, әрбір нүктеде үшін интегралды қисық таңдаймыз. Әрбір үшін -ден -ға дейін саяхаттаушы параллель көшіру картасын деп жазамыз. Атап айтқанда, кез келген үшін бізде бар. Содан кейін векторлық кеңістіктегі қисықты анықтайды, оны дифференциалдауға болады. Ковариантты туындысы былай қалпына келтіріледі:
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Бұл байланыстың эквивалентті анықтамасы -нің талшықтары арасындағы барлық параллель көшіру изоморфизмдерін анықтау және жоғарыда көрсетілген өрнекті анықтамасы ретінде қабылдау арқылы беріледі.
for all Equivalently, one can consider the pullback bundle of by This is a vector bundle over with fiber over The connection on pulls back to a connection on A section of is parallel if and only if
Suppose is a path from to in The above equation defining parallel sections is a first order ordinary differential equation (cf. local expression above) and so has a unique solution for each possible initial condition. That is, for each vector in there exists a unique parallel section of with Define a parallel transport map
by It can be shown that is a linear isomorphism, with inverse given by following the same procedure with the reversed path from to
Parallel transport can be used to define the holonomy group of the connection based at a point in This is the subgroup of consisting of all parallel transport maps coming from loops based at :
The holonomy group of a connection is intimately related to the curvature of the connection
The connection can be recovered from its parallel transport operators as follows. If is a vector field and a section, at a point pick an integral curve for at For each we will write for the parallel transport map traveling along from to In particular for every , we have Then defines a curve in the vector space , which may be differentiated. The covariant derivative is recovered as
This demonstrates that an equivalent definition of a connection is given by specifying all the parallel transport isomorphisms between fibres of and taking the above expression as the definition of .
Бьянкидің жеке басы
Риман геометриясынан алынған екінші (дифференциалдық) Бьянки сәйкестігінің нұсқасы кез келген векторлық бунделдегі байланыс үшін сақталады. Естеріңізге сала кетейік, векторлық бунделдегі байланыс эндоморфизм байланысын тудырады. Бұл эндоморфизм байланысының өзі сыртқы ковариантты туындысы бар, оны біз белгісіз деп атаймыз. Иілу – бұл жаһандық түрде анықталған мәнді екі форма, сондықтан біз оған сыртқы ковариантты туындыны қолдана аламыз. Бьянки сәйкестігі былай дейді: Бұл Римандық көптүрліліктер жағдайындағы Бьянки сәйкестігінің күрделі тензорлық формулаларын жинақы түрде көрсетеді, ал осы теңдеуден жергілікті координаттардағы байланыс пен иілуді кеңейту арқылы стандартты Бьянки сәйкестіктеріне ауысуға болады. Жалпы байланыс үшін бірінші (алгебралық) Бьянки сәйкестігінің жалпы аналогы жоқ, себебі ол Леви-Чивита байланысының ерекше симметрияларын пайдаланады. Атап айтқанда, иілу тензорындағы векторлық бунделдің индекстерін метриканы қолданып индекстерді төмендету немесе көтеруден кейін алынған котангенттік бунделдің индекстерімен алмастыруға болады. Мысалы, бұл Леви-Чивита байланысы үшін бұралудың болмау шартын анықтауға мүмкіндік береді, бірақ жалпы векторлық бундел үшін индекс , -ның жергілікті координаттық негізін, ал индекстер – бөлінуден алынған -ның жергілікті координаттық шеңберін білдіреді. Дегенмен, ерекше жағдайларда, мысалы, -ның ранкі -ның өлшеміне тең болғанда және дәнекерлеу формасы таңдалғанда, дәнекерлеуді индекстерді өзара алмастыру үшін қолдануға болады және Леви-Чивита байланысы емес аффиндік байланыстар үшін бұралу ұғымын анықтауға болады.
Өлшегіштің түрлендірулері
Векторлық бунделдегі екі байланысты қарастыра отырып, оларды қалай теңестіруге болады деген сұрақ туындайды. Векторлық бундельдің автоморфизмі туралы нақты анықталған ұғым бар. Егер бір қиманың кез келген нүктеде кері матрицасы болса, онда ол автоморфизм болып саналады. Мұндай автоморфизмге *өлшеулік түрлендіру* дейді, ал барлық автоморфизмдер жиыны *өлшеулік топ* деп аталады, оны көбінесе немесе арқылы белгілейді. Өлшеулік түрлендірулер тобын векторлық бундельдің шешімдерінің *үлкен А* қосымша бунделінің қималарының кеңістігі ретінде анықтап беруге болады. Бұл кіші әрпі бар *а* қосымша бунделімен шатастырылмауы керек, ол өзімен табиғи түрде сәйкес келеді. бунделі – бұл өзіне-өзінің конъюгациялық өкілдігі арқылы шешімдер бунделі, және оның талшығы бірдей жалпы сызықтық топты құрайды, мұндағы . Назар аударыңыз, бұл бундель шешімдер бунделімен бірдей талшыққа ие болғанымен және оған байланысты болғанымен, шешімдер бунделіне тең емес, тіпті негізгі бундель де емес. Өлшеулік топты өлшеулік түрлендірулердің қималарға әсер етуі арқылы, демек конъюгация арқылы байланыстарға әсер етуі ретінде де сипаттауға болады. Егер -де байланыс болса, онда оны былай анықтаймыз:
үшін. Бұл -дің байланыс екенін тексеру үшін, көбейтінді ережесін тексеру қажет:
Бұл барлық байланыстардың аффиндік кеңістігінде тобының сол жақтан әрекетін анықтайды. -нің моделінделген аффиндік кеңістігі болғандықтан, мәнді бір формалы эндоморфизмнің болуы керек. -дің туындаған эндоморфизмдік байланысын пайдаланып, мынаны көруге болады:
яғни.
Since is an affine space modelled on , there should exist some endomorphism valued one form such that Using the definition of the endomorphism connection induced by , it can be seen that
Екі байланыс *өлшеулік теңдес* деп аталады, егер олар өлшеулік топтың әрекетімен ерекшеленсе, ал квотиенттік кеңістік -дегі барлық байланыстардың модулдік кеңістігі болып табылады. Әдетте, бұл топологиялық кеңістік тегіс манифольд немесе тіпті Хаусдорф кеңістігі емес, бірақ оның ішінде -дегі Янг-Миллс байланыстарының модулдік кеңістігі бар, ол өлшеулік теория мен физикада маңызды қызығушылық тудырады.
Two connections are said to be gauge equivalent if they differ by the action of the gauge group, and the quotient space is the moduli space of all connections on In general this topological space is neither a smooth manifold or even a Hausdorff space, but contains inside it the moduli space of Yang–Mills connections on , which is of significant interest in gauge theory and physics.