Кешенді геометрия және бірнеше кешенді айнымалылар зерттеуі

Кіріспе

Күрделі алуандықтар мен бірнеше күрделі айнымалыларды зерттеу

Математикада күрделі геометрия – күрделі сандардан туындайтын немесе олармен сипатталатын геометриялық құрылымдар мен конструкцияларды зерттеу саласы. Атап айтқанда, күрделі геометрия күрделі көптүрліліктер мен күрделі алгебралық сорттар, бірнеше күрделі айнымалылардың функциялары, сондай-ақ голоморфты векторлық бумалар мен когерентті қаптар сияқты голоморфты конструкцияларды зерттеумен айналысады. Алгебралық геометрияға трансценденттік әдістерді қолдану және күрделі талдаудың геометриялық аспектілері осы санатқа жатады. Күрделі геометрия алгебралық геометрия, дифференциалдық геометрия және күрделі талдаудың тоғысқан жерінде орналасқан және барлық үш саланың құралдарын пайдаланады. Әртүрлі салалардағы техникалар мен идеялардың үйлесуінің арқасында күрделі геометриядағы мәселелер көбінесе жалпы жағдайға қарағанда шешуге оңайырақ немесе нақтырақ болады. Мысалы, минималды модель бағдарламасы арқылы күрделі көптүрліліктер мен күрделі алгебралық сорттарды жіктеу және модульдік кеңістіктерді құру дифференциалдық геометриядағы мүмкін болатын тегіс көптүрліліктерді жіктеуге қарағанда айтарлықтай қиын мәселе. Сонымен қатар, күрделі геометрияның қосымша құрылымы, әсіресе компактты жағдайда, ғаламдық талдау нәтижелерін сәтті қолдануға мүмкіндік береді, мысалы, Шинг Тунг Яудың Калаби болжамын дәлелдеу, Хитчин–Кобаяши сәйкестігі, нөнабелийлік Ходж сәйкестігі, Калер–Эйнштейн метрикасы және тұрақты скалярлық қисықтығы бар Калер метрикасы үшін алынған нәтижелер. Бұл нәтижелер көбінесе күрделі алгебралық геометрияға кері байланыс береді, мысалы, жақында K-тұрақтылығын пайдалана отырып, Фано көптүрліліктерін жіктеу талдау және таза бирационалдық геометрия әдістерінен үлкен пайда тапты. Күрделі геометрия теориялық физикада маңызды қолданысқа ие, конформдық өріс теориясын, іс тізбегі теориясын және айна симметриясын түсіну үшін қажетті. Ол математиканың басқа салаларында, мысалы, бейнелеу теориясында, онда Борел–Вейл–Ботт теоремасына әкелетін жалпыланған тулар күрделі геометрияны пайдалана отырып зерттеледі, немесе симплектикалық геометрияда, онда Калер көптүрліліктері симплектикалық болып табылады, Риман геометриясында, онда күрделі көптүрліліктер Калаби–Яу және гиперкалер көптүрліліктері сияқты экзотикалық метрикалық құрылымдардың мысалдарын ұсынады, және өлшеу теориясында, онда голоморфты векторлық бумалар физикадан туындайтын маңызды дифференциалдық теңдеулердің, мысалы, Янг–Миллс теңдеулерінің шешімдерін жиі қамтиды. Күрделі геометрия таза алгебралық геометрияда да маңызды рөл атқарады, онда Калер көптүрліліктерінің Ходж теориясы сияқты күрделі жағдайдағы талдамалық нәтижелер сорттар мен схемалар үшін Ходж құрылымдарын түсінуге, сондай-ақ p-адық Ходж теориясына әсер етеді, күрделі көптүрліліктердің деформация теориясы схемалардың деформация теориясын түсінуге ықпал етеді, ал күрделі көптүрліліктердің когомологиясы туралы нәтижелер Вейль болжамдарын және Гротендиктің стандартты болжамдарын қалыптастыруға түрткі болды. Керісінше, осы салалардың көптеген нәтижелері мен әдістері күрделі геометрияға кері қайта оралады, мысалы, іс тізбегі теориясы мен айна симметриясы математикасының дамуы Калаби–Яу көптүрліліктерінің табиғатын көптеген жаңа аспектілерден ашты, бұл іс тізбегі физиктерінің SYZ болжамы арқылы Лагранж фибрацияларының құрылымына ие болуы керек деп болжайды, ал симплектикалық көптүрліліктердің Громов–Виттен теориясының дамуы күрделі сорттардың санау геометриясындағы жетістіктерге әкелді. Ходж болжамы, мыңжылдық сыйлықтарының бірі, күрделі геометриядағы ашық мәселе болып табылады.

In mathematics, complex geometry is the study of geometric structures and constructions arising out of, or described by, the complex numbers. In particular, complex geometry is concerned with the study of spaces such as complex manifolds and complex algebraic varieties, functions of several complex variables, and holomorphic constructions such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves. Application of transcendental methods to algebraic geometry falls in this category, together with more geometric aspects of complex analysis. Complex geometry sits at the intersection of algebraic geometry, differential geometry, and complex analysis, and uses tools from all three areas. Because of the blend of techniques and ideas from various areas, problems in complex geometry are often more tractable or concrete than in general. For example, the classification of complex manifolds and complex algebraic varieties through the minimal model program and the construction of moduli spaces sets the field apart from differential geometry, where the classification of possible smooth manifolds is a significantly harder problem. Additionally, the extra structure of complex geometry allows, especially in the compact setting, for global analytic results to be proven with great success, including Shing Tung Yau's proof of the Calabi conjecture, the Hitchin–Kobayashi correspondence, the nonabelian Hodge correspondence, and existence results for Kähler–Einstein metrics and constant scalar curvature Kähler metrics. These results often feed back into complex algebraic geometry, and for example recently the classification of Fano manifolds using K stability has benefited tremendously both from techniques in analysis and in pure birational geometry. Complex geometry has significant applications to theoretical physics, where it is essential in understanding conformal field theory, string theory, and mirror symmetry. It is often a source of examples in other areas of mathematics, including in representation theory where generalized flag varieties may be studied using complex geometry leading to the Borel–Weil–Bott theorem, or in symplectic geometry, where Kähler manifolds are symplectic, in Riemannian geometry where complex manifolds provide examples of exotic metric structures such as Calabi–Yau manifolds and hyperkähler manifolds, and in gauge theory, where holomorphic vector bundles often admit solutions to important differential equations arising out of physics such as the Yang–Mills equations. Complex geometry additionally is impactful in pure algebraic geometry, where analytic results in the complex setting such as Hodge theory of Kähler manifolds inspire understanding of Hodge structures for varieties and schemes as well as p adic Hodge theory, deformation theory for complex manifolds inspires understanding of the deformation theory of schemes, and results about the cohomology of complex manifolds inspired the formulation of the Weil conjectures and Grothendieck's standard conjectures. On the other hand, results and techniques from many of these fields often feed back into complex geometry, and for example developments in the mathematics of string theory and mirror symmetry have revealed much about the nature of Calabi–Yau manifolds, which string theorists predict should have the structure of Lagrangian fibrations through the SYZ conjecture, and the development of Gromov–Witten theory of symplectic manifolds has led to advances in enumerative geometry of complex varieties. The Hodge conjecture, one of the millennium prize problems, is a problem in complex geometry.

Идея

Жалпы алғанда, күрделі геометрия белгілі бір мағынада күрделі жазықтықта модельделген кеңістіктер мен геометриялық нысандарды қарастырады. Күрделі жазықтықтың ерекшеліктері және бір айнымалының күрделі талдауы, мысалы, ішкі бағдарлану ұғымы (яғни, күрделі жазықтықтың кез келген нүктесінде сағат тіліне қарсы 90 градусқа тұрақты түрде бұру мүмкіндігі) және голоморфтық функциялардың қатаңдығы (яғни, бір күрделі туындының болуы барлық реттерге күрделі дифференциалдануды білдіреді) күрделі геометрияны зерттеудің барлық түрлерінде көрінеді. Мысалы, кез келген күрделі көптік канондық түрде бағдарланады, ал Лиувилль теоремасының бір түрі ықшам күрделі көптіктерде немесе проективті күрделі алгебралық сорттарда орындалады. Күрделі геометрия, нақты геометрия деп аталатын, нақты сандар сызығының геометриялық және аналитикалық қасиеттеріне негізделген кеңістіктерді зерттеуден өзгеше. Мысалы, тегіс көптіктер бірлікке бөліністерді қабылдаса, яғни кейбір ашық жиынтықта бірдей және басқа жерде нөлге тең болатын тегіс функциялар жиынтығын, күрделі көптіктер мұндай голоморфтық функциялар жиынтығын қабылдамайды. Шындығында, бұл бірлік теоремасының көрінісі, бір айнымалының күрделі талдауындағы типолық нәтиже. Күрделі геометрияның жаңалығы осы негізгі байқауға байланысты болуы мүмкін. Кез келген күрделі көптік, әрине, нақты тегіс көптік болып табылады, себебі күрделі жазықтық күрделі құрылымын ұмытқанда, нақты жазықтыққа изоморфты. Дегенмен, күрделі геометрия әдетте дифференциалдық геометрияның, яғни тегіс көптіктерді зерттеудің ерекше саласы ретінде қарастырылмайды. Атап айтқанда, Серрдің GAGA теоремасы әрбір проективті аналитикалық сорттың шын мәнінде алгебралық сорт екенін және аналитикалық сорттағы голоморфтық деректерді зерттеу алгебралық деректерді зерттеуге тең екенін көрсетеді. Бұл теңдік күрделі геометрияның дифференциалдық геометрияға қарағанда алгебралық геометрияға жақын екенін көрсетеді. Мұның күрделі жазықтықтың табиғатына байланысты тағы бір мысалы – бір айнымалының күрделі талдауында мероморфтық функциялардың ерекшеліктерін оңай сипаттауға болады. Керісінше, үздіксіз нақты мәнді функцияның мүмкін ерекше мінез-құлқын сипаттау әлдеқайда қиын. Осының нәтижесінде күрделі геометрияда, мысалы, күрделі аналитикалық сорттар немесе күрделі алгебралық сорттар сияқты ерекше кеңістіктерді зерттеу оңай, ал дифференциалдық геометрияда ерекше кеңістіктерді зерттеуден көбінесе аулақ болады. Іс жүзінде күрделі геометрия дифференциалдық геометрия, алгебралық геометрия және бірнеше күрделі айнымалылардағы талдаудың қиылысында орналасқан, ал күрделі геометр күрделі кеңістіктерді зерттеу үшін үш саланың да құралдарын қолданады. Күрделі геометриядағы типолық қызығушылықтар күрделі кеңістіктерді жіктеуді, оларға қосылған голоморфтық нысандарды (мысалы, голоморфтық векторлық шоғырлар мен когерентті қаптарды) зерттеуді және күрделі геометриялық нысандар мен математика мен физиканың басқа да салалары арасындағы тығыз байланыстарды қамтиды.

Broadly, complex geometry is concerned with spaces and geometric objects which are modelled, in some sense, on the complex plane. Features of the complex plane and complex analysis of a single variable, such as an intrinsic notion of orientability (that is, being able to consistently rotate 90 degrees counterclockwise at every point in the complex plane), and the rigidity of holomorphic functions (that is, the existence of a single complex derivative implies complex differentiability to all orders) are seen to manifest in all forms of the study of complex geometry. As an example, every complex manifold is canonically orientable, and a form of Liouville's theorem holds on compact complex manifolds or projective complex algebraic varieties. Complex geometry is different in flavour to what might be called real geometry, the study of spaces based around the geometric and analytical properties of the real number line. For example, whereas smooth manifolds admit partitions of unity, collections of smooth functions which can be identically equal to one on some open set, and identically zero elsewhere, complex manifolds admit no such collections of holomorphic functions. Indeed, this is the manifestation of the identity theorem, a typical result in complex analysis of a single variable. In some sense, the novelty of complex geometry may be traced back to this fundamental observation. It is true that every complex manifold is in particular a real smooth manifold. This is because the complex plane is, after forgetting its complex structure, isomorphic to the real plane However, complex geometry is not typically seen as a particular sub field of differential geometry, the study of smooth manifolds. In particular, Serre's GAGA theorem says that every projective analytic variety is actually an algebraic variety, and the study of holomorphic data on an analytic variety is equivalent to the study of algebraic data. This equivalence indicates that complex geometry is in some sense closer to algebraic geometry than to differential geometry. Another example of this which links back to the nature of the complex plane is that, in complex analysis of a single variable, singularities of meromorphic functions are readily describable. In contrast, the possible singular behaviour of a continuous real valued function is much more difficult to characterise. As a result of this, one can readily study singular spaces in complex geometry, such as singular complex analytic varieties or singular complex algebraic varieties, whereas in differential geometry the study of singular spaces is often avoided. In practice, complex geometry sits in the intersection of differential geometry, algebraic geometry, and analysis in several complex variables, and a complex geometer uses tools from all three fields to study complex spaces. Typical directions of interest in complex geometry involve classification of complex spaces, the study of holomorphic objects attached to them (such as holomorphic vector bundles and coherent sheaves), and the intimate relationships between complex geometric objects and other areas of mathematics and physics.

Келер коллекторлары

Күрделі көптүрліліктерді дифференциалдық геометрия тұрғысынан зерттеуге болады, олар Риманн метрикасы немесе симплектикалық форма сияқты қосымша геометриялық құрылымдармен жабдықталады. Бұл қосымша құрылымның күрделі геометриямен байланысты болуы үшін, ол күрделі құрылыммен үйлесімді болуы керек. Кэлер көптүрлігі – Риманн метрикасы және күрделі құрылыммен үйлесімді симплектикалық құрылымы бар күрделі көптүрлілік. Кэлер көптүрлілігінің кез келген күрделі ішкі көптүрлілігі Кэлер болып табылады, сондықтан кез келген ерекше емес аффиндік немесе проективтік күрделі сорт, стандартты Гермит метрикасын немесе Фубини-Зерттеу метрикасын шектегеннен кейін Кэлер болады. Кэлер көптүрліліктерінің басқа маңызды мысалдарына Риман беттері, K3 беттері және Калаби-Яу көптүрліліктері жатады.

Stein коллекторлары

Серрдің GAGA теоремасы проективті күрделі аналитикалық сорттардың іс жүзінде алгебралық екенін көрсетеді. Бұл аффиндік сорттар үшін толыққанды дұрыс болмаса да, аффиндік күрделі алгебралық сорттарға өте ұқсас келетін күрделі манифольдтар класы бар, олар Стейндік манифольдтар деп аталады. Манифольд, егер ол голоморфты дөңгелек және голоморфты бөлінетін болса, онда Стейндік болып саналады (техникалық анықтамалар үшін Стейндік манифольдтар туралы мақаланы қараңыз). Дегенмен, бұл кейбір үшін күрделі субманифольд болумен эквивалентті екенін көрсетуге болады. Стейндік манифольдтардың аффиндік күрделі алгебралық сорттарға ұқсас келуінің тағы бір жолы – Картанның А және В теоремалары Стейндік манифольдтар үшін де қолданылады. Стейндік манифольдтардың мысалдарына компакт емес Риман беттері және сингулярлықтары жоқ аффиндік күрделі алгебралық сорттар жатады.

Гипер-Кейлер коллекторлары

Күрделі көптүрліліктердің ерекше класы – гиперкэлері көптүрліліктер, олар үш түрлі үйлесімді интегралданатын дерлік күрделі құрылымдарды қабылдайтын Риманн көптүрліліктері, және олар кватерниондық қатынастарды қанағаттандырады. Осылайша, гиперкэлері көптүрліліктер үш түрлі жолмен кэлері көптүрліліктері болып табылады, соның салдарынан бай геометриялық құрылымға ие. Гиперкэлері көптүрліліктерінің мысалдарына ALE кеңістіктері, K3 беттері, Хиггс шоғыр модульдері кеңістіктері, коверлік әртүрліліктер және өлшеу теориясы мен өкілдік теориясынан туындайтын көптеген басқа модульдер кеңістіктері жатады.

CalabiYau коллекторлары

Жоғарыда айтылғандай, Калер коллекторларының белгілі бір класын Калаби–Яу коллекторлары құрайды. Бұлар тривиальді каноникалық шоғырға ие Калер коллекторлары болып табылады. Әдетте, Калаби–Яу коллекторының анықтамасы оның компактты болуын да талап етеді. Осы жағдайда Яудың Калаби болжамын дәлелдеуі, Риччи қисықтығы жоқ болатын Калер метрикасының бар екенін көрсетеді, және мұны Калаби–Яудың балама анықтамасы ретінде қарастыруға болады. Калаби–Яу коллекторлары іс жүзінде жол теориясы және айна симметриясында қолданылады, онда олар жол теориясының 10 өлшемді модельдеріндегі кеңістік-уақыттың қосымша 6 өлшемін модельдеуге пайдаланылады. Калаби–Яу коллекторларының мысалдарына эллипстік қисықтар, K3 беттері және күрделі Абель көптіктері жатады.

Күрделі Fano сорттары

Күрделі Фано түрлігі — кең антиканоникалық түзу шоғы бар (яғни, кең) күрделі алгебралық түрлік. Фано түрлері күрделі алгебралық геометрияда, әсіресе бирационалды геометрияда маңызды қызығушылық тудырады, олар көбінесе минималды модельдер бағдарламасында кездеседі. Фано түрлерінің негізгі мысалдары проективтік кеңістік және дәрежесінен кіші дәрежелі тегіс гипербеттер болып табылады.

Торикалық сорттар

Торикалық сорттар – өлшемді күрделі алгебралық сорттар, олардың ашық тығыз жиынтығына биголоморфты , және аталған ашық тығыз жиынтығындағы әрекетті кеңейтетін әрекетпен жабдықталған. Торикалық сортты комбинаторлық тұрғыдан оның торикалық желдеткіші арқылы, ал ең болмаса, сингулярлық емес болғанда, момент политопы арқылы сипаттауға болады. Бұл – кез келген төбесі оң квадранттың төбесінің стандартты түріне түрлендіріле алатын полигон. Торикалық сортты политоп үстінен талшықталған сәйкес кеңістік ретінде алуға болады. Торикалық сорттарға қолданылатын көптеген құралымдар момент политопының немесе оған байланысты торикалық желдеткіштің комбинаторлық және геометриялық тұрғысынан баламалы сипаттамаларын ұсынады. Бұл торикалық сорттарды күрделі геометриядағы көптеген құралымдарды сынау үшін ерекше тартымды жағдайға айналдырады. Торикалық сорттардың мысалдарына күрделі проекциялық кеңістіктер және олардың үстіндегі шоғырлар жатады.

Күрделі геометриядағы әдістер

Голоморфтық функциялар мен күрделі көптүрліліктердің қатаңдығына байланысты, күрделі көптүрліліктерді және күрделі сорттарды зерттеуге қолданылатын әдістер, әдетте, тұрақты дифференциалдық геометрияда қолданылатын әдістерден өзгеше, және алгебралық геометрияда қолданылатын әдістерге жақын. Мысалы, дифференциалдық геометрияда көптеген мәселелер жергілікті құрылымдарды алып, оларды бірлікке бөлу арқылы жаһандық деңгейде біріктіру арқылы шешіледі. Бірлікке бөлу күрделі геометрияда болмайды, сондықтан жергілікті деректерді жаһандық деректерге қашан «желімдеуге» болатын мәселе күрделірек. Жергілікті деректерді бір-бірімен дәл қашан біріктіруге болатыны, топтық кохомологиямен өлшенеді, ал топтар мен олардың кохомологиялық топтары – маңызды құралдар. Мысалы, қазіргі заманғы анықтамалар енгізілгенге дейін көптеген күрделі айнымалыларды талдаудағы белгілі мәселелер – Кузин мәселелері, олар жергілікті мероморфты деректерді жаһандық мероморфты функция алу үшін дәл қашан біріктіруге болатынын сұрайды. Бұл ескі мәселелер топтар мен кохомологиялық топтар енгізілгеннен кейін оңай шешіледі. Күрделі геометрияда қолданылатын топтардың ерекше мысалдары – голоморфтық сызық бундельдері (және оларға байланысты бөлгіштер), голоморфтық вектор бундельдері және когерентті топтар. Топтық кохомология күрделі геометриядағы кедергілерді өлшегендіктен, қолданылатын әдістердің бірі – жоғалу теоремаларын дәлелдеу. Күрделі геометриядағы жоғалу теоремаларының мысалдары ретінде Кодайраның жоғалу теоремасы (тығыз Келер көптүрліліктеріндегі сызық бундельдерінің кохомологиясы үшін) және Картанның А және В теоремалары (аффиндік күрделі сорттардағы когерентті топтардың кохомологиясы үшін) келтірілуі мүмкін. Күрделі геометрия сондай-ақ дифференциалдық геометрия мен талдаудан туындаған әдістерді де пайдаланады. Мысалы, Атия-Сингер индексі теоремасының ерекше жағдайы болып табылатын Хирцебрух-Риман-Рох теоремасы, жатқандағы тегіс күрделі вектор бундельдерінің сипаттамалық кластары арқылы голоморфты вектор бундельдерінің голоморфты Эйлер сипаттамасын есептейді.

Күрделі геометрия бойынша жіктеу

Күрделі геометриядағы маңызды тақырыптардың бірі – жіктеу. Күрделі манифольдтар мен сорттардың қатаңдығына байланысты, осы кеңістіктерді жіктеу мәселесі көбінесе шешімді болады. Күрделі және алгебралық геометрияда жіктеу көбінесе модульдік кеңістіктерді зерттеу арқылы жүзеге асырылады, бұл кеңістіктердің өзі күрделі манифольдтар немесе сорттар болып табылады және олардың нүктелері күрделі геометрияда туындайтын басқа геометриялық объектілерді жіктейді.

Голоморфты желілік бумалар

Күрделі геометрия тек күрделі кеңістіктермен ғана емес, сонымен қатар оларға байланысты басқа да голоморфты объектілермен де айналысады. Күрделі алгебралық санның голоморфты түзулі бундельдерінің жіктелуі Пикард түрі арқылы беріледі. Пикард түрін g туысы бар ықшам Риман беті болған жағдайда оңай сипаттауға болады. Атап айтқанда, бұл жағдайда Пикард түрі күрделі Абельдік санның ажыратылған жиынтығы болып табылады, олардың әрқайсысы қисықтың Якобиан түріне изоморфты, сызықтық эквиваленттілікке дейін нөлдік дәрежелі бөлгіштерді жіктейді. Дифференциалдық-геометриялық тұрғыдан алғанда, бұл Абельдік сан күрделі торлар, күрделі көптүрліліктер, мүмкін көптеген әртүрлі күрделі құрылымдардың бірімен диффеоморфты болады. Торелли теоремасы бойынша, ықшам Риман беті оның Якобиан түрімен анықталады, және бұл күрделі кеңістіктердегі құрылымдарды зерттеудің пайдалы болуының бір себебін көрсетеді, себебі ол кеңістіктердің өзін жіктеуді шешуге мүмкіндік береді.